textarchive.ru

Главная > Документ


ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ:

ВОЗВРАЩЕНИЕ К ХЕВИСАЙДУ.

С.В.Ганцевич, В.М. Калинин

ФТИ им А.Ф.Иоффе,СПБ Технический Университет

e-mail: sergei.elur@}

1.Введение

Пожалуй, нет другой области математики, кроме операционного исчисления, девизом и целью которой была простота и краткость решений, где не накопилось бы такое количество предвзятостей, предрассудков, ошибок и несправедливостей. Наша задача - исправить ошибки и неточности, воздать должное Оливеру Хевисайду и сделать дальнейшие шаги в указанном им направлении.

Хевисайд начинал как инженер-телеграфист. К математике он относился не как к царице наук, а как к служанке техники. Ему приходилось много решать обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, и он изобрел простой и краткий путь их решения, не заботясь о его формальном обосновании. Главная идея его состояла в том, чтобы обращаться с оператором дифференцирования как с числовым множителем, что сводило дифференциальные уравнения к алгебраическим. Уже здесь профессиональные математики обвинили его в произвольности и необоснованности его действий, хотя можно было смотреть на его метод как на эвристический и, каким бы парадоксальным он ни казался, можно было в каждом отдельном случае простой проверкой убеждаться, что полученное им решение верное. Вкравшиеся в его вычисления мелкие погрешности начали выдавать

за принципиальный порок его действий. Так Джеффрис [1] увидел главный источник ошибок Хевисайда в том, что операторы дифференцирования ∂ и интегрирования J не коммутируют. Этот же аргумент повторили Курант и Гильберт в своем знаменитом учебнике "Методы математической физики" [2]. Их логика выглядела так:

тогда как,

что и доказывает некоммутативность операторов, если f(0)≠ 0.

Они забыли, что Хевисайд решал свои уравнения в классе урезанных функций, так называемых оригиналов. Решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами ищется среди функций, равных нулю на отрицательной полуоси. Все эти функции при f(0)≠0 имеют в нуле скачок, и при дифференцировании появляется дельта-функция: (d/dt)f(t)=f’(t)+f(0)δ(t), что приводит к коммутативности интегрирования и дифференцирования:

Операторы дифференцирования и интегрирования становятся взаимно-обратными и однозначными. Именно здесь лежит причина, заставляющая искать решение в классе функций, которые равны нулю при t<0. Непонимание этого обстоятельства поставило авторов, излагавших метод Хевисайда, в несколько комичное положение: если Хевисайд мог объяснять условие f(t)=0 при t<0 тем, что в момент t=0 включается аппаратура, в которой при t<0 нет никакого сигнала, то его последователи широко применяли его метод и не в электротехнике, причем в их случае часто бывало f(t)≠0 при t<0 . Они приводили обычно не математические аргументы в пользу усекновения функций, например, что их не интересует решение при t<0, и проще всего положить его равным нулю. Причем в дальнейшем они не интересовались отрицательной полуосью, и их довод казался вообще ненужным.

Появившуюся здесь дельта-функцию изобрел именно Хевисайд, но не стал ее выпячивать, чтобы не дразнить математических гусей и настолько хорошо ее спрятал, выдвинув вперед функцию единичного скачка, θ(t)=0, t<0; θ(t)=1, t≥0, что именно эту функцию стали называть функцией Хевисайда, в то время как ее производная появилась лишь спустя несколько десятилетий в книге Дирака по квантовой механике и получила быстрое признание у физиков и техников, так как значительно укорачивала нужные выводы. Более сорока лет назад мы присутствовали на докладе Дирака в Ленинграде, но не интересовались тогда операционным исчислением и сожалеем, что не спросили его, знал ли он об истинном изобретателе дельта-функции. Ему, во всяком случае, не на что было сослаться, и, возможно, он не догадывался о значении, которое приобретет в дальнейшем дельта-функция. Математики долго игнорировали ее и после Дирака. Наше поколение физиков и математиков выросло на учебниках В.И.Смирнова и Г.В.Фихтенгольца по математическому анализу, где дельта-функция вообще не упоминалась. Ну, спрашивается, что это за функция, которая всюду равна нулю, кроме точки ноль, где она принимает значение +∞, и "площадь" под этой точкой в точности равна единице? Математики не успокоились, пока не придумали теорию обобщенных функций, в которой дельта-функция появилась уже как функционал, сопоставляющий функции ее значение в нуле. Теория обобщенных функций заняла свое место в математике, но привлекать ее в качестве обоснования операционного исчисления - значит стрелять из пушки по воробьям.

