textarchive.ru

Главная > Документ


32


ГЛАВА 2. МЕТОДИКА АНАЛИЗА МЕХАНИЗМОВ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПЕРЕМЕННЫХ ЛАГРАНЖА.

    1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Движение является следствием различных внешних воздействий (причин изменения движения), уравнения движения полностью определяют изменение состояния системы материальных частиц. Кинематический анализ уравнений движения является основойдинамического анализа и позволяет установить энергетические и другие особенности работы различных машин.

Механизмами называют изолированную часть некоторой механической системы (без источников и потребителей энергии), предназначенную для преобразования движения одного тела в требуемое движение одного или нескольких других тел. Учитывая особую важность кинематического анализа при проектировании машин и не претендуя на полноту анализа различных их типов, ниже рассмотрена методика описанияуравнений движения в форме Лагранжа и их анализа на примере шарнирно - рычажных механизмов, состоящих из абсолютно твёрдых тел и имеющих одну степень свободы. Для определения движения всех звеньев достаточно задать закон движения одного (ведущего) звена.

При описании движения в форме Эйлера обычно применяют векторные операторы и графические методы определения скоростей и ускорений (годографы перемещений, скоростей и пр.) [1]. Рассмотренные ниже методы описания движения, в том числе составного (сложного) с применением принципа суперпозиции, в форме Лагранжа позволяют перейти от графических методов кинематического анализа к аналитическим, причём эффективность последних возрастет с повышением сложности механизмов и увеличением числа кинематических связей. Такое описание обеспечивает более полное представление о конструкции механизма, изменении пространственного положения его элементов и их взаимодействии в процессе движения.

Перемещение материальных тел в пространстве наблюдателя можно характеризовать изменением положения каждой их частицы. Если в процессе движения деформация отсутствует, для однозначного определения положения всего тела достаточно знать координаты двух (при плоском движении) или трех (в случае пространственного движения) его частиц.

Для описания движения можно воспользоваться понятием радиус-вектора.

(векторная форма записи); (2.1а)

(скалярная форма записи). (2.1б)

В отличие от материальных точек для описания движения твердых тел необходимо индивидуализировать каждую составляющую тело частицу, например, ее начальными координатами, которые принято называть переменными Лагранжа [1]. Чтобы отличать их от текущих координат (переменные Эйлера), воспользуемся начальными греческими буквами и обобщенным обозначением при использовании сокращенных записей по аналогии с переменными Эйлера . Оба типа переменных соответствуют одной и той же системе координат и должно выполняться условие

при t=0. (2.2)

Тогда вместо уравнений (2.1) для системы материальных частиц следует записать

, (2.3)

или в скалярной форме

. (2.4)

Если переменные являются аргументами функций уравнений типа (2.4) называют описанием движения в форме Лагранжа.

Если систему (2.4) решить относительно переменных Лагранжа и записать в виде

, (2.5)

т.е. аргументами становятся текущие координаты частиц , уравнения (2.5) называют описанием движения в форме Эйлера. Возможны также смешанные формы описания движения, когда в одном из уравнений системы аргументами являются переменные Лагранжа, а в другом – переменные Эйлера или их комбинация с переменными Лагранжа.

Для материальных точек скорость и ускорение определяют первые и вторые производные по времени от уравнений движения (2.1а)

; . (2.6)

Полную информацию об особенностях движения каждой бесконечно малой частицы тела, наряду с её координатами хi, определяют частные производные от переменных Эйлера хi по переменным Лагранжа , которые будем обозначать именами функций с нижними индексами, соответствующими дифференцированию по указанной (в индексе) переменной. Получаемые таким образом 9 производных будем называть обобщенными (локальными) координатами

(2.7)

Скорости и ускорения, для краткости, будем записывать через переменные Эйлера, а уравнения движения через переменные Лагранжа.

Рекомендуемая последовательность выполнения анализа и оптимизации механизмов представлена на рис. 1.


