textarchive.ru

Главная > Документ


ПРОБЛЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ В СТРУКТУРИРОВАННЫХ МОДЕЛЯХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

В статье предлагается модификация трансформационного метода, позволяющая решить проблему эквивалентности для конечных детерминированных автоматов. Ил.: 2. Библиогр.: 8 назв.

Ключевые слова: трансформационный метод, проблема эквивалентности, конечные детерминированные автоматы.

Постановка проблемы. Для моделей вычислений существует ряд фундаментальных проблем: проблема эквивалентности; проблема построения полной системы эквивалентных преобразований; проблема минимизации. Для некоторых подклассов моделей вычислений данные проблемы решены. Существуют различные подходы для решения описанных проблем. Одним из подходов является подход, основанный на задании структуры модели вычислений в графическом виде. Модели вычислений, структура которых задана графически, будем называть структурированными. В работах Р.И. Подловченко и В.Е. Хачатряна [1] был предложен трансформационный метод для решения проблемы эквивалентности многоленточных автоматов, представленных в графическом виде. Ранее было доказано, что трансформационный метод позволяет доказать разрешимость проблемы эквивалентности для некоторых подклассов моделей вычислений, в частности, многоленточных автоматов с непересекающимися циклами, но не решает её для конечных детерминированных автоматов.

Анализ литературы. Под проблемой эквивалентности обычно понимается нахождение алгоритма, распознающего эквивалентность моделей вычислений. Доказано [2], что проблема эквивалентности в общем случае разрешима для многоленточных автоматов и, в частности, для конечных автоматов. Однако алгоритм разрешения многоленточных автоматов в работе [2] не был предложен. В статье Р. Берда [3] приводится решение проблемы эквивалентности для двухленточных автоматов и пример того, что предложенный в статье подход не решает проблему для трехленточных автоматов. В статье [4] предложен новый подход решения проблемы эквивалентности многоленточных автоматов. Что касается детерминированных конечных автоматов, то для них существует общеизвестный алгоритм разрешения эквивалентности [5].

Целью статьи является модификация трансформационного метода и обоснование того, что обобщенный трансформационный метод позволяет решить проблему эквивалентности для конечных детерминированных автоматов.

Трансформационный метод и его модификация. Как уже было сказано, трансформационный метод работает с многоленточными автоматами, представленными в графическом виде. Модель вычислений будем задавать в виде диаграммы. Последние диаграммы строятся над двумя конечными алфавитами: P = {p1, p2, …, pn} и Q = {0, 1}, где n –количество лент в автомате. По определению, диаграмма – это конечный ориентированный граф с размеченными вершинами и дугами. Его структура удовлетворяет следующим требованиям: в нем имеются две выделенные вершины, называемые входом и выходом диаграммы; из выхода нет исходящих дуг, а из всех остальных вершин исходят по две дуги; все вершины, кроме выхода, помечены символами алфавита P, а выходящие из вершин дуги помечены символами алфавита Q, причем дуги, выходящие из одной вершины, помечены различными символами. Любой конечный ориентированный путь u в диаграмме может быть описан историей L(u) = ((a1, ε1), (a2,ε2), …, (an,εn)), где ai – это метка вершины, из которой выходит i-я дуга, εi – это метка i-й дуги пути L, i = 1, 2, …, n.

pi-проекцией пути u называется слово, полученное из L(u) удалением всех пар, не содержащих символа pi, где i = 1, 2, …, n.

Определим маршрут, как путь, начинающийся во входе диаграммы. Маршрутом через диаграмму, назовем маршрут, заканчивающийся на выходе диаграммы.

Диаграммы D1 и D2 назовем эквивалентными, если для любого маршрута L1 через одну из диаграмм найдется маршрут L2 через другую диаграмму, такой что pi-проекции маршрутов L1 и L2 совпадают.

Диаграммы D1 и D2 назовем строго эквивалентными, если для любого маршрута L1 через одну из диаграмм найдется маршрут L2 через другую диаграмму, такой что истории маршрутов L1 и L2 совпадают.

Предложенная модель будет интерпретироваться как конечный детерминированный автомат, если при сравнении маршрутов потребовать совпадение только меток дуг.

На рис. 1 приведен пример диаграммы конечного автомата (метка ленты опущена): вход диаграммы обозначен черным кружком, а выход перечеркнутым, дуги с меткой единица снабжены жирной точкой в начале дуги.