В двадцатые годы прошлого века строгое обоснование операционного исчисления увидели в преобразовании Лапласа:

где p - комплексный параметр. Каждому оригиналу f(t) отвечает его образ F(p), его преобразование Лапласа. Если f(t) может иметь разрывы, быть не дифферен-цируемой, то F(p) - аналитическая функция. Самое главное, что дифференцирование оригиналов соответствует умножению их образов на p , интегрирование - делению на p , и дифференциальные уравнения для оригиналов превращается в алгебраические для их образов. Находится образ решения, а затем соответствующий оригинал дает решение задачи.

Мы начнем с изложения операционного исчисления для решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, отдав должное дельта-функции, причем у нас есть возможность искать решение сразу, не выделяя два этапа: находить сначала образ решения, а затем приходить по нему к самому решению, при этом не придется при решении неоднородных уравнений искать отдельно решение однородного уравнения с заданными начальными условиями, а затем добавлять к нему решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями. Как ни в какой другой области теории дифференциальных уравнений, уравнения и начальные условия сливаются в одном уравнении.

2. Основная идея операционного исчисления.

Рассмотрим класс функций, тождественно равных нулю при t<0. Сначала пусть это будут бесконечно-дифференцируемые функции, которые могут иметь единственный конечный скачок при t=0. Простейшее дифференциальное уравнение

(1) ,

представляет основную задачу интегрального исчисления. Здесь f(t) – оригинал,

а решение ищем тоже в классе оригиналов. Если мы хотим иметь решение также и в точке t=0 , нам придется ввести различие в обозначение производной: оператор дифференцирования, действующий на оригинал, в нуле порождает дельта-функцию

  1. ,

где при t  0 и y’=0 , при t < 0

Уравнение (1) принимает форму

Введем оператор интегрирования

,   0 ,

который является однозначным и взаимно обратным с оператором дифференцирования.

Убедимся в этом

Удобно обозначать оператор интегрирования как J=1/.

Если пара этих операторов встречается рядом, то можно их произведение заменять

единицей

Уравнение (3) решается сразу:

Это и есть общая формула для первообразной: если не задано, то можно считать это число произвольным.

Решим более общее уравнение

,

Вспомним формулу Тейлора с интегральным остатком:

Формулировка задачи Коши дает все, что нужно, для записи решения:

Другое простое уравнение получим из таблицы производных:

(4) ,

Оно имеет очевидное решение

Начнем с замены штрихованной производной на y. Этот процесс будем называть корректировкой уравнения:

, т.е.

Уравнение вбирает в себя и начальное условие. Решение существует, и оно единственно, как это следует из теоремы о существовании и единственности решения дифференциального уравнения.

Основная идея операционного исчисления состоит в том, чтобы смотреть на оператор дифференцирования, как на числовой множитель. В соответствии с этой идеей можно

написать

(5)

Отсюда получаем первое операторное представление

(6)

Легко проверить, что можно увидеть в этом равенстве и неформальный смысл:

при t>0

Совпадение с формулой (6) и подтверждает возможность обращения с операторами 

и J как с числовыми множителями.

Если видеть в операционном исчислении лишь метод для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, то формулы (6) вполне для этого достаточно, если дополнить её следствием, которое получим из (6), дифференцируя это равенство по :

(7) ,

3. Математический аппарат операционного исчисления

Как оказалось, методы исчисления операционного анализа применимы не только для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, но и для решения интегральных уравнения, разностных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных и т.д.