Рис. 1

    1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ КИНЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Кинематические характеристики движения твердого тела полностью определяются уравнениями движения (2.4). По аналогии с движением материальных точек для каждой частицы твердого тела можно указать траекторию как совокупность последовательно занимаемых геометрических точек пространства наблюдателя. Уравнения (2.4) следует рассматривать как параметрическое описание этих кривых. Если из них исключить время t, система будет преобразована к уравнениям двух семейств поверхностей, пересечение которых совпадает с траекториями соответствующих частиц.

Если одна из координат частиц тела в процессе движения не изменяется, движение называют плоским или плоскопараллельным. Для описания движения в таком случае достаточно двух уравнений из системы (2.4), а траектория является плоской кривой типа у = у(х, , ).

Как отмечено выше, ориентацию частицы в процессе движения по отношению к осям наблюдателя полностью определяют обобщённые координаты (2.7). По аналогии со скоростями и ускорениями движения материальных точек (2.6) можно ввести понятия скоростей и ускорений обобщённых координат. Они могут быть получены дифференцированием матрицы (2.7) по времени или соответствующих компонент векторов скорости и ускорения по переменным Лагранжа.

Различные формы описания движения допускают различные виды производных по времени. Наиболее важными являются скорости и ускорения, первые из которых определяют интенсивность изменения во времени положения (координат хi) фиксированных частиц. Такие производные называют материальными или субстанциональными. В дальнейшем будем обозначать их нижним индексом "t". При дифференцировании индексных функций, например координат хi, индекс дифференцирования записывают после запятой. При описании движения в форме Лагранжа они совпадают с частными производными по времени

(2.8)

Движение твердых тел (частиц), как и материальных точек, принято различать по характеру изменения скорости (равномерные и неравномерные) и ускорения (равноускоренные или равнозамедленные) В дополнение к такой классификации движения твердых тел в зависимости от вида уравнений подразделяют на поступательные, вращательные и составные (сложные).

Поступательное движение твердых тел – это движение, при котором компоненты перемещения не зависят от переменных Лагранжа

. (2.9)

Компоненты вектора перемещения - это разница между координатами текущими и начальными

. (2.10)

Обобщённые координаты (2.7) сохраняют свои первоначальные значения

(2.11)

т. е. ориентация любого выделенного в теле объекта по отношению к осям наблюдателя, его форма и размеры не изменяются, векторы перемещения всех частиц совпадают (в векторной и скалярной формах).

Скорости и ускорения частиц определяют субстанциональные (материальные) производные от уравнений движения (2.9) по времени.

Вращательное движение твердых тел – это когда все частицы перемещаются по дугам окружностей, радиус которых зависит от начального положения частицы относительно оси вращения.

Рассмотрим простой случай движения без деформации - вращение твердого тела, например, вокруг неподвижной оси ”z”


Рис. 2

В исходном состоянии (t=0) координаты Лагранжа любой частицы определяются ее радиусом r и углом его наклона к оси x

; . (2.12)

После поворота тела за время t на угол текущий угол составит . Радиус частицы остается прежним, поэтому текущие координаты частицы будут

,

. (2.13)

С учетом соотношения (2.12) эти уравнения принимают вид:

, . (2.14)

Уравнения (2.13) описывают траектории частиц в параметрической форме (параметром или функцией времени является изменение угла ). Если исключить из уравнений (2.13) угол , получим координатную (естественную) форму описания траекторий

, (2.15)

т.е. все частицы перемещаются по дугам окружностей, радиус которых зависит от начального положения частицы относительно оси вращения.

Обобщённые координаты

(2.16)

характеризуют изменение ориентации частицы по отношению к осям координат наблюдателя, но деформация отсутствует, так как длины ребер, площади граней и объём частицы не изменяются. Более подробно это показано в главе 4.

Компоненты скорости и ускорения в переменных Лагранжа и Эйлера для вращательного движения вокруг неподвижного полюса.

