Главная > Лекция


Лекция № 1

Теория множеств

Множества. В основе функционального анализа, как и любого другого раздела математики, лежат понятия и методы теории множеств. Понятие множества настолько общее, что трудно дать ему какое-либо определение, которое не сводилось бы просто к замене слова «множество» его синонимами: совокупность, собрание элементов и т.д.

Полное изложение так называемой канторовой теории множеств – достаточно трудная задача. Мы здесь введем лишь первоначальные теоретико-множественные понятия и обозначения, используемые в дальнейшем.

Множества обозначаются буквами а их элементы – малыми Утверждение «элемент принадлежит множеству » символически записывается так: или . Запись означает, что элемент не принадлежит множеству . Если все элементы, из которых состоит множество , входят и в множество , (причем случай не исключается), то мы называем подмножеством множества и пишем .

Пример 1. Пусть – множество действи-
тельных корней многочлена с действительными коэффициентами. Поскольку это множество может оказаться пустым, т.е. не содержать ни одного элемента, то целесообразно ввести обозначение для пустых множеств.Любое множество содержит в качестве подмножества.

Операции над множествами. Пусть и – произвольные множества. Объединением называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств и .Пересечением множеств и назовем множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих как , так и .

Аналогично определяется объединение и пересечение любого (конечного или бесконечного) числа множеств.

Операции объединения и пересечения множеств по своему определению коммутативны и ассоциативны, т.е.

, коммутативность

, ассоциативность

Кроме того, эти операции взаимно дистрибутивны:

,

.

Рекомендую доказать эти утверждения в качестве упражнений.

Замечание 1. Равенство множеств означает, что и .

Определим теперь операцию вычитания множеств. Назовем разностью множеств и совокупность тех элементов из , которые не содержатся в : . При этом, вообще говоря, не предполагается, что .

Симметрическойразностью множеств и назовем множество

.

Упражнение 1. Доказать, что .

Часто приходиться рассматривать тот или иной запас множеств, являющихся подмножествами некоторого основного множества . В этом случае разность называют дополнением и обозначают .

В теории множеств и ее приложениях весьма важную роль играет принцип двойственности, который основан на следующих двух соотношениях:

  1. Дополнение к объединению равно пересечению дополнений

. (1)

  1. Дополнение к пересечению равно объединению дополнений

. (2)

Принцип двойственности состоит в том, что из любой теоремы, относящейся к системе подмножеств фиксированного множества , автоматически может быть получена другая – двойственная теорема путем замены всех рассматриваемых множеств их дополнениями, объединений множеств – пересечениями, а пересечений – объеди-
нениями.

Упражнение 2. Докажите соотношения (1) и (2).

Отображения множеств и общее понятие функции. В математическом анализе понятие функции вводится следующим образом. Пусть – некоторое множество на числовой прямой. Говорят, что на этом множестве определена функция, если каждому числу поставлено в соответствие определенное число. При этом называется областью определения данной функции, а – совокупность всех значений, принимаемых этой функцией, – ее областью значений.

Если же вместо числовых рассматривать множества какой угодно природы, то мы придем к самому общему понятию функции. Пусть и – два произвольных множества. Говорят, что на определена функция , принимающая значения из , если каждому элементу поставлен в соответствие один и только один элемент из . Вместо термина «функция» часто пользуются термином «отображение», говоря об отображении одного множества в другое.

При специализации природы множеств и возникают специальные типы функций, которые носят особые названия «вектор-функция», «мера», «функционал», «оператор» и т.д., которые изучаются в курсах функционального анализа.

Для обозначения функции (отображения) из в мы будем пользоваться записью

.

Образ, прообраз. Если , то отвечающий ему элемент из называется его образом (при отображении ). Совокупность всех тех элементов из , образом которых является данный элемент , называется (полным) прообразом элемента и обозначается :

.

Если – некоторое подмножество множества , т.е. , то совокупность всех элементов вида , где , называется образом и обозначается .

Если – некоторое подмножество множества , т.е. , то прообразом (полным!) называется совокупность всех тех

элементов из , образы которых принадлежат :

.

Может оказаться так, что ни один элемент из не имеет прообраза, т.е. .

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 1. Прообраз объединения двух множеств равен объединению их прообразов:

.

Теорема 2. Прообраз пересечения двух множеств равен пересечению их прообразов:

.

