textarchive.ru

Главная > Документ


Метод целевого синтеза как инструмент постановки и решения задач о существовании из теории чисел

Седелев Б. В.

От автора

Метод целевого синтеза в первоначальном варианте был разработан автором в качестве конструктивного инструмента постановки и решения сложных задач эконометрии, а затем распространен на задачи теории чисел.

Для объектов указанных дисциплин характерна форма представления в виде понятий-вещей, определяемых совокупностью имеющихся в отношении них численных и теоретических знаний.

Поэтому составить “извне” – на основе гипотетико-дедуктивного метода, постулатов или систем аксиом адекватное представление о внутренней структуре и связях понятий-вещей столь же трудно, как угадать, что находится в руке у вопрошающего. Недаром указанный подход к познанию получил наименование метода “проб и ошибок”.

О подобных трудностях познания в теории чисел говорит и известная теорема Гёделя “о неполноте”: даже в богатых системах аксиом существуют истинные предложения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

Более адекватным методом познания, включающим постановку и решение задач со смешанными (численными и теоретическими) знаниями, является синтез отвечающих цели исследования субъектно-предикатных предложений, их формирование “изнутри”.

Для ознакомления с теоретическими и прикладными аспектами метода целевого синтеза в эконометрических задачах (регрессионном анализе и прогнозировании временных рядов наблюдений и связывающих их многофакторных моделей) достаточно прочитать первую часть монографии автора “Оценка параметров и структуры экономических процессов” (М.: “Экономика”, 1985 г.). Что касается возможностей метода как инструмента постановки и решения глубоких и интересных задач теории чисел, то оценить их можно при прочтении данной работы.

Седелев Б. В., д. э. н.,

профессор экономико-аналитического института МИФИ,

выпускник мех.-мат. фак-та МГУ им. М. В. Ломоносова.

Обобщение числовой структуры и связей объектов

из последней теоремы Ферма

На основе разработанной в рамках новой эконометрии методологии целевого синтеза построена математическая теория-гипотеза, обобщающая последнюю теорему Ферма.

Поскольку для совершенства познания

всё должно познаваться само через себя

(вещь есть то, что она есть, мнений же

о вещах – бесконечность), то пусть изуча-

ющий держится вещей, а не слов о вещах.

Ян Амос Коменский

Предисловие

В истории развития методов доказательства в математике анализ и синтез всегда сопутствовали и дополняли друг друга. Однако с конца XIX в. методы синтеза стали использоваться все реже, а анализ и формальные про­цедуры доказательства превратились в основной инструмент, обеспечи­вающий развитие математики.

Достигнутые с тех пор успехи математики несомненны, но не столь несомненно позитивным является указанное преобладание аналитических результатов над синтетическими. Ибо, доказывая истинность утверждений “если A, то B”, анализ нуждается в постоянном притоке нового знания о субъектах и предикатах высказываний. Обеспечить такой приток существенно нового знания может только синтез, имеющий своей целью расширять в каждом доказательстве понятие субъекта до охвата им понятия (нового) предиката.

Методы синтеза особенно актуальны в данный исторический период системного кризиса нашей цивилизации, преодолеть который можно только противопоставив темпам разрушительных тенденций не меньшие темпы получения новых обобщений и углублений научного знания и отвечающих им новых принципов и технологий взаимодействия человека и природы.

С тех пор, как Пьер Ферма (1601-1665 г.г.) сформулировал свою знаменитую теорему все последующие поколения математиков активно участвовали в попытках её доказательства. Среди участников были ученые и других специальностей. Так известный физик Вернер Гейзенберг признавался, что в молодые годы очень хотел доказать эту теорему. Известно также, что во всех без исключения обнародованных доказательствах были обнаружены ошибки.

