textarchive.ru

Главная > Документ


1.”Начала” Евклида.

В греческую эпоху были накоплены и обоб­щены многочисленные знания, полученные в процессе развития землемерного искусства. Именно в Древней Греции появились знамени­тые “Начала” Евклида (Евклид жил прибли­зительно две тысячи двести лет назад), где отдельные осмысленные факты были объеди­нены в общую логическую систему.

Безусловно, Евклид был выдающейся лич­ностью. Помимо “Начал” у этого оригиналь­ного мыслителя имеется много других трудов, но все же самым крупным вкладом в матема­тику были, несомненно, его “Начала”. Впро­чем, и до Евклида занимались подбором и обобщением фактов. Наиболее ранним сочи­нением такого рода считается книга Гиппо­крата Хиосского (VI в. до н. э.). Однако ос­новы теории Евклида по своему содержанию, по глубине мысли заметно отличались, и кни­га Гиппократа, как, впрочем, труды других мыслителей прошлого, не шла ни в какое сравнение с “Началами”. Как писал Прокл (V в.), Евклид многое взял от Евдокса (408— 350 гг. до н. э.; ученик Платона), многое усо­вершенствовал в трудах Теэтета (415—369 гг. до н. э.; группа Платона) и затем, проанали­зировав труды своих предшественников, возвы­сился до создания невиданной по тем време­нам точно обоснованной теории.

Теория Евклида удивляет и сложным по­строением, и четкостью мысли, и живостью изложения. Это, несомненно, первый образец построения научной системы. Впоследствии теория Евклида оказала большое влияние на формирование науки в Греции, став фунда­ментом развития таких областей знания, как математика, философия и другие, тем культурным наследием, которое считается гордостью греческой нации. “Начала” Евклида не потеряли своей ценности и поныне, несмотря на то, что со дня их появления прошло более 2000 лет.

Евклид при написании “Начал” не исполь­зовал слова “геометрия”, но оно, как извест­но, в то время применялось довольно широко. Примечателен следующий разговор Евклида с царем Птолемеем. Когда царь спросил: “А нет ли пути более быстрого, чем “Начала”?” — Евклид ответил: “В геометрии нет царских дорог”. Прокл, о котором мы уже упоминали, говорил: “Евклид создал основы геометрии”.

Как нам представляется, теоретическое значение “Начал” Евклида заключается не только в том, что в них наряду с основами геометрии рассматриваются другие области античной математики. В “Началах” мы ви­дим, как из простых определений, аксиом и по­стулатов выводятся утверждения, теоремы, которые составляют цельную научную сис­тему.

В эллинскую эпоху геометрия наравне с философией была областью чистого знания, но в то же время она, по-моему, могла быть отнесена и к естественным наукам. Хотя Ев­клид и заложил ее теоретический фундамент, он, надо полагать, рассматривал ее и как нау­ку, объясняющую природу Вселенной. Опира­ясь на практический опыт, он путем система­тизации и обобщений построил научную сис­тему.

Из определений Евклида приведем следую­щие:

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Диния же — длина без ширины.

3. Границы линии суть точки.

4. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

Эти понятия, лежащие в основе дальней­ших научных выводов, представляют собой некие абстракции и являются теми единицами, которые можно называть элементами нашей Вселенной. Они являются фундаментальными и в рассуждениях Евклида. Поэтому более поздняя критика евклидовых определений, состоявшая в том, что эти определения объяв­лялись не имеющими смысла, не совсем спра­ведлива. В действительности обоснование Ев­клидом своей теории — это образец такого научного подхода, которого следует придер­живаться при создании любой дедуктивной системы.

Ученые Древней Греции, не говоря уже о Платоне, как в философии, так и в геометрии развили рациональную сторону духовной культуры, продемонстрировав при этом един­ство науки. Древнегреческим .философам был известен афоризм: “Не знающий геометрии не допускается”, который, как говорят, при­надлежал знаменитому Платону, повесившему его на дверях своей школы.

На протяжении многих веков образ мышле­ния Евклида, его стиль являлись для всех ученых примером научного мышления, по сло­вам Паскаля (1623—1662), образцом “геомет­рического духа”.

2. Пятый постулат и попытки его доказательства.

