Главная > Тесты


1.7. Обратная решетка

Для идеального бесконечного монокристалла обратная решетка представляет бесконечное трехмерное распределение точек, расстояние между которыми обратно пропорционально расстояниям между плоскостями прямой решетки. Размерность радиуса-вектора обратной решетки [м-1]. Эта размерность совпадает с размерностью волнового вектора . Поэтому множеству радиус-векторов обратной решетки можно сопоставить множество плоских волн. Тогда точное определение обратной решетки можно сформулировать следующим образом:

Множество волновых векторов образуют обратную решетку по отношению к прямой решетке Бравэ с вектором трансляции , если плоские волны с волновыми векторами имеют периодичность данной решетки Бравэ, т.е.

или (1.7.1)

Обратная решетка всегда определяется по отношению к прямой решетке.

Пусть - основные векторы прямой решетки, тогда обратную решетку порождают три основных вектора следующим образом:

, , . (1.7.2)

Докажем, что обратная решетка, построенная на этих векторах также является трансляционной.

Легко показать, что

, (1.7.3)

,

где - символ Кронекера.

Запишем линейную комбинацию из основных векторов обратной решетки

, (1.7.4)

где m1, m2 ,m3 - любые числа.

Найдем скалярное произведение векторов . Получим

(1.7.5)

Если К- вектор обратной решетки, то выполняется равенство

, т.е , где n целое число. Выражение в скобках в формуле (1.7.5) может быть целым при любых целых n1, n2 ,n3 только если m1, m2 ,m3 также целые числа.

Таким образом, если в выражении (1.7.5) m1, m2 ,m3 - целые числа, вектор является вектором трансляции, а обратная решетка, порожденная этим вектором, также является трансляционной.

Атомная плоскость решетки Бравэ – любая плоскость, содержащая, по меньшей мере, 3 , не лежащих на одной прямой, узла.

Семейство атомных плоскостей – множество параллельных, равноотстоящих друг от друга атомных плоскостей, которые в своей совокупности содержат все узлы трехмерной решетки Бравэ. Каждая атомная плоскость является плоскостью какого-либо семейства. Понятие обратная решетка позволяет классифицировать различные семейства атомных плоскостей и очень удобно для структурного анализа.

Такая квалификация основана на теореме, устанавливающей связь между семейством атомных плоскостей и вектором обратной решетки:

для всякого семейства атомных плоскостей, отстоящих друг от друга на расстоянии d, существуют такие векторы обратной решетки, которые перпендикулярны к этим плоскостям, а наименьший из них имеет длину равную 2/d.

Докажем эту теорему. Пусть имеется семейство атомных плоскостей, отстоящих друг от друга на расстоянии d. Направим плоскую волну: exp[i()] с волновым вектором k=2/d и единичной амплитудой перпендикулярно данному семейству. Так как это плоская волна, она должна иметь одинаковую фазу на любой плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Так как плоскости отстоят друг от друга на расстоянии , выбранная нами плоская волна будет иметь одинаковое значение фазы на всех атомных плоскостях. Возьмем любой узел на любой атомной плоскости и примем его за начало координат. Тогда и вектор , что и требовалось доказать.

Приложение к главе 1

Таблица №1.

Характеристика сингоний кристаллов.

Сингония

Соотношение

между

параметрами

Квадратичная форма

1.Триклинная

аbc



1/d2hkl=(k/a)sin +(k/b)sin +(l/c)*

*sin + 2/ab(cos cos -cos)hk +

2/bc(coscos --cos)kl + 2/ac*

*(coscos -cos)hl.

2.Моноклинная

a b c

= =90

1/d=(h/a sin)+( k/b)+(l/c sin)- ---

- 2hlcos /ac sin.

3.Ромбическая

a bc

==

1/d= (h/a)+ (k/b)+(l/c)

4.Тетраго-

нальная

a=bc

= ==90

1/d=(hk/a

5. Ромбоэдричес-

Кая

a=b=c

= = 90

=*

*

6.Гексагональная

a=b c

==90 ;

= 120

7.Кубическая

a=b=c

===90

Таблица № 2.Характеристика различных типов решеток.