Продифференцируем (2.13) по времени:

,

. (2.17)

Получили компоненты скорости в переменных Лагранжа. Чтобы получить компоненты скорости в переменных Эйлера, необходимо произвести замену, с учетом (2.13), на переменные Эйлера:

, . (2.18)

Аналогично продифференцируем (2.17) по времени и получим компоненты ускорения в переменных Лагранжа:

,

, (2.19а)

,

, (2.19б)

а после соответствующей замены получим ускорения в переменных Эйлера:

, (2.20а)

. (2.20б)

Суперпозиция движений в пространстве переменных Лагранжа

Если материальная частица или недеформируемое твердое тело участвует одновременно или последовательно в двух или более простых движениях, получаемое в результате движение будем называть составным или сложным.

Определение термина «сложное движение» не является строгим. Например, в работе [4] сложным движением материальной точки или тела считают любое движение, если оно получено за счёт наложения относительного (относительно подвижной системы) и переносного (относительно условно неподвижной системы) движений. В результате любое движение точки или тела можно считать сложным.

Такое же определение дано в работе [4, с. 169]: "Если тело движется относительно подвижных осей, а эти оси совершают одновременно переносное движение по отношению к неподвижным другим осям, то результирующее (абсолютное) движение называют сложным".

Однако вводить дополнительную подвижную систему отсчёта при описании сложного движения не обязательно. Сложное движение можно получить наложением двух простых движений, совершаемых одновременно или последовательно в одной и той же условно неподвижной системе координат. Только при таком условии можно использовать принцип суперпозиции движений в форме Лагранжа.

В соответствии с этими определениями поступательное движение также может быть сложным, в том числе в результате наложения двух поступательных или вращательных движений. Движение частиц одного тела относительно другого всегда можно рассматривать как сложное, хотя оно может быть и простым - поступательным. Таким образом, деление видов движения на простые и сложные можно считать условным и непринципиальным.

Понятия "относительное" и "переносное" движения также не являются строгими, так как выбор систем координат субъективен и любое из двух движущихся друг относительно друга тел может быть принято за условно неподвижное. Кроме того, следует иметь в виду, что переносных движений может быть несколько. В частности, для транспортируемого краном груза переносными будут подъём вместе с тросом лебёдки, поворот стрелы и перемещение крана по направляющим рельсам

При описании движения в форме Лагранжа понятия "относительное" и "переносное" более определённо можно квалифицировать как вложенные (внутренние) и наложенные (внешние).

Классифицировать движения можно по характеру зависимости уравнений (2.4) от переменных Лагранжа или виду матрицы обобщённых координат (2.7). При движении недеформируемых твердых тел длины ребер фиксированных в исходном состоянии бесконечно малых параллелепипедов и их объём изменяться не должны, матрицы обобщённых координат принимают одну из рассмотренных выше форм.

В общем случае процесс движения можно рассматривать состоящим из последовательности ряда разделённых во времени этапов. Переменные Лагранжа могут быть введены как независимо на каждом этапе, так и единые для последовательности нескольких этапов. Это связано с выбором системы отсчета координат и времени.

Рассмотрим два последовательных этапа. Пусть первый этап ограничен интервалом времени 0  t  t1  t2 и уравнения движения на первом этапе имеют вид

при 0  t  t1  t2 . (2.21)

Эйлеровы координаты в конечный момент рассматриваемого этапа (в момент времени t = t1) выделим обозначениями

. (2.22)

При описании движения на втором этапе t1  t  t2 можно в момент t1 ввести новый отсчет времени t’= t - t1  0 и новые координаты Лагранжа k , которые совпадают с текущими координатами (Эйлера) в момент времени t1 и позволяют описать дальнейший процесс движения в виде уравнений

, при 0  t’  t2 - t1 , (2.23)

причем время t1 на втором этапе рассматривается как константа. На первом и втором этапах обобщённые координаты соответственно будут

; . (2.24)

Уравнения (2.23) можно распространить на второй этап и без изменения системы отсчета времени, достаточно только ограничить временной интервал этого этапа в первоначальной шкале времени

, при t1  t  t2 . (2.25)

Время t1 остаётся константой и в этом случае. Чтобы найти обобщенные координаты на втором этапе в пространстве переменных Лагранжа p с учетом движения на первом этапе, k следует рассматривать, в соответствии с соотношениями (2.22), функциями координат p первого этапа. Тогда для второго этапа по общим правилам дифференцирования неявно заданных функций [5] получаем

; ; ;

; ; ; (2.26)

; ; .