В течение более 2000 лет после Евклида многие математики вели напряжен­ный научный поиск. Мы сможем упомянуть здесь лишь основные этапы этого долгого нс торического процесса.

Теория Евклида опирается на ряд опреде­лений и аксиом. Исходной точкой его логиче­ской системы является положение о том, что выдвигаемые им постулаты очевидны, их спра­ведливость признается всеми несомненной. Имеются пять постулатов:

1. Через две точки проходит единственная прямая.

2. Ограниченную прямую линию можно не­прерывно продолжить.

3. Из любой точки как из центра можно описать окружность любого радиуса.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Всякий раз, когда прямая при пересе­чении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, эти пря­мые пересекаются и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Последний, пятый, постулат известен как постулат о параллельных.Евклид приводит также девять аксиом, представляющих собой общие положения, например: “Если к равным величинам прибав­ляются равные, то и суммы будут равными”.

Постулат о параллельных по сравнению с другими постулатами гораздо сложнее, смысл его глубже. Хотя и к нему должно быть при­менимо условие самоочевидности, однако фор­мулировка постулата такова, что нс поддает­ся восприятию сразу по прочтении. Правда, это обстоятельство было осознано позже. Воп­рос заключается в том, можно ли этот посту­лат считать не самим по себе верным, а вы­водимым из других постулатов и аксиом. Если утверждение может быть доказано, то тогда нет никакой необходимости выдвигать его в качестве постулата. А если так, то это свиде­тельствует, по словам Д'Аламбера, о “подвод­ных камнях и капризном характере геомет­рии...”

Многие комментаторы Евклида, находив­шиеся во власти этого евклидова положения, пытались найти доказательство постулата о параллельных, однако все попытки такого рода исследований не имели результата. Не исключено, что сам Евклид пришел к мысли о выдвижении этого положения в качестве постулата лишь после неудачных попыток найти его доказательство. По-видимому, его исследования в этом направлении были скорее безуспешными, чем незавершенными.

Этот опыт в настоящее время породил це­лое направление сложнейших интенсивных исследований в основаниях не только геомет­рии, но и всей теоретической математики.

Относительно геометрии можно сказать, что в результате продолжительных исследова­ний были получены равноценные постулату о параллельных формулировки.

Например, через точку, находящуюся вне данной прямой линии, можно провести только одну прямую линию, параллельную данной.

Или — сумма внутренних углов треуголь­ника равна сумме двух прямых.

Эти и подобные им утверждения можно доказать, если исходить из предположения о справедливости постулата о параллельных и, наоборот, допустив, что любое одно из выше­приведенных суждений правильно, можно до­казать справедливость постулата о параллель­ных. В этом смысле приведенные утверждения равносильны, или, как еще говорят, эквива­лентны.

Среди попыток доказательства постулата о параллельных заслуживают особого внима­ния исследования Дж. Саккери (1677—1733) и Лежандра (1752—1833).

Саккери, проведя к горизонтальной прямой АВ вертикальные и равные отрезки АС и BD, соединил точки С и D. То, что углы С и Dравны, можно доказать и без использования постулата о параллельных, однако при дока­зательстве того, что угол С равен прямому, постулат становится необходим. Напротив, предполагая, что угол С прямой, можно вывести постулат о параллельных. Саккери, проявляя достаточную широту подхода к этому вопросу, рассмотрел три воз­можных случая:

1) когда угол Спрямой;

2) когда угол С тупой;

3) когда угол С — острый.

Затем он пытался доказать осуществи­мость только первого случая. И хотя в конеч­ном счете он потерпел неудачу, результаты, полученные им, позволили глубже вникнуть в суть рассматриваемого вопроса. Среди важ­ных результатов, полученных Саккери, имеет­ся следующая теорема: если предположить, что для какой-либо построенной таким обра­зом фигуры справедливо одно из трех выше упомянутых положений, то такое же условие будет иметь место и для любой другой фигу­ры, построенной аналогичным образом.

Исходя из какого-нибудь одного из трех допущений, можно вывести, что сумма вну­тренних углов треугольника либо равна двум прямым, либо больше, либо меньше суммы двух прямых.