Тип

решетки

Число

атомов на элементарную ячейку

Базис

решетки

Координационное число

(КЧ)

Коэффициент

заполнения

Простая

кубическая

1

(0,0,0)

6

52%

ОЦК

2

(0,0,0;

8

68%

ГЦК

4

(0,0,0;;

12

74%

Гексагональная

-

(0,0,0;-

12

74%

Таблица №3.

Связь между индексами (hkl), величиной d и периодами решетки a, b, с для каждой сингонии.

Сингонии

Формула для межплоскостного расстояния

Кубическая

Тетрагональная

Гексагональная

Ромбическая

d= (7)

d= (8)

d= (9)

d= (10)

Таблица №4.

Число идентичных плоскостей P для совокупностей с разными индексами в кубической сингонии.

Индексы

(100)

(110)

(111)

(hk0)

(hh0)

(hkl)

P

6

12

18

24

24

48


Глава2. Методы структурного анализа

2.1. Общие положения.

Для определения структуры твердых тел используются дифракционные методы. Все методы основаны на общих принципах дифракции волн или частиц при прохождении через кристалл, являющийся для них своеобразной дифракционной решеткой, параметр которой по порядку величины равен среднему межатомному расстоянию (10-10м). Для получения дифракционной картины существенно, чтобы длина волны используемого излучения была сравнима с этим средним межатомным расстояниям. Различают следующие методы: рентгенографии, электронографии, нейтронографии.

В рентгенографии применяются рентгеновские лучи с длинами волн от 0,7..10-10 до 3. 10-10 м, в электронографии электроны с длинами волн де Бройля – от 3.10-12 до 6. 10-12 м, в нейтронографии – тепловые электроны с длиной волны порядка 10-10 м.

По дифракционной картине можно сразу качественно судить о структуре твердого тела. Если дифракционная картина представляет набор точечных пятен (рефлексов), получающихся при рассеянии от определенных семейств атомных плоскостей (hkl), то твердое тело является монокристаллом; если дифракционная картина представляет собой набор тонких концентрических колец, то твердое тело находится в поликристаллическом состоянии; наконец, если на дифракционной картине присутствует одно, максимум два диффузных гало, то тело находится в аморфном состоянии (рис. 2.1.1, 2.1.2 , 2.1.3).


2.2. Дифракция Вульфа – Брэгга.

Вскоре после открытия М.Лауэ (1912) электромагнитной природы рентгеновских лучей русский ученый Ю.В. Вульф (1912) и независимо от него английские физики отец и сын Г. и Л.Брэгги дали простое истолкование интерференции рентгеновских лучей, объяснив это явление зеркальным отражением от атомных плоскостей.

Пусть на кристалл, который можно представить состоящим из семейства параллельных атомных плоскостей, находящихся на одинаковом межплоскостном расстоянии d (рис 2.2.1), под углом падает параллельный пучок монохроматических рентгеновских лучей с длиной волны .

Отраженные от атомных плоскостей под тем же углом ( зеркальное отражение), параллельные лучи I и II интерферируют, т.е. усиливают или ослабляют друг друга в зависимости от разности хода между ними. Если разность хода равна целому числу n длин волн , то наблюдается интерференционный максимум. Из рис. 2.2.1 видно, что это имеет место, когда

или . (2.2.1)

Условие (2.2.1), при котором возникает интерференционный максимум, и носит название формулы Вульфа – Брэгга. Зная брэгговские углы отражения , которые определяются из дифракционной картины, можно вычислить межплоскостные расстояния d, а по ним и индексы интерференции hkl.

Условие дифракции в терминах обратной решетки. Рассмотрим обратную решетку и мысленно проведем атомную плоскость из семейства атомных плоскостей (hkl) c межплоскостным расстоянием d. Пусть на решетку падает излучение с волновым вектором и выполняется условие дифракции Вульфа-Брэгга (2.2.1). Тогда из рис.2.2.1 и ранее доказанной теоремы, устанавливающей связь между семейством атомных плоскостей и вектором обратной решетки, можно записать следующую цепочку равенств:

где m – порядок дифракционного максимума. При m=1 условие дифракционного максимума принимает окончательный вид

(2.2.2)

Умножив обе части уравнения (2.2.2) на получим

(2.2.3)

Уравнение (2.2.3) можно рассматривать как закон сохранения импульса для кристаллической решетки.