Наконец, в 1993 г. британский математик Эндрю Уайлс, работающий в Принстоне (США), представил доказательство теоремы, признанное мировой математической общественностью безошибочным. По своей форме и средствам доказательство является сугубо аналитическим и сложным, а по объему - весьма большим. В первоначальном варианте оно занимало 200 с., а после учета замечаний о необходимости ряда уточнений возросло в 1996г. до 400 с. основного и 1200 с. так называемого инструктивного текста.

Предлагаемое в данной статье развитие вопроса, отправляясь как от исходной от поставленной в последней теореме Ферма проблемы несуществования у соответствующего уравнения целых положительных решений, сосредоточено на установлении условий существования такихрешений у некоторой совокупности уравнений более общего вида и обосновании методов синтеза этих уравнений.

С этой целью была применена методология, разработанная автором для исследования сложных эконометрических задач, близких по своей постановке и логике решения к естественнонаучным. В условиях характерной для них недостаточности знаний получаемые решения неизбежно становятся гипотетическими.

Эти решения-гипотезы, конечно же, логически непротиворечивы, но главное в них это то, что они объясняют все известные нам факты существования предмета исследования и его свойства. Поэтому результаты доказательства признаются как истинные до тех пор, пока не найдутся такие новые факты, которые придут в противоречие с ними.

В такого рода решениях нуждаются не только естественные науки, но и математика, для которой они создают новые постановки задач и намечают пути их традиционного формально- логического решения. Последнее представляет собой лишь часть цепочки познания, от прочих звеньев которой зависит познавательная надёжность самого формально-логического звена.

Очень хорошо о характере и сути доказательства сказал известный математик, академик А.Д. Александров: "Доказательство - в практике, наблюдении, опыте, эксперименте и логическом выводе...

Будь готов пересмотреть свое даже основанное на доказательстве убеждение, если того требуют новые аргументы из того же арсенала средств доказательств"1

В данной статье учтены (в пределах указанного подхода) замечания по брошюре 1996г., сделанные специалистами МГУ им. М В. Ломоносова - кандидатом физ.-мат. наук, доктором эконом. наук, профессором Ю. Н. Черемныхом, доктором физ.-мат. наук, профес­сором В. С. Левченковым, кандидатом техн. наук Н. П. Брусенцовым, кандидатом физ.-мат. наук В. В. Лохиным. Всем им автор приносит глубокую и искреннюю благодарность.

Постановка задачи

Прежде всего докажем, что уравнение Ферма

x1n+x2n=yn(1)

при n2 не имеет таких целых положительных решений (K1, K2, L), у которых хотя бы два числа были бы равными, т.е. либо K1=K2,либо K1=L, либо K2=L, либо K1=K2=L.

Предполагая противное, а именно, что K1=K2, получаем: . Откуда следует, что при n2 числа K2 и L не могут быть целыми оба.

Анализ остальных случаев столь же очевидным образом приво­дит к отрицательным ответам на предположение о существовании указанных выше равенств.

Тем самым, проблема, поставленная в последней теореме Ферма, сводится к доказательству несуществования у уравнения (1) при n>2 решений, состоящих из различных целых положитель­ных чисел.

Для этого достаточно доказать, что множество равенств

K1n+K2n=Ln , n>2, (2)

состоящих из степеней различных целых положительных чиселK1n, K2n, Ln, не существует (является пустым).

Чтобы доказать это, достаточно установить необходимые условия существования для множества равенств более общего ви­да, а именно –

, k>1, n≥2, (3)

и показать затем, что нарушение этих условий приводит к несуществованию равенств, частным случаем которых являются равен­ства (2).

Это означает, что основным (целевым) объектом исследования становятся равенства (3), вопросы их существования и не­существования.

Поскольку степени различных целых положительных чисел в равенствах (3) являются не чем иным как ординатами точек степен­ной функции tnс абциссами K1, ..., Kk, L, то, чтобы решить ука­занную задачу в отношении равенств (3), достаточно решить ее для соответствующих точек степенной функции tn.