Теоремы 1 и 2 остаются в силе для сумм и пересечений любого (конечного или бесконечного) числа множеств:

, .

Упражнение 3. Докажите теоремы 1 и 2.

Упражнение 4. Какая из этих теорем верна для образов?

Ответ: . Докажите это утверждение в качестве упражнения.

Упражнение 5. Докажите, что прообраз дополнения равен дополнению прообраза. Верно ли аналогичное утверждение для образа дополнения?

Бинарные отношения. Если дано множество , то его квадратом называется множество всех упорядоченных пар , где . Пусть - любое подмножество из . Оно следующим образом определяет в бинарное отношение, которое мы также будем обозначать символом (в конкретных случаях для записи отношений используются различные специальные символы): если , то говорят, что элемент находится в отношении к элементу (и записывают это через ) в том и только в том случае,
если пара принадлежит к подмножеству ; таким образом, записи

и

равносильны.

Изучение бинарных отношений в множестве не отличается,

следовательно, от изучения подмножеств множества . Можно говорить, в частности, о включении бинарного отношения в бинарное отношение , , а также о пересечении и объединении бинарных отношений. Дополнением к бинарному отношению является бинар-ное отношение , определяемое подмножеством ; иными словами, если и только если .

Рассмотрим пример бинарного отношения.

Пример 2. Отношение тождества Е. Мы скажем, что Е в том и только том случае, если ; иначе говоря, это – отношение, задаваемое диагональю в , т.е. подмножество пар вида .

Отношение эквивалентности и разбиение на классы. Каждый раз, когда некоторое множество представлено тем или иным способом как сумма своих попарно непересекающихся подмножеств, мы говорим о разбиении множества на классы. Разбиение на классы обычно осуществляется на основании какого-либо признака. В качестве примеров можно рассмотреть разбиение биосферы на классы по видам, или разбиение пространства и т.д. Но не всякий признак позволяет разбить множество на классы.

1) Если мы захотим разбить все действительные числа на классы, считая, что число входит в один и тот же класс с числом , если и только если . Разбиения на классы не получится, во-первых, потому, что и находятся в разных классах, и, во-вторых, если и находятся в одном классе, то с уже в разных!

2) Если мы захотим разбить точки, например на плоскости, на классы, относя точки и к одному классу в том и только в том случае, когда расстояние между ними меньше 1, т.е. , если Разбиения не получается, так как из и не следует, что .

Приведенные выше примеры подсказывают условия, при которых тот или иной признак действительно позволяет разбить элементы некоторого множества на классы. Это – отношение эквивалентности, т.е. бинарное отношение, обладающее свойствами рефлексивности, транзитивности и симметричности.

Будем говорить, что в множестве задано отношение эквивалентности, если оно обладает следующими свойствами:

  1. Рефлексивность: для любого элемента .

  2. Симметричность: если , то .

  3. Транзитивность: если и , то .

Эти условия необходимы и достаточны для того, чтобы отношение эквивалентности ~ (признак!) позволяло разбить множество на классы. В самом деле, всякое разбиение данного множества на (попарно непересекающиеся) классы определяет в этом множестве некоторое отношение эквивалентности. Действительно, если означает, что « находится в том же классе, что и », то это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Обратно, пусть на множестве задано некоторое отношение эквивалентности , удовлетворяющее нашим трем условиям. Тогда множество разбивается на попарно непересекающиеся классы следующим образом. Пусть – класс элементов из , эквивалентных данному элементу : . В силу рефлексивности элемент сам принадлежит . Надо показать, что два класса и либо совпадают, либо не пересекаются, т.е. мы действительно получаем разбиение множества на попарно непересекающиеся классы.

Если некоторый элемент принадлежит одновременно и , т.е. и , то в силу симметричности и транзитивности имеем:

. (3)

Тогда легко показать, что . Действительно, если , т.е. , то в силу (3) и свойства транзитивности , т.е. . Таким образом, .

Аналогично устанавливается обратное включение . В итоге , что говорит о том, что два класса и , имеющих хотя бы один общий элемент, совпадают между собой. Мы получили разбиение множества на классы по заданному отношению эквивалентности.

Понятие разбиения множества на классы связано с понятием отображения. Пусть нам задано отображение

множества в множество . Тогда множество разбивается на классы следующим образом: пусть . Положим

.