2.3. Метод Лауэ.

Пусть на неподвижный кристалл (рис.2.3.1) падает пучок рентгеновского излучения, содержащего все длины волн – от до некоторого.

Для того чтобы понять характер и происхождение лауэграммы (рис.2.3.2), обратимся к трактовке интерференции с помощью обратной решетки и сферы Эвальда.

Если на кристалл падает спектр, содержащий длины волн от до это означает, что имеется непрерывный ряд сфер Эвальда с радиусами от до (рис.2.3.3).


Все те узлы обратной решетки, которые попали в область между граничными сферами (на рис.2.3.3 заштрихованная область), находятся в отражающем положении, поскольку для них выполняется условие Вульфа – Брэгга. Как можно видеть из рис. 2.3.2 , в случае, если направление первичного пучка совпадает с одной из осей симметрии кристалла или лежит в плоскости симметрии, то такую же симметрию имеет и дифракционная картина, образованная лучами, которые испытали брэгговское отражение. Поэтому, ориентируя кристалл определенным образом относительно первичного пучка, всегда можно найти нужные направления, в частности направления, необходимые для выявления осей элементарной ячейки.


2.4. Метод вращения кристалла.

В этом методе, в отличие от предыдущего, используют монохроматическое излучение определенной длины волны. Кристалл вращают вокруг оси, направление которой найдено методом Лауэ. С помощью сферы Эвальда и обратной решетки легко объяснить получающуюся дифракционную картину (рис 2.4.1). Пусть обратная решетка вращается, а сфера Эвальда неподвижна. В момент, когда какой-либо узел обратной решетки касается поверхности сферы Эвальда, для него выполняется условие дифракции Вульфа - Брэгга, и в направлении, например, OP происходит отражение.

Если вокруг вращающегося кристалла поместить фотопленку, то все дифракционные рефлексы, как видно из рис. 2.4.2, расположатся на слоевых линиях. Слоевую линию, соответствующую большому кругу сферы отражения, в плоскости которого лежит первичный пучок называют нулевой. Индексы интерференции этой линини при вращении вокруг оси с будут hk1 т. е. l=1, для всех рефлексов нижние слоевые линии имеют рефлексы типа hk1 hk2 и т. д.

По рентгенограммам, полученным при вращении кристалл вокруг осей a, b, c, определяют параметры элементарной ячейки a, b, c.



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Физика твердого тела основы зонной теории твердых тел

    Документ
    ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Основы зонной теории твердых тел. Стационарные состояния и энергетический спектр электронов в ...
  2. Физика твердого тела

    Программа
    ... 010700.68 Физика 010703 – Физика конденсированного состояния Физика твердого тела Основные сведения о твердых телах. Кристаллические и аморфные тела, твердые тела в науке ...
  3. Физика твердого тела (2)

    Программа
    ... Сибирское отделение Российской академии наук ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРОГРАММА XII РОССИЙСКОЙ НАУЧНОЙ ... свойства твердых тел, взаимодействие излучения с веществом Низкоразмерные структуры и сверхрешетки Компьютерное моделирование в физике твердого тела ...
  4. Цели курса – познакомить студентов-физиков как с базовыми понятиями и методами физики твердого тела

    Примерная программа
    ... «Введение в физику твердого тела» имеет своей целью: дать набор необходимых сведений в области физики твердого тела и научить ... квантовой механики и статистической физики в качестве основ физики твердого тела Уметь: применять эти принципы ...
  5. Примерная программа дисциплины ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Рекомендуется Минобразованием России для специальности 200100 Микроэлектроника и твердотельная электроника направления подготовки дипломированных специалистов 654100 ЭЛЕКТРОНИКА И МИКРОЭЛЕКТРОНИКА

    Примерная программа
    ... Дж. Физика твердого тела. – М.: Мир, 1988. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела (т. 1, 2). – М.: Мир, 1979. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. – М.: Наука ...

Другие похожие документы..