textarchive.ru

Главная > Документ




Тема 2. Системы линейных уравнений.

Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде:



Здесь x1x2, , xn – неизвестные величины, aij (i = 1,2, , m;
j =1, 2, , n) – числа, называемые коэффициентами системы (первый индекс фиксирует номер уравнения, второй — номер неизвестной), b1b2, , bm –числа, называемые свободными членами.

Решениемсистемы будем называть упорядоченный набор чисел x1x2, , xn, обращающий каждое уравнение системы в верное равенство.

Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет.

Система, имеющая решение, называется совместной.

Если система имеет только одно решение, то она называется определенной. Система, имеющая более чем одно решение, называется неопределенной (совместной и неопределенной).

Если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Система, у которой все свободные члены равны нулю
(b1 = b2 == bn = 0), называется однородной. Однородная система всегда совместна, так как набор из n нулей удовлетворяет любому уравнению такой системы.

Если число уравнений системы совпадает с числом неизвестных (m=n), то система называется квадратной.

Две системы, множества решений которых совпадают, называются эквивалентными или равносильными (совпадение множеств решений означает, что каждое решение первой системы является решением второй системы, и каждое решение второй системы является решением первой).

Две несовместные системы считаются эквивалентными.

Преобразование, применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентным или равносильным преобразованием. Примерами эквивалентных преобразований могут служить следующие преобразования: перестановка местами двух уравнений системы, перестановка местами двух неизвестных вместе с коэффициентами у всех уравнений, умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Рассмотрим квадратную систему



У этой системы коэффициент a11 отличен от нуля. Если бы это условие не выполнялось, то чтобы его получить, нужно было бы переставить местами уравнения, поставив первым то уравнение, у которого коэффициент при x1 не равен нулю.

Проведем следующие преобразования системы:

1) поскольку a110, первое уравнение оставим без изменений;

2) вместо второго уравнения запишем уравнение, получающееся, если из второго уравнения вычесть первое, умноженное на 4;

3) вместо третьего уравнения запишем разность третьего и первого, умноженного на 3;

4) вместо четвертого уравнения запишем разность четвертого и первого, умноженного на 5.

Полученная новая система эквивалентна исходной и имеет во всех уравнениях, кроме первого, нулевые коэффициенты при x1 (это и являлось целью преобразований 1 – 4):



Можно доказать, что замена любого уравнения системы новым, получающимся прибавлением к данному уравнению любого другого уравнения системы, умноженного на любое число, является эквивалентным преобразованием системы.

Для приведенного преобразования и для всех дальнейших преобразований не следует целиком переписывать всю систему, как это только что было сделано. Можно избавиться от необходимости выписывать всякий раз обозначения неизвестных. Для этого коэффициенты системы надо выписывать столбцами, договорившись, что коэффициенты при х1 всегда располагаются в первом столбце, при х2 – во втором и т.д. Свободные члены, стоящие в правых частях уравнений, запишем в виде последнего дополнительного столбца. Тогда исходную систему  можно представить в виде расширенной матрицы:

.

Введем обозначения:

А представляет собой матрицу коэффициентов при неизвестных и называется матрицей коэффициентов системы или просто матрицей системы. Векторы-столбцы называются столбцами свободных членов и неизвестных соответственно. Введенные обозначения позволяют записать исходную систему  в очень компактной матричной форме:

.

Эта форма записи будет широко использоваться в дальнейших разделах курса. Расширенная матрица системы получается приписыванием справа столбца свободных членов к матрице системы:

Каждую систему m линейных уравнений с n неизвестными можно представить в виде расширенной матрицы, содержащей m строк и n+1 столбцов. Каждую матрицу можно считать расширенной матрицей или матрицей коэффициентов некоторой системы линейных уравнений. Системе  соответствует расширенная матрица

.

Преобразуем эту матрицу следующим образом:

1) первые две строки оставим без изменения, поскольку элемент a22 не равен нулю;

2) вместо третьей строки запишем разность между второй строкой и удвоенной третьей;

3) четвертую строку заменим разностью между удвоенной второй строкой и умноженной на 5 четвертой.

В результате получится матрица, соответствующая системе, у которой неизвестная x1 исключена из всех уравнений, кроме первого, а неизвестная x2 — из всех уравнений кроме первого и второго:

.

Теперь исключим неизвестную x3 из четвертого уравнения. Для этого последнюю матрицу преобразуем так:

1) первые три строки оставим без изменения, так как a33  0;

2) из четвертой строки вычтем третью, умноженную на 39:

.

Полученная матрица соответствует системе



Из последнего уравнения этой системы получаем x4 = 2. Подставив это значение в третье уравнение, получим x3 = 3. Теперь из второго уравнения следует, что x2 = 1, а из первого — x1 = –1. Очевидно, что полученное решение единственно (так как единственным образом определяется значение x4, затем x3 и т. д.).

Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие преобразования:

1) перемена местами двух строк;

2) умножение строки на число, отличное от нуля;

3) замена строки матрицы суммой этой строки с любой другой строкой, умноженной на некоторое число.

Если матрица A является расширенной матрицей некоторой системы, и путем ряда элементарных преобразований матрицаAпереводится в матрицу B, являющуюся расширенной матрицей некоторой другой системы, то эти системы эквивалентны.

Назовем квадратную матрицу, у которой на главной диагонали стоят числа, отличные от нуля, а под главной диагональю – нули, треугольной матрицей. Матрица коэффициентов системы  – треугольная матрица.

Если с помощью элементарных преобразований матрицу коэффициентов квадратной системы можно привести к треугольной матрице, то система совместна и определенна.

Рассмотрим другой пример:

.

Проведем следующие преобразования расширенной матрицы системы:

1) первую строку оставим без изменения;

2) вместо второй строки запишем разность между второй строкой и удвоенной первой;

3) вместо третьей строки запишем разность между третьей строкой и утроенной первой;

4) четвертую строку заменим разностью между четвертой и первой;

5) пятую строку заменим разностью пятой строки и удвоенной первой.

В результате преобразований получим матрицу

.

Оставив без изменения первые две строки этой матрицы, приведем ее элементарными преобразованиями к следующему виду:

.

Если теперь, следуя методу Гаусса, который также называют и методом последовательного исключения неизвестных, с помощью третьей строки привести к нулю коэффициенты при x3 в четвертой и пятой строках, то после деления всех элементов второй строки на 5 и деления всех элементов третьей строки на 2 получим матрицу

.

Каждая из двух последних строк этой матрицы соответствует уравнению 0x1+0x2+0x3+0x4+0x5 = 0. Это уравнение удовлетворяется любым набором чисел x1, x2, , x5, и его следует удалить из системы. Таким образом, система с только что полученной расширенной матрицей эквивалентна системе с расширенной матрицей вида

 .

Последняя строка этой матрицы соответствует уравнению
x3 – 2x4 + 3x5 = –4. Если неизвестным x4 и x5 придать произвольные значения: x4 = r; x5 = s, то из последнего уравнения системы, соответствующей матрице , получим x3 = –4 + 2r – 3s. Подставив выражения x3, x4, и x5 во второе уравнение той же системы, получим x2 = –3 + 2r – 2s. Теперь из первого уравнения можно получить x1 = 4 – r + s. Окончательно решение системы представляется в виде

.

Рассмотрим прямоугольную матрицу A, у которой число столбцов m больше, чем число строк n. Если матрицу A можно разделить вертикальной чертой на две матрицы: стоящую слева треугольную матрицу размера m и стоящую справа прямоугольную матрицу, то матрицу A назовем трапециевидной или трапецеидальной. Очевидно, что матрица  — трапециевидная матрица.

Если при применении эквивалентных преобразований к системе уравнений хотя бы одно уравнение приводится к виду

0x1 + 0x2 + 0xn = bj (bj  0),

то система несовместна или противоречива, так как ни один набор чисел x1x2, , xn не удовлетворяет этому уравнению.

Если при преобразовании расширенной матрицы системы матрица коэффициентов приводится к трапецеидальному виду и при этом система не получается противоречивой, то система совместна и является неопределенной, то есть имеет бесконечно много решений.

В последней системе можно получить все решения, придавая конкретные числовые значения параметрам r и s.

Те переменные, коэффициенты при которых стоят на главной диагонали трапецеидальной матрицы (это значит, что эти коэффициенты отличны от нуля), называются базисными. В рассмотренном выше примере это неизвестные x1, x2, x3. Остальные неизвестные называются свободными. В рассмотренном выше примере это неизвестные x4, и x5. Свободным неизвестным можно придавать любые значения или выражать их через параметры, как это сделано в последнем примере.

Базисные неизвестные единственным образом выражаются через свободные неизвестные.

Если свободным неизвестным приданы конкретные числовые значения и через них выражены базисные неизвестные, то полученное решение называется частным решением.

Если свободные неизвестные выражены через параметры, то получается решение, которое называется общим решением.

Все бесконечное множество решений системы можно получить, придавая свободным неизвестным любые числовые значения и находя соответствующие значения базисных неизвестных.

Если всем свободным неизвестным приданы нулевые значения, то полученное решение называется базисным.

Одну и ту же систему иногда можно привести к разным наборам базисных неизвестных. Так, например, можно поменять местами 3-й и 4-й столбцы в матрице . Тогда базисными будут неизвестные x1, x2, x4, а свободными – x3 и x5.