Таким образом, матрица обобщенных координат в пространстве переменных Лагранжа хi,p, принятых в начале первого этапа, на каждом последующем этапе определяется по правилу перемножения матриц [5] (строка на столбец), причем первым (левым) множителем является матрица обобщенных координат второго (последующего) этапа, а вторым (правым) множителем - матрица предшествующего этапа

; (2.27)

или, в сокращенной записи,

[xi,p] = [xi,k] [k,p]. (2.28)

Рассмотренный принцип суперпозиции движений с заменой координат Лагранжа одного на переменные Эйлера другого возможен и при одновременном их протекании, так как интервалы этапов могут быть бесконечно малыми и на каждом из них будут просуммированы перемещения от обоих видов движения. Иначе говоря, если известны два возможных вида движения

и , (2.29)

тогда замена координат Лагранжа одного движения на переменные Эйлера другого

, (2.30)

позволяет получить наложение этих движений при последовательном или одновременном их протекании.

Из общего правила определения обобщенных координат сложного движения (2.27) следует, что вид результирующего движения зависит от того, координаты Лагранжа какого из рассматриваемых движений будут заменены на переменные Эйлера. Для определённости в дальнейшем будем называть движения, эйлеровыми координатами которого заменяют аргументы (переменные Лагранжа) другого движения, вложенными (внутренними). Движение, в котором произошла эта замена, соответственно будем называть наложенными (наружными). (Как будет показано далее.) Эти понятия эквивалентны обычно используемым понятиям относительного и переносного движения. Их выбор зависит от особенностей исследуемых движений и не всегда однозначен. Одно и то же составное движение может быть описано различными способами.

Последовательность реализации каждого из простых видов движения, образующих в результате наложения соответствующее сложное движение, может быть определена специфическими параметрами времени, как, например, углом поворота (t) и линейными перемещениями u(t) при совместном кручении и поступательном движении

, при 0  t  t2, (2.31)

или различными компонентами перемещения ui(t) по осям координат.

Количество участвующих в суперпозиции движений может быть более двух.

Для многозвенных механизмов количество вложенных (относительных) и наложенных (переносных) движений может быть достаточно большим. Важно, чтобы при использовании принципа суперпозиции участвующие в преобразованиях начальные и текущие координаты были отнесены к одной системе координат.

При известных уравнениях движения определение скоростей и ускорений не представляет трудностей. При описании движения в форме Лагранжа субстанциональная производная по времени совпадает с частной производной. После дифференцирования получаем линейные функции координат (эйлеровых и лагранжевых). Эта особенность движения твердых тел используется в графических методах кинематического анализа. [4,7]

Составное движение: вращение твердого тела вокруг подвижного полюсаР.


Рис. 3

В исходном состоянии (t=0) координаты Лагранжа любой частицы определяются ее длиной L и углом ее наклона к оси x

; . (2.32)

После поворота тела за время t на угол текущий угол составит . Длина частицы остается прежней, поэтому текущие координаты частицы будут

,

. (2.33)

С учетом соотношения (2.32) эти уравнения принимают вид:

(2.34)

Уравнения (2.34) описывают траектории частиц в параметрической форме (параметром или функцией времени является изменение угла ). Если исключить из уравнений (2.34) угол , получим координатную (естественную) форму описания траекторий

, (2.35)

т.е. все частицы перемещаются по дугам окружностей, радиус которых зависит от начального положения частицы относительно оси вращения.

Компоненты скорости и ускорения в переменных Эйлера для вращательного движения вокруг подвижного полюса:

(2.36)

Рекомендуемая последовательность кинематического анализа механизмов:


Рис. 4

    1. ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДИНАМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Воздействие на частицу может быть поверхностным (контактным) при взаимодействии с соседними частицами, и объемным, например, в магнитном (для частиц магнитных материалов) или гравитационном поле Земли. При передаче контактных воздействий частицы могут испытывать определенные изменения (деформацию), обеспечивающую условия, необходимые для совместного движения частиц.