Рис. 1. Пример диаграммы конечного автомата

Трансформационный метод основан на полной системе фрагментных эквивалентных преобразований. Определим фрагмент автомата как часть автомата, определяемая заданным множеством состояний автомата и содержащая вместе с этими состояниями все инцидентные им дуги. Вершины и инцидентные им дуги сохраняют приписанные им в автомате метки. Под фрагментным преобразованием будем понимать замену в автомате одного фрагмента другим. В работе [6] построена полная система эквивалентных преобразований многоленточных автоматов.

Определим характеристику диаграммы D, называемую покрытием. Это древовидный фрагмент, обозначим его F(D), все вершины и дуги, которого являются образами вершин и дуг автомата D с их метками и список пар эквивалентных вершин, обозначим его S. Корнем древовидного фрагмента является образ входа автомата D. Обозначим через V список всех вершин автомата D, лежащих на маршрутах через автомат, за исключением его выхода. Внося в F(D) какую-либо вершину из списка, будем вычеркивать ее образ из V.

На первом шаге в F(D) вносится корень – образ входа v0 автомата D, и вершина v0 удаляется из списка V. Пусть на некотором шаге в F(D) внесена вершина u, являющаяся образом вершины v автомата D и вершина v вычеркнута из V, причём вершина u – не выход и из неё ещё не выходят дуги. Обозначим 1 и 2 – дуги, исходящие из вершины v. Пусть i, i = 1, 2 оканчивается в вершине vi. Если vi содержится в V, создаем образ вершины vi и направляем в нее дугу i; удаляем vi из списка V. Если vi не содержится в списке V, но содержалась ранее и не является выходом, то создаем образ вершины vi, обозначим его vi', объявляем его выходом фрагмента F(D) и в нее направляем дугу i с ее меткой; пару (vi, vi') заносим в список S. Если vi не содержится в списке V, и не содержалась там, то строящийся фрагмент F(D) не меняется. Наконец, если vi является выходом D, то он также будет выходом для F(D), и дугу i с ее меткой, направляем в этот выход. В общем случае покрытие диаграммы строится неоднозначно. На рис. 2 изображены различные покрытия диаграммы, изображенной на рис. 1. Диаграмму, для которой можно построить единственное покрытие назовем однозначной.

Рис. 2. Различные покрытия диаграммы

Опишем шаги процесса сравнения на эквивалентность диаграмм D1 , D2, основанного на трансформационном методе.

Шаг 1. Построим покрытие F(D1) диаграммы D1 и определим список пар эквивалентных вершин S = {(s1, s1), …, (sn, sn)}.

Шаг 2. Трансформируем диаграмму D2, используя эквивалентные преобразования [6], в диаграмму D3, начинающуюся куполом, изоморфным F(D1). Купол диаграммы – это дерево, состоящее из некоторых вершин и инцидентных им дуг диаграммы, корнем, которого является вход диаграммы.

Если такое преобразование не возможно, то процесс заканчивает свою работу с заключением о том, что диаграммы D1 и D2 не являются эквивалентными. В противном случае строится список пар вершин R = {(r1, r1), …, (rn, rn)}, каждый элемент которого является изоморфным образом вершин списка S.

Шаг 3. Выполним шаги 1 – 3 для каждой пары диаграмм, входы которых заданы парами из списка R = {(r1, r1), …, (rn, rn)}. Это пары диаграмм: (D3(r1), D3(r1)), …, (D3(rn), D3(rn)).

Описанный процесс прослеживается на дереве потомков T(D1, D2).

Дерево потомков строится параллельно с вышеописанными шагами. Меткой корня дерева служит пара сравниваемых диаграмм (D1, D2), а метками вершин  пары сравниваемых подграфов. Непосредственными потомками корня дерева T(D1, D2) будут вершины, помеченные парами (D3(r1), D3(r1)), …, (D3(rn), D3(rn)). У пар диаграмм (D3(r1), D3(r1)), …, (D3(rn), D3(rn)) будут свои потомки и т.д. Сечение дерева T(D1, D2) называется α-сечением, если все вершины сечения помечены парами изоморфных диаграмм. В [7] доказано, что применение трансформационного метода к паре эквивалентных конечных детерминированных автоматов может привести к построению дерева потомков, в котором нет α-сечения.

Предложим следующую модификацию трансформационного метода:

Для каждой пары диаграмм дерева потомков в процессе сравнения диаграмм на эквивалентность необходимо выполнить дополнительный шаг, а именно, первую из диаграмм предварительно преобразовать в однозначную диаграмму. В работе [8] доказано, что любую диаграмму эквивалентными преобразованиями можно трансформировать в однозначную диаграмму.

