textarchive.ru

Главная > Программа


ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ

2 СЕМЕСТР

1. Линейные пространства. Понятие линейного пространства. Примеры линейных пространств.

2. Базис и размерность линейного пространства. Определения базиса и размерности линейного пространства. Примеры линейных пространств и базисов в них.

3. Линейное подпространство. Понятие линейного подпространства. Базис и размерность линейного подпространства. Дополнение базиса подпространства до базиса всего пространства. Примеры.

4. Ранг матрицы. Определение ранга матрицы. Теорема о базисном миноре и следствия из нее. Элементарные преобразования матриц, сохранение при этом ранга матрицы. Матрица ступенчатого вида и ее ранг. Приведение матрицы к ступенчатому виду (метод Гаусса).

5. Ранг системы векторов. Понятие ранга системы векторов. Вычисление ранга системы векторов через ранг матрицы, составленной из их координат в некотором базисе.

6. Системы линейных уравнений. Основные понятия теории систем линейных уравнений (совместность и несовместность, основная и расширенная матрица системы). Критерий совместности системы (теорема Кронекера-Капелли). Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Однородная система линейных уравнений. Критерий существования ненулевого решения. Теорема о том, что решения однородной системы линейных уравнений образуют линейное пространство. Фундаментальная система решений. Общее решение однородной системы линейных уравнений. Неоднородная система линейных уравнений. Связь решений неоднородной и соответствующей однородной систем.

7. Линейные операторы и их матрицы. Понятие линейного оператора, его свойства и примеры. Матрица линейного оператора в заданном базисе. Векторно-матричная запись действия линейного оператора. Ядро и образ линейного оператора, их свойства. Умножение линейного оператора на число, сложение и умножение операторов; соответствующие действия с матрицами операторов. Обратный оператор, его линейность. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его матрицы и ядра. Матрица обратного оператора.

8. Замена базиса. Матрица перехода от одного базиса линейного пространства к другому. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Инвариантность определителя матрицы линейного оператора при замене базиса. Подобие матриц, его основные свойства.

9. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Понятия собственного значения и собственного вектора линейного оператора. Примеры. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Линейный оператор простого типа, диагонализируемость его матрицы. Достаточное условие оператора простого типа. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора с помощью характеристического уравнения. Инвариантность собственных значений, следа и определителя матрицы линейного оператора.

10. Билинейная форма и ее матрица. Понятие билинейной формы. Матрица билинейной формы в заданном базисе. Координатная и векторно-матричная запись билинейной формы. Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса. Симметрическая билинейная форма и ее матрица. Квадратичная форма, порожденная симметрической билинейной формой, ее координатная и векторно-матричная запись.

11. Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду.

Канонический и нормальный вид квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа. Закон инерции квадратичных форм. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы, ее ранг. Обоснование закона инерции квадратичных форм*. Понятия суммы и пересечения подпространств, их общие свойства. Теорема о размерности суммы подпространств, имеющих нулевое пересечение. Формулировка и обоснование закона инерции квадратичных форм.

12. Знакоопределенные квадратичные формы. Положительно (отрицательно) определенная квадратичная форма. Канонический и нормальный вид положительно (отрицательно) определенной квадратичной формы, ее индексы и ранг. Критерий Сильвестра положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы.

13. Евклидово пространство. Определение евклидова пространства. Евклидово скалярное произведение. Примеры евклидовых пространств. Неравенство Коши-Буняковского. Длины векторов и углы между ними. Неравенство треугольника. Ортогональные векторы. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве.

14. Матрица Грама. Матрица Грама скалярного произведения в заданном базисе. Координатная и векторно-матричная запись скалярного произведения. Критерий матрицы Грама. Преобразование матрицы Грама при замене базиса.

15. Ортогональный и ортонормированный базис. Линейная независимость ортогональной
системы векторов. Ортогональный и ортонормированный базисы. Запись матрицы Грама,
скалярного произведения векторов и длин векторов в этих базисах. Метод ортогонализации
базиса.

16. Сопряженный оператор. Понятие сопряженного оператора в евклидовом пространстве. Существование и единственность сопряженного оператора, его матрица в ортонормированием базисе. Свойства сопряжения операторов.

17. Самосопряженный оператор. Определение самосопряженного оператора,

симметричность его матрицы в ортонормированием базисе. Свойства самосопряженных

операторов.

*Понятие ортогонального дополнения для подпространства в евклидовом пространстве.

Инвариантные подпространства самосопряженного оператора. Построение базиса из

собственных векторов самосопряженного оператора.

18. Ортогональный оператор. Понятие ортогонального оператора и его основные свойства. Критерии ортогональности оператора (перевод ортонормированного базиса в ортонормированный, совпадение обратного оператора с сопряженным). Ортогональные матрицы и их свойства.

19. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом ортогональных преобразований. Эквивалентность формул преобразования матрицы квадратичной формы и матрицы самосопряженного оператора при переходе от одного ортонормированного базиса к другому. Построение канонического базиса квадратичной формы как ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора.



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Программа экзамена по курсу «Анализ на многообразиях» для студентов 1 года магистратуры (геометрия) Зимняя сессия 2012/13 уч года

    Программа
    Гладкие отображения областей евклидовых пространств. Диффеоморфизм областей евклидовых пространств. Пример диффеоморфизма областей евклидовых пространств.
  2. Программа экзамена по геометрии для студентов 1 года магистратуры (геометрия) Зимняя сессия 2011/12 уч года

    Программа
    Гладкие отображения областей евклидовых пространств. Диффеоморфизм областей евклидовых пространств. Пример диффеоморфизма областей евклидовых пространств.
  3. «алгебра и геометрия»

    Рабочая программа
    Рабочая программа основана на требованиях Федерального государственного стандарта высшего профессионального образования по направлению подготовки 231 Программная инженерия, утвержденного Приказом Минобрнауки 9.
  4. Информационный пакет программ обучения по специальности 5в070300 – «информационные системы»

    Документ
    Присуждаемые степени - Выпускнику бакалавриата по специальности 5В070300 – «Информационные системы» присуждается академическая степень бакалавра информационной системы.
  5. ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ Общая характеристика учебных программ по специальности 5В070300 – «Информационные системы» Присуждаемые степени -

    Документ
    Присуждаемые степени - Выпускнику бакалавриата по специальности 5В070300 – Информационные системы присуждается академическая степень бакалавра информационных систем.
  6. Общая характеристика учебных программ по специальности 5В070300 – «Информационные системы» Присуждаемые степени -

    Документ
    Присуждаемые степени - Выпускнику бакалавриата по специальности 5В070300 – Информационные системы присуждается академическая степень бакалавра информационных систем.

Другие похожие документы..