Решение задачи

Первым возникает вопрос об адекватном поставленной задаче тождественном линейном представлении степенной функции tn (не­тривиальном представлении), так как ее тривиальное представле­ние в виде z=tn для наших целей недостаточно.

Обратимся в связи с этим к некоторым различным целым положительным числам N1, ..., Nr.

Построим с их помощью следующие степенные функции -

(t+N1)n, ..., (t+Nr)n, n2, (4)

и будем их вместе с функцией tn рассматривать на множестве

-<t<+.

Известно, что при r=n+1 функции (4) образуют базис, по которому единственным образом может быть разложена функция tn:

, n2. (5)

Тождество (5) двуедино по своему смыслу. Во-первых, оно является единственной линейной связью различных сдвинутых по отношению друг к другу на целочисленные значения аргументов степенных функций. А во-вторых, при любом значении t=0, 1, 2, ...оно является линейной связью различных целых, положительных по координатам точек одной и той же степенной функции tn.

Обращение к другим адекватным по своей форме поставленной задаче (т.е. линейным) представлениям функции tn приводит либо к нарушению их единственности - при большем, чем в фор­муле (5) числе функций (r>n+1),либо к невозможности самого тождественного линейного представления tnпри меньшем, чем в (5) числе функций (r<n+1).

Тем самым, получен интересующий нас линейный вариант определяющего свойства функции tn: её любая точка может быть представлена в виде линейной комбинации n+1 других произвольных или специально выбранных её точек.

Каждая из функций базиса (t+Nm)n, будучи порожденной из функции tn сдвигом по аргументу, не может быть ортогональной по отношению к tn на множестве -<t<+. Это подтверждается следующими выражениями -

. (6)

Из неортогональности функций (t+Nm)n no отношению к tnследует, что все коэффициенты разложения последней по первым в формуле (5) будут отличны от нуля:

am0, m=1, ..., n+1. (7)

Полагая в тождестве (5) t=0, получим для левой его части тривиальное равенство 0n=0, а для правой - нетривиальное равенство (линейную связь точек функции tn):

n+1 n

amNm=0, n≥2. (8)

m=1

От всех других нетривиальных равенств, которые получаются из правой части тождества (5) при t=1,2,... и также связывают степени различных целых положительных чисел, равенства (8) отличаются тем, что имеют минимальное число членов, равное n+1 (у других n+2).

Нам неизвестно - существуют ли для произвольного n такие N1, ..., Nn+1, которые позволяют с помощью тождественных преобразований перейти от равенств (8) к равносиль­ным им равенствам с одинаковыми по величине коэффициентами -

, n2, (9)

где K1, ..., Kn, L - те же самые числа N1, ..., Nn+1, только иначе обозначенные. Если такие числа существуют, то равенства приобре­тают интересующий нас вид -

, n2. (10)

В то же время, из решения методом Крамера системы из n+1 линейных неоднородных уравнений, отвечающей тождеству (5) при t=N1, ..., Nn+1, вытекает, что все определители, стоящие как в числителях, так и в знаменателях выражений для a1, ..., an+1, бу­дут целыми числами, а сами a1, ..., an+1, - рациональными числами. Поэтому гипотеза о существовании равенств (9) и (10), возмож­ная лишь в условиях единства числовой природы коэффициентов a1, ..., an+1, (либо их рациональности, либо их пропорциональности одному и тому же иррациональному числу), не отвергается.

Вместе с тем, примеры равенств (10) для значений n=2, 3 -

32+42=52, 52+122=132,

13+63+83=93, 33+43+53=63 (11)

являются достаточным основанием для доказательства непустоты данного множества равенств: непустота множества - это сущест­вование хотя бы одного из принадлежащих ему равенств.

Сказанное означает возможность синтеза, а следовательно, и существования множества равенств (3) при условии k=n, n=2,3,...