Учитывая это, построим математический аппарат операционного исчисления, который можно использовать и для более простого и короткого решения и линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

Уравнение гармонических колебаний

  1. , ,

имеет очевидное решение:

С помощью корректировки объединим уравнение и начальные условия:

,

Подставляя в уравнение y’’ , запишем дифференциальное уравнение в виде

Операторное решение:

Справа, пользуясь известными формулами Эйлера, находим:

А можно вычислить оба операторных выражения, пользуясь школьной формулой для геометрической прогрессии:

Получаем решение в уже выписанном виде. Совпадение формул является оправданием операционного исчисления.

Аналогично, уравнение с начальными условиями

имеет операторное представление

и операторное решение

,

которое опять можно аналогично предыдущему двумя способами представить в виде:

Начнем составлять таблицу операторных представлений:

, , ,

(2) ,

Если продифференцировать эти равенства по параметру, получим:

, , ,

(3)

Можно дифференцировать эти равенства по параметру и дальше:

(4) , при =0 отсюда получаем

, что, впрочем, очевидно.

Например, дифференцируя равенства

,

n раз по  , получим:

,

Кто помнит для экспоненты, тригонометрических и гиперболических синуса и косинуса их преобразование Лапласа, тот может заметить, что все полученные операторные представления имеют форму

(5)

и это не случайно. Действительно, по формуле Эйлера, дающей операционную запись формулы Тейлора,

,

что верно для неурезанных функций при всех  (в области сходимости ряда Тейлора), а для урезанных – при 0. Здесь оператор выступает как оператор сдвига:

Применим это свойство к дельта-функции:

(6) ,

Таким образом, мы получаем в наше распоряжение таблицу преобразования Лапласа.

Чтобы получить операторное представление функции f(t) , достаточно воспользоваться ее преобразованием Лапласа F(p) .

Связи операционного исчисления с преобразованием Лапласа Хевисайд не заметил, как, впрочем, и все его последователи (во всяком случае мы ничего подобного не слышали). Впрочем, если бы он такую связь заметил, он вместо равенства (5)

написал бы скорее представление

,

где - ступенька Хевисайда, а множитель F() представляет преобразование Карсона. С помощью такой записи можно спрятать дельта-функцию от возможных нападок.

Дифференцирование оригинала.

Достаточно равенство (5) умножить на оператор дифференцирования.

(7) ,

Интегрирование оригинала.

  1. ,

Теорема запаздывания.

(9) ,   0

Теорема смещения.

(10)

Действительно,

Теперь можем пополнить нашу таблицу:

(11)

(12)

(13)

(14) ,

Дифференцирование изображения.

Дифференцируем по p равенство :

т.е.

(15)

Применяем эту формулу n раз:

(16)

Интегрирование изображения.

Проинтегрируем, если это возможно, равенство

по p от p до  :

т.е.

(17)

Теорема подобия.

(18) ,

Пусть . Введем =at. Очевидно, , .

Теорема Бореля о свертке.

(19)

Доказательство. Интеграл слева называется сверткой двух функций: f*=*f ,

как легко проверить.

Теорему Бореля о свертке можно применить к формуле (8) и n-кратное интегрирование

заменить однократным:

Интеграл Дюамеля.

Подействуем на формулу Бореля оператором :

(20)

Если переставить местами f и  , получим вторую формулу Дюамеля:

(21)

Теорема взаимности. Если f(t)=F()(t) и (t)=()(t) , то

(22) f(t)=[F()/()](t) или ()f(t)=F()(t)=f*

Операторное представление степени.

Будем исходить из интегрального представления гамма-функции:

, Re>0

Сделаем замену переменной интегрирования x=pt и перепишем эту формулу так:

Интегрировать можно по-прежнему по вещественной оси.

Мы видим, что есть Лапласов образ функции . Отсюда:

(23) , Re>0

По теореме о свертке

, Re>0

Эта формула определяет оператор интегрирования комплексного порядка  .

Формула Меллина.

Её знал ещё Риман:

(24)

Операторный вывод ее совсем короткий. Воспользуемся тем, что

в области, где F(z) является аналитической функцией.

При действии на exp(zt) ряда по степеням функция exp(zt) проходит налево, заменяя каждый оператор на z . Для дельта-функции возьмем разложение в интеграл Фурье:

, где

Поэтому

Действия довольно смелые, на инженерном уровне строгости, но, как это обычно и бывает с дельта-функцией, сразу приводят к нужному результату. Здесь - любое вещественное число, такое, что F(z) является аналитической функцией без особенностей при . Интеграл понимается в смысле главного значения.