В зависимости от выбора аргументов (кинематических и других характеристик движения или состояния частиц) форма закона движения может изменяться, но по существу он должен отражать объективные физические закономерности. Следовательно как сама функция, так и ее аргументы должны нести только объективную информацию о наблюдаемых при движении процессах и явлениях. Они не должны зависеть от субъективных факторов, таких как выбор начала координат или направления осей системы отсчета наблюдателя.

В математическом плане это утверждение можно интерпретировать как необходимость существования некоторой обобщенной скалярной функции (от скалярных аргументов), характеризующей состояние материальной частицы. Условия изменения аргументов и скалярной функции состояния дают математическую формулировку возможных вариантов поведения частицы (зависимость ускорений от внешних воздействий и свойств среды).

Инвариантные кинематические параметры с разных сторон характеризуют движение и каждая группа инвариантов является независимой, т.е. возможна любая комбинация характеристик деформированного состояния, значений модулей векторов скорости и перемещения. Это дает основание предполагать, что искомая обобщенная скалярная функция может быть суммой нескольких функций, причем каждая из них, наряду со свойствами среды, может учитывать только один из факторов

. (2.37)

Принимая во внимание современные представления об основных законах механики, обобщенную скалярную функцию движения и ее составляющие можно ассоциировать с различными видами энергии (потенциальной, кинетической и др.). Однако они могут отличаться выбором системы отсчета, масштабными множителями и пр. Исключить влияние выбора начала системы отсчета для различных составляющих энергии можно, если записать для частицы функцию в виде приращений

, (2.38)

где dEp, dEk, dEd, - изменение в пространстве и во времени (потенциальной) энергии положения, (кинетической) энергии движения и (потенциальной) энергии состояния, соответственно.

Систему, которая включает в себя все взаимодействующие тела и ни на одно из тел этой системы не действуют другие тела, кроме включенных в систему, называют изолированной. Другими словами, в изолированной системе причиной движения могут быть только материальные объекты, находящиеся внутри этой системы. С учетом возможных объемных взаимодействий изолированная система является некоторой идеализацией, т.е. выделить действительно изолированную систему не представляется возможным. Но любую часть изолированной системы можно считать замкнутой (подсистемой), если действие внешних по отношению к ней причин заменить эквивалентными по влиянию на уравнения движения математическими образами – функциями. Изолированная система отличается от замкнутой тем, что такие математические функции обращаются в ноль (отсутствуют).

Частица не может представлять изолированную систему, поэтому функция dF должна учитывать контактные взаимодействия на перемещениях границ частицы (тела). Энергетический эквивалент внешних взаимодействий обозначим dEe, тогда

. (2.39)

Предусматривая возможность поступления или передачи других видов энергии, например тепловой, преобразование одних видов энергии в другую, например при необратимой пластической деформации или разрушении тела, выделим дополнительно составляющую неучтенных видов энергии dEq

. (2.40)

Тогда основной закон движения для материальной частицы можно сформулировать как условие постоянства обобщенной скалярной функции F

. (2.41)

Уравнение (2.41) эквивалентно первому началу термодинамики для частицы сплошной (твердой, газообразной или жидкой) среды, в соответствии с которым работа внешних сил затрачивается на изменение кинетической, потенциальной и других видов энергии частицы. Известные формы законов движения [4,7] можно рассматривать как частные случаи уравнения (2.41).

Одним из основных назначений механизмов является передача энергии от приводного вала к исполнительным органам для совершения определенных технологических операций (транспортировка груза, штамповка деталей и пр.). Как правило, передаваемая энергия на несколько порядков превышает изменение потенциальной энергии положения и состояния (деформации) даже в режиме холостого хода. Таким образом, из 5 слагаемых в уравнении (2.41) при анализе работы механизмов следует учитывать только две: энергию движения и внешних воздействий.