Обозначим через μ алгоритм сравнения на эквивалентность двух диаграмм, использующий модификацию трансформационного метода. Тогда можно доказать следующие утверждения:

Лемма 1. Если диаграммы D1 и D2 – строго эквивалентны, то в дереве потомков T(D1, D2) непременно имеется α-сечение.

Лемма 2. α-сечение в дереве потомков T(D1, D2), где D1 и D2 – строго эквивалентные диаграммы, строится за конечное число шагов, которое задается только количеством вершин в диаграммах D1 и D2.

Теорема. Алгоритм μ является алгоритмом разрешения проблемы эквивалентности диаграмм.

Выводы. Модификация трансформационного метода, предложенная в статье, позволила решить проблему эквивалентности для детерминированных конечных автоматов. Данный метод работает со структурированными моделями вычислений и нацелен в общем случае на разрешение проблемы эквивалентности многоленточных автоматов.

Список литературы: 1. Подловченко Р.И. Об одном подходе к разрешению проблемы эквивалентности / Р.И. Подловченко, В.Е. Хачатрян // Программирование. – 2004. – № 3. – С. 3–20. 2. Harju T. The equivalence of multitape finite automata / T. Harju, J. Karhumaki // Theoret. Computer Sci. – 1991. – № 78. – Р. 347355. 3. Bird R. The equivalence problem for deterministic two-tape automata / R. Bird // J. of Computer and System Science. – 1973. – № 4. – Р. 218236. 4.Letichevsky Alexander A. The equivalence problem of deterministic multitape finite automata: a new proof of solvability using a multidimensional tape / Alexander A. Letichevsky, Arsen S. Shoukourian, Samvel K. Shoukourian // Language and Automata Theory and Applications. Lecture Notes in Computer Science. – 2010. – Vol. 6031/2010. – Р. 392-402. 5. КарповЕ.А. Теория автоматов / Е.А. Карпов. – СПб: Питер, 2003. – 208 с. 6. Хачатрян В.Е. Полная система эквивалентных преобразований для многоленточных автоматов / В.Е. Хачатрян // Программирование. – 2003. – №1. – С. 62–77. 7. Хачатрян В.Е. Проблема эквивалентных преобразований для однородных многоленточных автоматов / В.Е. Хачатрян // Программирование. – 2008. – № 3. – С. 7780. 8.Хачатрян В.Е. Модели вычислений с однозначным покрытием / В.Е. Хачатрян, Я.Г. Великая // Научные ведомости БелГУ. – 2009. – № 7 (62). – С. 116–121.

Статья представлена д.т.н., проф. НИУ "БелГУ" Корсуновым Н.И.

УДК 519.1: 681.3

Проблема еквівалентності в структурованих моделях обчислень / Велика Я.Г. // Вісник НТУ "ХПІ". Тематичний випуск: Інформатика і моделювання. – Харків: НТУ "ХПІ". – 2011. – № 17. – С. 10 – 15.

У статті пропонується модифікація трансформаційного методу, що дозволяє вирішити проблему еквівалентності для кінцевих детермінованих автоматів. Іл.: 2. Бібліогр.: 8 назв.

Ключові слова: трансформаційний метод, проблема еквівалентності, кінцеві детерміновані автомати.

UDC 519.1: 681.3

Equivalenceproblem in the structured models of calculations/ Velikaya Ya.G. // Herald of the National Technical University "KhPI". Subject issue: Information Science and Modelling. – Kharkov: NTU "KhPI". – 2011. – №. 17. – P. 10 – 15.

In article updating of the transformational method is offered, allowing to solve a problem of equivalence for final deterministic automata. Figs.: 2. Refs.: 8 titles.

Keywords: the transformational method, a problem of equivalence, finite deterministic automata.

Поступила в редакцию 10.05.2010

УДК 004.93

Є.О. ГОФМАН, аспірант, ЗНТУ, Запоріжжя,

А.О. ОЛІЙНИК, к.т.н., ЗНТУ, Запоріжжя,

С.О. СУББОТІН, к.т.н., доц. ЗНТУ, Запоріжжя

АГЕНТНИЙ МЕТОД СИНТЕЗУ ДЕРЕВ РІШЕНЬ

Розглянуто завдання побудови моделей у вигляді дерев рішень. Проаналізовано мультиагентний метод з непрямим зв’язком між агентами. Запропоновано мультиагентний метод ідентифікації дерев рішень. Розроблено програмне забезпечення, що реалізує запропонований метод. Бібліогр.: 10 назв.