Произведение оригиналов.

Пусть f(t)=F()(t) и g(t)=G()(t). Получим операторное представление их произведения. Выражая f(t) по формуле Меллина, получаем:

Экспоненту exp(zt) перед дельта-функцией в выражении справа можно опустить, так как она равна единице при t=0 . Окончательно имеем:

Фундаментальное тождество.

Его можно усмотреть в теореме смещения:

,

если выписать перед множитель , который ни на что не влияет, если разложение ведется по оператору интегрирования.

С помощью этого тождества можно вывести большинство формул разделов 2 и 3,которые были выведены традиционным для математического анализа способом. Новый способ иногда более краток, и к тому же более характерен для операционного исчисления. Например,

и т.д.

4. Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Этот раздел отдадим уравнению

, , ,

где параметры, а - известная функция. Будем считать, что p и q не равны нулю одновременно (в этом случае решение уравнения y’’=f(t) мы уже знаем). Проведем корректировку уравнения:

,

Подставим отсюда штрихованные производные в уравнение, перенеся в правую

часть слагаемые с начальными условиями и полагая

(1) ,

что дает решение в операционной форме:

(2)

Выделим три возможных варианта:

а) . По формулам (3.11), (3.12) и теореме о свертке можем сразу написать решение

(3)

Первые два слагаемые можно представить в ином виде, который предпочитают физики и техники, если ввести новые коэффициенты M и :

, .

Тогда

Третье слагаемое требует интегрирования. Например, при

интеграл вычисляется без принципиальных трудностей, но довольно громоздко.

В таких случаях не стоит доверять своей внимательности и всегда можно воспользоваться формулой из справочника интегралов. В нашем случае мы получим:

Если p=0, =q и  ≠ , то решение имеет вид:

(4)

Если , то решение можно найти из последней формулы по правилу Лопиталя при :

Здесь мы встретились с явлением резонанса: амплитуда колебаний неограниченно возрастает.

Рискнем дать объяснение так называемому полтергейсту, которому стараются иногда придать мистический смысл. Уличный и подземный транспорт, работающие станки на соседних предприятиях являются источниками внешнего воздействия.

Если собственные частоты конструкций домов совпадают с частотами внешнего воздействия, то в отдельных комнатах резонанс может вызвать пляску мебели и танцы посуды в шкафу без видимых причин.

Рассмотрим теперь два других случая для значений параметров в уравнении (1).

б) . В этом случае решение выражается через гиперболические функции:

(6)

в) . Этот вырожденный случай можно получить из пунктов а) и б) по правилу Лопиталя при  → 0 или  → 0:

(7)

Есть еще один способ решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами без разложения на простейшие дроби. Этот способ основан на теореме о свертке.

Пусть нужно решить уравнение второго порядка, имеющее после корректировки

стандартный вид (1):

(8)

Пусть корни полинома равны:

(9) ,

Операторное решение:

(10)

По теореме о свертке

(11)

Рассмотрим три случая:

а) , , ,

Выполняя интегрирование в формуле (11), найдем:

(12)

=

=

=

что совпадает с формулой (3).

б) , , ,

По формуле (12) решение в этом случае

(14)

=

= ,

что совпадает с формулой (6).

Наконец, если

в) , т.е. - единственный корень двойной кратности, то по формуле (11)

(15)

= ,

что совпадает с формулой (7).

Преимущества, которые имеет операционное исчисление перед классическими методами, отчетливо видны на примере этого параграфа: эквивалентный материал изложен в знакомом преподавателям технических вузов со стажем старом учебнике Н.С.Пискунова “Дифференциальное и интегральное исчисление” и занимает там не две-три страницы, как у нас, а тридцать страниц. Повторное изложение методом операционного исчисления на основе преобразования Лапласа занимает там же восемь страниц.

5. Уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Можно решать линейные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами,

не проводя разложения на простейшие дроби, пользуясь лишь теоремой о свертке, как это было показано в предыдущем параграфе на уравнениях второго порядка.