Если получены два различных набора базисных неизвестных при различных способах нахождения решения одной и той же системы, то эти наборы обязательно содержат одно и то же число неизвестных, называемое рангом системы.

Рассмотрим еще одну систему, имеющую бесконечно много решений:

.

Проведем преобразование расширенной матрицы системы по методу Гаусса:

.

Как видно, мы не получили трапецеидальной матрицы, однако последнюю матрицу можно преобразовать, поменяв местами третий и четвертый столбцы:

.

Эта матрица уже является трапецеидальной. У соответствующей ей системы две свободных неизвестных – x3, x5 и три базисных – x1x2x4. (Ранг системы равен 3). Решение исходной системы представляется в следующем виде:

.

Приведем пример не имеющей решения системы:

.

Преобразуем матрицу системы по методу Гаусса:

.

Последняя строка последней матрицы соответствует не имеющему решения уравнению 0x+ 0x+ 0x= 1. Следовательно, исходная система несовместна.

Сформулируем теперь кратко суть метода Гаусса. Полагая, что в системе коэффициент a11 отличен от нуля ( если это не так, то следует на первое место поставить уравнение с отличным от нуля коэффициентом при x1 и переобозначить коэффициенты), преобразуем систему следующим образом: первое уравнение оставляем без изменения, а из всех остальных уравнений исключаем неизвестную x1 с помощью эквивалентных преобразований описанным выше способом.

В полученной системе

,

считая, что (что всегда можно получить, переставив уравнения или слагаемые внутри уравнений и переобозначив коэффициенты системы), оставляем без изменений первые два уравнения системы, а из остальных уравнений, используя второе уравнения, с помощью элементарных преобразований исключаем неизвестную x2. Во вновь полученной системе

при условии оставляем без изменений первые три уравнения, а из всех остальных с помощью третьего уравнения элементарными преобразованиями исключаем неизвестную x3.

Этот процесс продолжается до тех пор, пока не реализуется один из трех возможных случаев:

1) если в результате приходим к системе, одно из уравнений которой имеет нулевые коэффициенты при всех неизвестных и отличный от нуля свободный член, то исходная система несовместна;

2) если в результате преобразований получаем систему с матрицей коэффициентов треугольного вида, то система совместна и является определенной;

3) если получается система с трапецеидальной матрицей коэффициентов (и при этом не выполняется условие пункта 1), то система совместна и неопределенна.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 3.

Решить методом Гаусса:


  1. Сколько в системе базисных неизвестных?
    Сколько свободных?
    Укажите частное решение, удовлетворяющее условию х1=0.
    Укажите общее решение системы.

Ответы

1) (1,2,3); 2) (0,2,0); 3) (-1,2,1); 4) (3,2,-2); 5) (1,2,3); 6) система несовместна; 7) (2+5z)/3, (5-7z)/3, z); 8) (t, 7-3t, 18-7t); 9) 3, 1, (0,1,2,1), ( (2-2t)/3, 6-5t, (8t-2)/3, t ).

Матричные уравнения

Как уже отмечалось ранее, систему из m уравнений с n неизвестными можно представить в матричном виде:



где

; ; .

Ниже будет показано, что, записывая систему в сжатом виде, кроме краткости написания мы получаем и другие очень важные преимущества.

Пусть имеются две квадратные матрицы одинаковой размерности:

.

Требуется найти матрицу X, удовлетворяющую матричному уравнению

AX = B.

Из правила умножения матриц следует, что матрица X должна быть квадратной матрицей той же размерности, что и матрицы A и B:

.

Из правила умножения матриц и из определения равенства матриц следует, что последнее матричное уравнение распадается на три системы линейных уравнений:

 ; ; .

Все три системы  имеют одинаковые матрицы коэффициентов, что дает возможность решать их одновременно, введя матрицу

.

Здесь первые четыре столбца образуют расширенную матрицу первой системы, первые три столбца вместе с пятым столбцом образуют расширенную матрицу второй системы, а первые три столбца вместе с шестым – расширенную матрицу третьей системы.

Применим для решения метод Жордана-Гаусса который является модификацией метода Гаусса.

Первый шаг преобразования матрицы по методу Жордана-Гаусса совпадает с первым шагом преобразований по методу Гаусса. Оставляем без изменений первую строку матрицы, а во второй и третьей “организуем” нули в первом столбце:

.

Теперь, следуя методу Жордана-Гаусса, оставляем без изменения лишь вторую строку (так как a22  0) и получаем с помощью второй строки в первой и третьей строках во втором столбце нули. Для этого вместо первой строки пишем сумму первой строки, умноженной на 5, и второй строки, умноженной на –2. Вместо третьей строки пишем сумму третьей строки , умноженной на 5, и второй строки, умноженной на –1 После деления полученной третьей строки на 2 получаем матрицу

.