Ключові слова: агент, дерево рішень, модель, мультиагентний метод.

Постановка проблеми. Розв'язання прикладних завдань у різних областях промисловості, медицини, економіки, веб-технологій пов’язано з необхідністю побудови моделей досліджуваних об’єктів, процесів та систем, для чого запропоновано різні підходи, зокрема методи регресійного аналізу, нейронні мережі, нечітке, нейро-нечітке моделювання й інші [1, 2]. Проте часто необхідно побудувати модель, яка не тільки забезпечую прийнятну точність, а і дозволяє легко зрозуміти, чому приймається відповідне рішення. Досить інтерпретабельними та зрозумілими є моделі, побудовані у вигляді дерев рішень [3 – 7].

Нехай задана навчальна вибірка даних, що складається з N екземплярів, кожний з яких характеризується P атрибутами. При цьому кожний атрибут може відноситися до деякого лінгвістичного терму T. Для кожного i-го екземпляра вказані входження до лінгвістичних термів для кожного атрибута та вказано лінгвістичний терм вихідної змінної. Тоді необхідно побудувати таке дерево рішень, яке дозволяє виконувати віднесення вихідного параметра до лінгвістичного терму із заданою точністю:

де – точність прогнозування за синтезованим деревом рішень; – прийнятна точність прогнозування.

Аналіз літератури. Відомі різні методи ідентифікації дерев рішень, зокрема ID3, CART, CHAID, QUEST, C5.0 та ін. [3, 4]. Однак більшість із них мають певні недоліки, пов'язані з великою обчислювальною складністю, проблемами формування дерева рішень (ріст дерева, відсікання частини дерева) та ін. [3 – 7].

У зв'язку з цим актуальною є розробка нових методів синтезу дерев рішень, вільних від недоліків існуючих. Одним з нових напрямків штучного інтелекту є мультиагентні методи з непрямим зв'язком між агентами, що дозволяють вирішувати різні оптимізаційні завдання [2, 8, 9]. Такі методи є особливо ефективними при розв'язанні завдань дискретної оптимізації, тому в цій статті пропонується застосувати мультиагентний підхід з непрямим зв'язком між агентами для розв'язання завдання ідентифікації дерев рішень.

Мета статті – розробка мультиагентного методу з непрямим зв'язком між агентами для синтезу дерев рішень.

Основними завданнями роботи є:

– дослідження основних принципів роботи дерев рішень;

– аналіз мультиагентного методу з непрямим зв'язком між агентами;

– розробка мультиагентного методу ідентифікації дерев рішень;

– розробка програмного забезпечення, що реалізує запропонований мультиагентный метод.

Дерева рішень. Дерева рішень являють собою спадну систему, засновану на підході "розділяй і пануй", основною метою якої є розподіл дерева на взаємно непересічні підмножини [3, 5]. Кожна підмножина являє собою підзадачу класифікації.

Дерево рішень описує процедуру прийняття рішення про приналежність певного екземпляра до того або іншого класу.

Дерево рішень є деревоподібною структурою, що складається із внутрішніх і зовнішніх вузлів, зв'язаних ребрами [6]. Внутрішні вузли – модулі, що приймають рішення, – розраховують значення функції розв'язку, на підставі чого визначають дочірній вузол, який буде відвідано далі. Зовнішні вузли (іноді називаються кінцевими вузлами), навпаки, не мають дочірніх вузлів і описують або мітку класу, або значення, що характеризує вхідні дані. У загальному випадку, дерева рішень використовуються в такий спосіб. Спочатку передаються дані (як правило, це вектор значень вхідних змінних) на кореневий вузол дерева рішень. В залежності від отриманого значення функції рішення, використовуваної у внутрішньому вузлі, відбувається перехід до одному з дочірніх вузлів. Такі переходи тривають доти, поки не буде відвідано кінцевий вузол, що описує або мітку класу, або значення, зв'язане з вхідним вектором значень ознак.

Мультиагентний метод з непрямим зв’язком між агентами. Мультиагентний метод з непрямим зв'язком між агентами є багатоагентним евристичним ітеративним методом випадкового пошуку [2, 8]. Поведінка агентів моделюється як процес переміщення й дослідження простору пошуку. Особливістю моделюємого переміщення є моделювання виділення феромонів, які агенти залишають на шляху в процесі свого переміщення. Феромони в процесі роботи випаровуються. Таким чином, на найкращому шляху залишається більша кількість феромонів, оскільки додавання феромонів відбувається частіше, ніж випаровування. А оскільки вибір шляху для переміщення агентів ґрунтується на інформації про кількість феромонів, то агенти вибирають кращий шлях.