Так как движение частиц всех звеньев механизма строго определено кинематическими связями, целью динамического анализа является определение не закона движения, а энергетических затрат или обобщенных сил, действующих в шарнирах или сечениях звеньев механизма.

Действительно, при работе механизма скорости составляющих его частиц и их кинетическая энергия движения циклически изменяются в соответствии с уравнениями, приведенными выше. Суммарная кинетическая энергия движения всех элементов механизма не остается постоянной не только на этапах разгона и торможения, но и при постоянной скорости вращения кривошипа. Это приводит к возникновению динамических нагрузок, как в узлах соединения смежных звеньев, так и на приводном валу. Их уменьшение возможно за счет перераспределения масс звеньев, специально предусмотренных маховиков, балансиров, в том числе подвижных, и других способов и устройств, предназначенных для снижения динамических факторов.

При известных кинематических характеристиках движения элементов механизма расчет кинетической энергии и ее изменения на любой фазе цикла, т.е. при любом положении кривошипа, не представляет трудностей. Движение любого из элементов шарнирного (рычажного) механизма можно отнести к одному из трех типов: поступательное, вращательное и составное (сложное).

Кривошипы и коромысла совершают вращательное движение относительно неподвижной оси. Их кинетическая энергия зависит от угловой скорости и момента массы 2-го порядка относительно оси вращения О

, (2.42)

а мощность инерционных сил – от угловой скорости и момента Мо

; . (2.42a)

Ползуны движутся поступательно, их кинетическую энергию определяют масса m и скорость центра масс vc

. (2.43)

Мощность удобно записать через компоненты сил инерции и скорости

; . (2.43a)

Поступательное движение отдельных элементов механизма может быть обеспечено либо прямолинейными направляющими, либо независимыми двигателями, как, например, в конструкциях роботов.

Шатуны совершают составное (плоскопараллельное) движение, их кинетическую энергию движения можно определить по общей формуле:

, (2.44)

где - момент массы 2-го порядка относительно оси, проходящей через центр масс С. Для мощности соответственно получаем

; . (2.44a)

Знаки моментов Mc и сил Fi совпадают со знаками линейных или угловых ускорений, соответственно.

Уравнения (2.44)-(2.44a) справедливы для любого движущегося абсолютно твердого тела и преобразуются к виду (2.42) для звена вращающегося относительно неподвижной оси, если принять во внимание зависимость между моментами масс:

. (2.45)

Уравнения (2.42)-(2.45) позволяют учесть особенности каждого конкретного механизма, но для описания его работы с помощью уравнения

(2.46)

необходимо дополнительно рассмотреть внешние воздействия и заменить их обобщенными силами.

Например, привод коленчатого вала кривошипного пресса может состоять из электродвигателя, ременной передачи, маховика, муфты сцепления. С другой стороны, к ползуну пресса крепятся подвижные части сменных штампов. При сближении их с нижней (неподвижной) частью, закрепляемой на столе пресса, происходит обработка давлением, например осадка цилиндрической заготовки. По мере уменьшения ее высоты усилия возрастают и могут достигать критических для пресса значений. Если мощность привода мала, ползун остановится и произойдет «заклинивание» пресса. Если же мощность двигателя будет завышена, может произойти поломка штампа или деталей привода.

Стремиться к анализу изолированных систем, включающих все перечисленные элементы, не обязательно. Можно обойтись более простыми приближенными моделями. Точность решения будет зависеть от выбора обобщенных сил на границах анализируемой системы.

Рекомендуемая последовательность динамического анализа механизмов:

Рис. 5

    1. ЧТО МОЖНО И ЧТО НЕЛЬЗЯ ОПРЕДЕЛИТЬ (МЦС, МЦУ, КРИВИЗНА…)

В традиционных курсах теоретической механики [4, 7] достаточно много внимания уделяют мгновенным центрам скоростей и ускорений, положению подвижной и неподвижной центроид плоского движения. Для пространственного движения твердых тел такие характеристики обычно не применяют в связи с трудностями их определения.[1]

Положение мгновенных центров скоростей (МЦС) шатуна можно определить из уравнений (2.36), приравнивая их правые части нулю, т. е. из системы уравнений

; , (2.47)

откуда получаем параметрическую форму описания центроиды

; , (2.48)

Аналогичным образом, приравнивая нулю правые части уравнений (2.36), можно найти мгновенные центры ускорений (МЦУ).