Чтобы в первой и второй строках в третьем столбце получить нули, проведем следующие преобразования последней матрицы. Оставив третью строку без изменений, заменим вторую строку разностью второй строки и утроенной третьей, а первую – суммой первой и третьей строк. После деления первой и второй строк преобразованной матрицы на 5 получится матрица

 .

При преобразовании системы по методу Жордана-Гаусса матрица коэффициентов приводится (если это возможно) к единичной матрице.

Если взять первые четыре столбца матрицы (3), то получится матрица, в которую преобразовалась расширенная матрица первой из систем уравнений (2). Из нее следует: x11=2; x21=–5; x31=10. Матрица, образованная первыми тремя столбцами вместе с пятым столбцом матрицы (3), дает решение второй системы уравнений (2): x12=2; x22=1; x32=–3. И, наконец, матрица, образованная первыми тремя столбцами вместе шестым столбцом матрицы (3), дает решение третьей системы уравнений (2): x13=3; x23=–4; x33=12.

Из сказанного можно сделать очень интересный и важный вывод: последние три столбца матрицы (3) образуют искомую матрицу X.

.

Нулевой матрицей называется матрица, у которой все элементы – нули. Очевидно равенство A+ (–1)A = 0. Здесь в правой части через 0 обозначена нулевая матрица той же размерности, что и матрица A.

Напомним, что квадратная матрица Е размера n называется единичной, если все её элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные – нули.

.

Легко проверить справедливость равенств: EA = AE = A. Здесь A – квадратная матрица, и размеры A и E одинаковы.

Пусть A – квадратная матрица. Обратной матрицей к матрице A называется такая матрица A–1, для которой справедливы равенства:

AA–1 = A–1A = E.

Очевидно, что A–1 – квадратная матрица того же размера, что и матрица A. Сразу заметим, что не всякая квадратная матрица имеет обратную матрицу.

Поставим задачу: найти обратную матрицу к матрице

.

Условие

,

где

,

сводится к трём системам уравнений, которые будем решать одновременно, используя метод Жордана-Гаусса. Матрица, представляющая расширенные матрицы всех трёх систем, примет вид

.

Подвергая её преобразованиям по методу Жордана-Гаусса, последовательно будем получать:

(4)

Как и в предыдущем примере, можно сказать, что три последних столбца образуют искомую матрицу, то есть

.

Теперь сформулируем правило, по которому находится матрица, обратная к квадратной матрице А размера n.

Нужно выписать матрицу размерности n  2n, первые n столбцов которой образованы матрицей А, а последние n столбцов образуют единичную матрицу Е. Построенная таким образом матрица преобразуется по методу Жордана-Гаусса так, чтобы на месте матрицы А получилась единичная матрица, если это возможно. Тогда на месте матрицы Е получается матрица А–1.

Если матрицу Анельзя методом Жордана-Гаусса преобразовать к единичной матрице, то А–1 не существует. Так матрица

не имеет обратной. Читатель может в этом убедиться самостоятельно.



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Контрольная работа №1 системы линейных уравнений тема 1 системы линейных уравнений

    Контрольная работа
    ... СистемылинейныхуравненийТЕМА 1. Системылинейныхуравнений. Матрицы и действия с ними. Определители и их основные свойства. Методы решения систем линейныхуравнений ... . СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра ...
  2. Линейные уравнения Содержание Введение Глава 1

    Решение
    ... с системамилинейныхуравнений. Глава 1. Понятие и решение линейныхуравнений Как уже упоминалось во введении, линейноеуравнение есть алгебраическое уравнение ...
  3. Урок алгебры в 7-м классе " Система линейных уравнений с двумя переменными"

    Урок
    ... Ход урока. 1. Сообщение темы урока. Тема нашего урока “Системылинейныхуравнений с двумя переменными”. На ... такую модель называют системойлинейныхуравнений с двумя переменными. Определение: Решением системылинейныхуравнений с двумя переменными ...
  4. Урок алгебры в 7-м классе " Система линейных уравнений с двумя переменными"

    Урок
    ... Ход урока. 1. Сообщение темы урока. Тема нашего урока “Системылинейныхуравнений с двумя переменными”. На ... такую модель называют системойлинейныхуравнений с двумя переменными. Определение: Решением системылинейныхуравнений с двумя переменными ...
  5. Глава 7 системы линейных уравнений 7 1 основные понятия

    Решение
    ... название формул Крамера. Тем самым доказано, что квадратная системалинейныхуравнений (7.6) с определителем системы, отличным от ... матриц. Это отступление обусловлено тем, что произвольная системалинейныхуравнений (7.1) с точностью до обозначения ...

Другие похожие документы..