На етапі ініціалізації задаються параметри методу, що впливають на його роботу. Далі відбувається пересування агентів між вузлами графа, у результаті чого, після закінчення пересування кожного агента формуються розв'язки, з яких вибирається кращий на даній ітерації. Далі виконується перевірка критеріїв зупинення. Якщо перевірка була виконана успішно, відбувається закінчення пошуку, у процесі якого вибирається найкращий розв'язок з усіх, що зустрічалися на пройдених ітераціях. Якщо ж перевірка була неуспішною, то проводиться відновлення граней, яке полягає в імітації випаровування феромонів, та перезапуск агентів.

Ґрунтуючись на принципах мультиагентного методу, його різновидах і областях застосування [2, 8, 9] можна виділити наступні переваги та недоліки.

До переваг методу можна віднести те, що:

– він може використовуватися в динамічних застосуваннях (агенти адаптуються до змін навколишнього середовища);

– у процесі пошуку метод використовує пам'ять усієї колонії, що досягається за рахунок моделювання виділення феромонів;

– збіжність методу до оптимального розв'язку гарантується;

– стохастичність оптимізаційного процесу, тобто випадковість пошуку, за рахунок чого виключається можливість зациклення в локальному оптимумі;

– мультиагентність методу;

– можливість застосування до розв'язання різних завдань оптимізації.

До недоліків методи варто віднести такі:

– теоретичний аналіз ускладнений, оскільки підсумковий розв'язок формується в результаті послідовності випадкових розв'язків; розподіл ймовірностей змінюється при ітераціях; дослідження є більш експериментальними, ніж теоретичними;

– збіжність гарантується, але час збіжності не визначений;

– висока ітератівность методу;

– результат роботи методу досить сильно залежить від початкових параметрів пошуку, які підбираються експериментально.

Таким чином, можна відзначити, що розглянутий мультиагентний метод з непрямим зв'язком може ефективно вирішувати завдання переважно дискретної оптимізації, які можуть бути узгоджені з наступними вимогами:

– відповідне подання задачі – задача повинна бути описана у вигляді графа з набором вузлів і граней між вузлами;

– евристична придатність елементів графа, на основі яких формується розв'язок, – можливість застосування евристичної міри адекватності окремих елементів у графові пошуку;

– складання альтернативних розв'язків, за допомогою чого можна раціонально визначати припустимі розв'язки;

– правило відновлення феромонів – правило, яке визначає ймовірність переміщення агента з одного вузла графа до іншого.

Мультиагентний метод синтезу дерев рішень. Для виконання ідентифікації дерев рішень з використанням мультиагентного підходу з непрямим зв'язком між агентами слід перетворити основні етапи методу відповідно до особливостей розв'язуваного завдання.

Далі приводяться основні зміни в етапах мультиагентного методу.

1. Ініціалізація. На даному етапі в мультиагентному методі створюється граф пошуку, установлюються параметри роботи методу, а також розраховуються евристичні міри важливості вузлів графа. Для розв'язання завдання побудови дерев рішень граф пошуку буде складатися з вузлів, що представляють окремі лінгвістичні терми, до яких можуть ставитися лінгвістичні змінні. При цьому для кожного лінгвістичного терма вихідної лінгвістичної змінної створюється окремий граф пошуку, для якого розраховуються окремі матриці евристичних значимостей і феромонів. У зв'язку з цим пошук на кожному графові пошуку виконується окремою множиною агентів. Такий підхід викликаний тим, що при розв'язанні завдання ідентифікації дерев рішень важливість лінгвістичних термів залежить від лінгвістичних термів вихідної змінної, а також має значення порядок відвідування вузлів агентами.

2. Пересування агентів. При пересуванні агенти приймають рішення, у який вузол переміститися, таким чином, формуються окремі дерева рішень для кожного лінгвістичного терма вихідної лінгвістичної змінної. Для такого розв'язку пропонується застосовувати правило випадкового вибору, що базується на евристичних мірах важливості та мірі пріоритетності, заснованої на моделюванні виділення феромонів у процесі пересування. Рішення про завершення переміщення окремого агента слід приймати, виходячи з того, наскільки добре побудоване дерево рішень виділяє відповідні класи екземплярів вихідної навчальної вибірки.