После корректировки уравнение n-го порядка принимает форму:

(1)

где

(2) ,

, , k=1,2,…,n-1

Пусть полином имеет r различных корней с кратностью ,

:

Операторное решение уравнения (1)

(3)

По теореме о свертке выражение

является сверткой r функций , j=1,2,…,r .

Если все кратности , то прямым вычислением найдем

(4)

Подстановка этого представления в формулу (3) дает нам решение уравнения (1) в виде

(5)

Если же не все кратности равны 1 , то

(6) ,

что очевидно следует из (4). Здесь , k=1,2…r .

Производные по корням полинома в (6) следует понимать как производные от соответствующей функции по её аргументу с последующей подстановкой корня вместо аргумента. Решение уравнения (1) получим, подставив это представление в формулу (3):

(7)

Стоящий в квадратных скобках интеграл часто вычисляется совсем просто. Иногда

стоит воспользоваться справочником интегралов.

Структура решения понятна без всяких теорем. Если нужно иметь общее решение, достаточно считать произвольными константами начальные условия

. Если положить их равными нулю (при этом полином ), то получим решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными данными. При получим решение однородного уравнения.

6. Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка

с постоянными коэффициентами.

Пусть функции удовлетворяют системе уравнений первого порядка

(1)

при начальных условиях .

Здесь - заданные числа, а - известные функции. Перейдем к матричной форме записи:

Будем искать решение в классе усеченных функций: считаем, что и равны нулю при t<0. Проведем знакомую нам операцию объединения уравнения с начальными условиями:

Операторное решение этой системы

(2)

Матрица является частным от деления матрицы , элементами которой являются алгебраические дополнения, на определитель

где - собственные числа матрицы A , а - их кратность, . Как мы установили в разделе 5,

где

Решение системы (1) принимает вид

(3)

Это решение имеет более простой вид для однократных корней ():

(4)

Однородное уравнение () имеет решение

(5)

а в случае однократных корней

(6)

Последние формулы позволяют сделать заключение об устойчивости решений по Ляпунову: если все корни отрицательны, либо имеют отрицательные вещественные части, то решение устойчиво; если есть хотя бы один корень - положительный, либо с положительной вещественной частью, то решение неустойчиво; если есть корни, у которых вещественная часть равна нулю, то решение устойчиво, если кратность таких корней равна единице, и неустойчиво, если среди них есть хотя бы один корень с кратностью .

В качестве проверки найдем по формуле (3) решение уравнения n–го порядка

, ,

которое мы заменим системой n уравнений первого порядка для n функций

где - известная функция,

Матрица здесь равна:

(7)

Нетрудно вычислить её определитель:

где корни полинома , и элементы первой строки матрицы алгебраических дополнений

которые оказываются равны

……………………………………………………………………………………………

По формуле (3) получаем решение уравнения n-го порядка в виде

(8)

где полином не выше (n-1) порядка равен

с коэффициентами

,

что в точности совпадает с уже найденным в разделе 5 решением.

Заключение

Настоящая статья проводит ревизию операционного исчисления, как его понимал Хевисайд и его последователи. Мы старались устранить неясности, ошибки и двусмысленности. Например, те исследователи, которые наводили порядок в исчислении Хевисайда, не заметили, что в пространстве усеченных функций операторы дифференцирования и интегрирования коммутируют и являются взаимно обратными. Особой нашей заботой было упрощение вычислений в операционном исчислении, и нам кажется, что это нам удалось: обычно решение задачи состояло из двух этапов: найти уравнение для изображения, которое оказывалось алгебраическим, решить его, затем вернуться в пространство оригиналов. Оба эти этапа требовали обращаться к преобразованиям Лапласа. Мы объединили оба этих этапа в один. В результате нам не пришлось вводить замены знаку равенства в виде стрелок и точек, что выделяло операционное исчисление из всех разделов математического анализа. Нам не пришлось разделять однородные и неоднородные уравнения и строить решение из общего решения однородного уравнения и неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями. Нам не понадобилось специально удовлетворять начальным данным, которые выполняются автоматически.