Так как скорости и ускорения любой частицы известны, кривизну её траектории удобно определить с помощью уравнения [1]

, (2.49)

где |v| - модуль вектора скорости частицы

. (2.49a)

Приведенные выше уравнения позволяют найти любые кинематические характеристики, связанные с движением частиц механизма.

    1. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ РЕШЕНИЯ

Теория машин и механизмов в настоящем ее виде является комплексной наукой, в которой проблемы структуры, кинематики и динамики машин, их анализа и синтеза тесно переплетаются с проблемами оптимального проектирования и управления.

При описании движения механизмов технологических машин по рассмотренной методике мы получим результаты, точность которых будет зависеть от погрешности исходных данных: информации о технологическом процессе, об относительном расположении в пространстве объектов исследования и их свойствах, измерительных инструментов, которыми проводились замеры и пр.

Данные, получаемые измерением, содержат ошибку, проистекающую из неточности измерительных инструментов. Положительное число заведомо превышающее эту ошибку по абсолютному значению (или в худшем случае равное этой ошибке), называется предельной абсолютной погрешностью. Отношение предельной погрешности к абсолютному значению измеряемой величины называется предельной относительной погрешностью.[10]

Пусть функция y вычисляется по точной формуле y=f(x), но значение x получается измерением и потому содержит ошибку. Тогда предельная абсолютная погрешность функции находится по формуле:

, (2.50)

где - есть предельная погрешность аргумента. Величина округляется в сторону увеличения (ввиду неточности самой формулы).

Предельную относительную погрешность можно найти с помощью логарифмического дифференцирования по формуле:

. (2.51)

Из этого следует:

  1. Предельная относительная погрешность произведения двух или нескольких сомножителей равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей.

  2. Предельная относительная погрешность дроби равна сумме предельных относительных погрешностей числителя и знаменателя.



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Глава 4 методика совершенствования анализа и оптимизации механизмов технологических машин

    Документ
    ... . Разработанная методика положена в основу типовой программы для анализамеханизмов технологических машин с использованием переменныхЛагранжа. ЛИТЕРАТУРА ...
  2. Глава 4 Нейросетевые информационные модели сложных инженерных систем

    архив
    ... неопределенными множителями Лагранжа. Это изложение ... предыдущий материал главы. Переменные обратного ... В главе рассмотрены примеры примененияметодики решения обратных ... нейронных механизмов памяти и анализа сенсорных сигналов, анализмеханизмов и ...
  3. Программы вступительных испытаний* проводимых кубгу самостоятельно программы вступительных испытаний на направления подготовки магистратуры программа вступительного испытания (собеседование/устный экзамен) по дисциплинам «математический анализ»

    Программа
    ... Лагранжа. Локальный экстремум функции одной переменной. ... метод анализаМеханизм возбуждения люминесценции ... методика работ, обработка и интерпретация результатов, область применения. Георадары и применение ... политики: главы государств, парламенты ...
  4. Аннотации учебных дисциплин 220100 62 Системный анализ и управление Квалификация (степень) выпускника «Бакалавр»

    Документ
    ... их использования в процессе анализа требований к программному обеспечению; методикианализа требований и стандарты документирования ... блокирующие переменные, критические сек­ции, семафоры, события, ожидаемые таймеры, мьютексы. Сигнальный механизм. ...
  5. Системного анализа

    Учебное пособие
    ... анализаГлава 2. ЛОГИКА И МЕТОДОЛОГИЯ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА 2.1. Логические основы системного анализа ... и методики исследовательской, ... Учет и анализприменения ТС, учет ... совокупность переменных..., ... механизмы самоорганизации, т.е. механизмы ... уравнений Лагранжа, ...

Другие похожие документы..