Предлагаю убедиться в этом в качестве упражнения.

Замечание 2. Всякое отношение эквивалентности ~ в некотором множестве есть бинарное отношение , подчиненное следующим условиям:

  1. Диагональ  принадлежит , т.е. (рефлексивность).

  2. Если , то и (симметричность).

  3. Если и , то и (транзитивность).

Эквивалентность множеств. Понятие мощности множества. Множества могут быть конечными и бесконечными. Конечное множество – это множество, состоящее из конечного числа элементов. Говоря, что множество бесконечно, мы имеем ввиду, что из него можно извлечь один элемент, два элемента и т.д., причем после каждого такого шага в нем еще останутся элементы.

Два конечных множества мы можем сравнивать по количеству элементов. Для множеств с бесконечным числом элементов этот рецепт не проходит. Имеет ли смысл, например, ставить вопрос о том, чего больше: кругов на плоскости или рациональных точек на прямой, функций на отрезке [0,1] или прямых в пространстве и т.д.?

Для «количественного» сравнения множеств с бесконечным числом элементов подходит понятие взаимно однозначного соответствия между элементами этих множеств.

Будем говорить, что между множествами и установлено взаимно-однозначное соответствие

,

если каждому элементу множества отвечает при этом соответствии один и только один элемент множества , и наоборот.

Счетные множества. Простейшим среди бесконечных множеств является множество

натуральных чисел.

Счетным множеством назовем всякое множество, элементы которого можно поставить во взаимно однозначное соответствие со всеми натуральными числами. Иначе говоря, счетное множество – это такое множество, элементы которого можно занумеровать в бесконечную последовательность: . Рассмотрим примеры счетных множеств.

Примеры.

3) Множество всех целых чисел. Установим соответствие между всеми целыми и всеми натуральными числами следующим образом:

0 -1 1 -2 2 …

1 2 3 4 5 …

4)Множество всех положительных четных чисел. Соответствие очевидно: .

Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется несчетным множеством. Установим некоторые общие свойства счетных множеств.

Свойство 1. Всякое подмножество счетного множества конечно или счетно.

Доказательство. Пусть – счетное множество, а – его подмножество. Занумеруем элементы множества : . Пусть – те из них, которые входят в . Если среди чисел есть наибольшее, то конечно; в противном случае счетно, поскольку его элементы занумерованы числами 1,2,… .

Свойство 2. Объединение любого конечного или счетного множества счетных множеств есть снова счетное множество.

Доказательство. Пусть – счетные множества. Мы можем считать, что они попарно не пересекаются, так как иначе мы рассмотрели бы вместо них множества , каждое из которых не более чем счетно. Объединение последних совпадает с объединением исходных множеств . Считая, что множества попарно не пересекаются, их элементы запишем в следующем виде:

,

,

,



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Теория дискретных множеств

    Программа курса
    ... Программа курса "Дискретная математика" Теория дискретных множествМножества. Операции над множествами. Булеан. Свойства операций ... над подмножествами. Представление множеств и ...
  2. Теория колец множества с двумя алгебраическими операциями кольца и поля

    Документ
    Теория колец Множества с двумя алгебраическими операциями. Кольца и поля. Пусть на множестве R определены две ... 0 = x*0 = x*y + x*(-y) и, значит, x*(-y) = -x*y. Определение. Множество с двумя алгебраическими операциями R(+,*) называется кольцом ...
  3. Теория информационных процессов и систем (2)

    Конспект
    ... математической теории систем базируются на разделах математики теориямножеств и теория групп (общая теория систем), теория графов ... о введении фундаментальных понятий, то язык теориимножеств безусловно предпочтительнее. Более узкие понятия ...
  4. Теория информационных процессов и систем (3)

    Конспект
    ... математической теории систем базируются на разделах математики теориямножеств и теория групп (общая теория систем), теория графов ... о введении фундаментальных понятий, то язык теориимножеств безусловно предпочтительнее. Более узкие понятия ...
  5. Теория нечетких множеств новый виток развития

    Документ
    ... . Н.Э. Баумана теория нечетких множеств: новый виток развития Указаны ограничения традиционной теории нечетких множеств Л. Заде ... BL = [0,1]2, приведены примеры. Каноническая версия теории нечетких множеств, предложенная в 1965 г. Л. Заде [1], ...

Другие похожие документы..