Задачники и учебники полны примерами на уравнение второго порядка. В нашем случае эти задачи потеряли всякий смысл, так как решение состоит из подстановки исходных данных в готовое решение. Нам не понадобилось понятие линейной независимости и не было нужды во всех связанных с этим понятием теоремах. Мы сумели обойтись без разложения рациональных функций на простейшие дроби, заменив эту операцию дифференцированием.

Несколько слов об авторах статьи. Мы окончили более сорока лет назад петербургский университет, один по специальности теоретическая физика, другой – по специальности математическая физика. Текст настоящей работы написан вторым автором, и все погрешности изложения надо отнести на его счет. Первый автор был инициатором работы. Именно он заметил прямую связь исчисления Хевисайда с преобразованием Лапласа в виде

f(t)=F()δ(t).

Эта формула ускользнула от внимания самого Хевисайда, а у нас она стала основной, причем она появляется естественным образом, и преобразование Лапласа не кажется притянутым за уши, как в классическом обосновании операционного исчисления.

Авторы не договорились выступить с общим текстом по совершенно непринципиальным соображениям: одного раздражает слишком легкомысленное отношение второго к расходящимся рядам и интегралам, другой считает, что если основная идея высказана, то на этом можно остановиться: подробная её реализация приводит к громоздким формулам, которые только затемняют и маскируют кристальную простоту исходной идеи. Понимание данной работы первым автором изложено в его статье в первом выпуске этого журнала.

Математика как никакая другая наука порождает педантов и педантизм. Появилась целая армия математиков, которые могут читать чужую работу до первой ошибки, либо до первой нестрого доказанной формулы. Таким читателям мы советуем вообще не открывать нашу работу, написанную всего лишь на инженерном уровне строгости. Именно такие люди отравили последние двадцать лет жизни гениальному Оливеру Хевисайду и довели его до полного непризнания и абсолютной нищеты.

Именно их любовь к математической строгости позволила отнять у него два его великих изобретения: дельта-функцию и эквивалентность массы и энергии – знаменитую формулу .

ЛИТЕРАТУРА

1. O.Heaviside. Proc.Roy.Soc., v.52, p. 504, 1893.

2. O.Heaviside. Proc.Roy.Soc., v.54, p. 105, 1894.

3. Г.Джеффрис, Б.Свирлс. "Методы математической физики",

Вып.1, Москва, Наука, 1969, стр.374.

4. Р.Курант, Д.Гильберт. "Методы математической физики",

Гостехиздат,1951.



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Операционное исчисление возвращение к хевисайду

    Документ
    ОПЕРАЦИОННОЕИСЧИСЛЕНИЕ: ВОЗВРАЩЕНИЕ К ХЕВИСАЙДУ. С.В.Ганцевич, В.М. Калинин ФТИ им А.Ф.Иоффе, ... ее преобразованием Лапласа F(p) . Связи операционногоисчисления с преобразованием Лапласа Хевисайд не заметил, как, впрочем ...
  2. История связи

    Документ
    ... смонтированными на общей раме. К возвращению П. Л. Шиллинга из Вос­точной ... Хевисайда это был частный случай приложения разра­ботанного им операционногоисчисления. ... Зворыкин воспо­минаниях, — что ожидать возвращения к нормальным усло­виям, в частности, ...
  3. История связи

    Документ
    ... смонтированными на общей раме. К возвращению П. Л. Шиллинга из Вос­точной ... Хевисайда это был частный случай приложения разра­ботанного им операционногоисчисления. ... Зворыкин воспо­минаниях, — что ожидать возвращения к нормальным усло­виям, в частности, ...
  4. Краткий очерк истории математики 5–е издание исправленное

    Книга
    ... геометрии пространственных кривых. По возвращении из Лапландии Клеро опубликовал свою ... , которые позже стало основой операционногоисчисленияХевисайда. Лаплас также спас от ... рядов. В некотором смысле это было возвращение к Лагранжу, с тем отличием, ...
  5. Краткий очерк истории математики 5–е издание исправленное

    Книга
    ... геометрии пространственных кривых. По возвращении из Лапландии Клеро опубликовал свою ... , которые позже стало основой операционногоисчисленияХевисайда. Лаплас также спас от ... рядов. В некотором смысле это было возвращение к Лагранжу, с тем отличием, ...

Другие похожие документы..