Отмечая важность "возможности существования" предмета исследования (понятия о нем) для строгости и обоснованности проводимого доказательства, Лейбниц писал: "Разумеется, мы не можем безопасно строить доказательства о каком бы то ни было понятии, если не знаем, возможно ли оно, ибо из невозможного, или содержащего в себе про­тиворечие, может быть доказало даже контрадикторное..."2 И далее: "В свою очередь, установление гипотезы, или объяснение способа по­рождения, есть не что иное, как доказательство возможности предмета, даже если представляемый предмет зачастую не порождается этим способом..."3 .

В связи с полученным результатом возникает естественное предположение, что равенства (3) при k=n как раз и являются наиболее интересным для нашей задачи случаем возможных равенств – с минимальным числом членов. Ведь если бы это оказалось так, то задача о существовании и несуществовании равенств (3) была бы успешно решена, поскольку равенства

k n n

Ki=L, 1<k< n, (12)

i=1

были бы невозможны из-за того, что число членов в них меньше минимального.

В условиях единственности разработанного метода порождения нам оставалось бы логически продолжить начатое на его основе решение задачи. Однако могут существовать и другие адекватные поставленной задаче методы. Поэтому прежде следует установить полную группу адекватных методов порождения, в надежде на более глубокое проникновение в свойства интересующих нас равенств.

Обратимся с этой целью к хорошо известному в численном анали­зе методу, развитому около двух веков тому назад. Это метод построе­ния интерполяционного полинома Лагранжа для некоторой функции z=z(t) по ее r точкам t=N1, ..., Nr -

Pr-1(t)=z1Q1(t)+...+zrQr(t), (13)

где , m=1, ..., r, Fr(t)=(t-N1)...(t-Nr).

Для z=tn и r=n+1 формула Лагранжа (13) превращается в следующее тождество по t:

tn N1nQ1(t)+...+ Nn+1nQn+1(t). (14)

Полагая в формуле (14) t=0 , получаем для ее правой части нетривиальное равенство

. (15)

Как и ранее, все коэффициенты am отличны от нуля. Поэтому равенство (15) имеет минимальное среди нетривиальных равенств (t=1,2,...,кроме t=N1,..., Nn+1) число членов, равное n+1(у дру­гих - n+2 ).

Поиск интересующих нас (целевых) равенств осуществляется по­средством перебора образующих счетное множество векторов (N1,..., Nn+1), n=2,3...

Так для n=2 и N1=3, N2=4, N3=5 имеем:



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Теория и методы цифровой обработки сигналов

    Документ
    ... характеризуется заданным отношением собственных чисел , определяющим форму поверхности целевой функции, а также характер ... В.Я. Методырешения некорректных задач. М.:Наука. – 1979. – 385 с. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и ...
  2. Информатика предмет и задачи 4 общая схема постановки и решения предметных задач 9 представление о моделях 12 информация 15

    Методическое пособие
    ... Изкаких этапов состоит процесс постановки и решения предметной задачи с помощью ЭВМ? Какие специалисты принимают участие в постановке и решении предметной задачи ... доказать несколько весьма сложных теорем в теориичисел. Кроме того, их использование ...
  3. Теория принятия решений учебное пособие - м издательство " март" 2004

    Учебное пособие
    ... одном изинструментов принятия решений. Обсуждаются подходы к решениюзадач целочисленного программирования - метод приближения непрерывными задачами и методы направленного перебора ... веса. Но при этом, как мы знаем изтеории измерений (см. ниже часть ...
  4. Теория принятия решений учебное пособие - м издательство " март" 2004

    Учебное пособие
    ... одном изинструментов принятия решений. Обсуждаются подходы к решениюзадач целочисленного программирования - метод приближения непрерывными задачами и методы направленного перебора ... веса. Но при этом, как мы знаем изтеории измерений (см. ниже часть ...
  5. Теория информационных процессов и систем

    Лекция
    ... для решениязадач первого класса. При обработке материалов коллективной экспертной оценки используются методытеории ... физические возможности и целевые установки его существования. Понятие "цели объекта" вводится как общая направленность ...

Другие похожие документы..