3. Зміна ступеню значимості вузлів. При розв'язанні завдання синтезу дерев рішень як міру пріоритетності необхідно використовувати якість покриття окремого дерева екземплярів відповідного класу. Крім того, пропонується використовувати елітну стратегію, що дозволить забезпечити більш швидку збіжність до підсумкового розв'язку.

4. Відновлення феромонів. Процедура відновлення феромонів не має істотних особливостей для розв'язуваного завдання, тому її можна застосовувати в традиційному виді.

Виходячи з виділених особливостей, які повинен мати розроблюваний мультиагентний метод ідентифікації дерев рішень, було створено метод синтезу дерев рішень з непрямим зв'язком між агентами, який представлений у вигляді наступної послідовності етапів.

Етап 1. Ініціалізація. Задаються статичні параметри роботи методу: коефіцієнти Для кожного з можливих лінгвістичних термів вихідних значень створюється свій граф пошуку, що представляє собою лінгвістичні терми, які можуть бути включені в дерево рішень, і, відповідно, своя окрема множина агентів. Також важливою особливістю розроблювального методу є те, що створюються вузли, які характеризують інверсні лінгвістичні терми, тобто це необхідно для випадку, коли в дереві рішень вибирається варіант, що умова у вузлі не спрацювала. Крім того, для кожного графа пошуку розраховуються евристичні значення значимості окремого терма для відповідного лінгвістичного терма вихідної змінної (1):

(1)

де – значення евристичної значимості лінгвістичного терма для опису класу – екземпляр вхідної вибірки, що містить екземплярів; – значення функції приналежності об'єкта терму й класу відповідно; – кількість лінгвістичних термів для вхідних змінних; – кількість лінгвістичних термів вихідної змінної.

У кожному просторі пошуку кожному вузлу графа пошуку ставиться у відповідність початкове значення кількості феромонів

(2)

де – значення кількості феромонов для p-го терма в просторі пошуку для q-го класу на першій ітерації пошуку.

Етап 2. Вибір терму для додавання в правило j-го агента в графі пошуку i-го лінгвістичного терму вихідної змінної.

Для j-го агента на основі випадкового правила вибору розраховується ймовірність включення k-го лінгвістичного терму в правило, що описує -ий лінгвістичний терм вихідної змінної (3):

(3)

де – імовірність додавання k-го терма в дерево рішень j-го агента в графові пошуку для i-го класу; – множина термів, які можуть бути додані в дерево рішень j-го агента. Оскільки додавання певного лінгвістичного терму означає, що дерево рішень перейшло на наступний рівень і вже аналізується інша вхідна змінна, то крім обраного терму, виключаються також усі терми, що описують дану вхідну змінну.



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Государственное бюджетное города москвы «центральная универсальная

    Документ
    ... Р. С. Тенденции роста и развития электронных периодических изданий / Р. С. Гиляревский, И. А. Черный // Современное ... новых информационных технологий в деятельности Нижегородской государственной областной детской библиотеки. Свергунова Н. М. ...
  2. Государственное образовательное профессионального образования

    Документ
    ... деятельности ЗабКИПКРО………………………………………………………… 17 V. Периодические издания:…………………………………………… Научно-методический журнал «Педагогическое ... и методическим работникам.  Статистика результатов государственной (итоговой) аттестации выпускников (9-х классов в ...
  3. Государственное и муниципальное управление (3)

    Ученые записки
    ... государственных экономических, социальных, и других программ, издание и продвижение нормативно-правовых актов, реклама государственных учреждений и государственных ... ра­бот свидетельствует 5-е издание учебного пособия «Государственная и муниципаль­ная ...
  4. Государственная центральная ХАНТЫ-МАНСИЙСК

    Библиографический указатель
    ... с 1941 г. - «Ханты-Мансийск». Справочный аппарат издания включает «Указатель предприятий, учреждений и организаций ... Институт природопользования Севера (Филиал Тюменской Государственной сельскохозяйственной академии) Факультет экономики и ...
  5. Государственная центральная ХАНТЫ-МАНСИЙСК

    Библиографический указатель
    ... с 1941 г. - «Ханты-Мансийск». Справочный аппарат издания включает «Указатель предприятий, учреждений и организаций ... Институт природопользования Севера (Филиал Тюменской Государственной сельскохозяйственной академии) Факультет экономики и ...

Другие похожие документы..