Так, из первого допущения о прямом угле можно вывести, что если при пересечении двух прямых третьей прямой величины соответ­ственных углов одинаковы, то в этом случае (и только в этом случае) эти две прямые не пересекутся при их продолжении.

Далее, из второго допущения следует, что эти две прямые, напротив, пересекутся.

И наконец, из третьего допущения вытека­ет, что существует неограниченное число пря­мых, которые не пересекутся с данной прямой, если проводить их через точку, расположен­ную вне этой прямой.

Вероятно, в конечном счете Саккери, по­добно другим исследователям, потерял основ­ную нить в “безграничном болоте” рассужде­ний. Вполне возможно, что если бы Саккери в какой-то момент отказался от привычной мысли о том, что “евклидова геометрия — это единственная истина”, то, как знать, он, мо­жет быть, стал бы первооткрывателем другой, неевклидовой геометрии.

Много усилий для доказательства постула­та о параллельных линиях приложил также Лежандр. Благодаря его усилиям этой проб­лемой заинтересовались многие математики Франции и Англии. Основным результатом исследований Лежапдра были, по-видимому, следующие выводы: из допущения, что длина прямых линий неограниченна, следует, что сумма внутренних углов треугольника не может быть больше суммы двух прямых углов; если в одном тре­угольнике сумма внутренних углов равна двум прямым, то и во всяком любом другом треугольнике эта сумма равна двум прямым.

Считая евклидову геометрию “единствен­но истинной”, он направил все свои силы на доказательство существования треугольника, сумма внутренних углов которого равна сум­ме двух прямых, но цели не достиг.

3. Николай Иванович Лобачевский и открытие неевклидовой геометрии.

Многовековые попытки доказательства V постулата Евклида привели к появлению в начале XIX в. новой геометрии, отличающейся от евкли­довой тем, что в ней V постулат не выполняется. Эта геометрия носит в на­стоящее время имя Лобачевского, который впервые опубликовал работу с ее изложением.

Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) родился в Нижнем Новгороде (ныне Горький) в семье мелкого чиновника. Рано лишившись мужа, мать Лобачевского добилась принятия его в Казанскую гимназию. После ее окончания Лобачевский в 1807 г. поступил в открывшийся не­задолго до этого Казанский университет, с которым был связан затем всю жизнь. Большое влияние на Лобачевского оказал приглашенный в Ка­зань в 1808 г. друг Гаусса профессор М. Ф. Бартельс (1769—1836), впо­следствии работавший в университете в Дерпте (ныне Тарту). Отлично учившийся молодой Лобачевский раздражал реакционное, университетское начальство “мечтательным о себе самомнением, упорством, неповинове­нием”, а также “возмутительными поступками”, в которых автор одного из рапортов о нем усматривал “признаки безбожия”. Однако профессора, и в первую очередь Бартельс, заступились за строптивого студента, и в 1811 г. Лобачевский благополучно окончил университет, получив звание магистра. Став преподавателем университета, Лобачевский про­должал некоторое время работать под руководством Бартельса. В 1816 г. он назначается экстраординарным профессором, в 1822 г. избирается орди­нарным профессором, в 1820 г.— деканом физико-математического фа­культета, а в 1827 г.— ректором университета. На этом посту, который он занимал до 1845 г., Лобачевский проявляет себя как блестящий орга­низатор. Он спас университет во время пожара и эпидемии холеры; под его руководством было выстроено большинство университетских зданий и комплектовалась библиотека, носящая теперь его имя. Большое влияние оказал Лобачевский также на преподавание почти на всех факультетах. В 1845 г. Лобачевский прекратил работу в университете, но до конца жизни был одним из руководителей обширного Казанского учебного округа.

Одной из предпосылок геометрических открытий Лобачевского был его материалистический подход к проблемам познания. Лобачевский был твердо уверен в объективном и не зависящем от человеческого сознания существовании материального мира и в возможности его познания. В речи “О важнейших предметах воспитания” (Казань, 1828) Лобачевский сочув­ственно приводит слова Ф. Бэкона: “Оставьте трудиться напрасно, ста­раясь извлечь из одного разума всю мудрость; спрашивайте природу, она хранит все истины и на все вопросы ваши будет отвечать вам непремен­но и удовлетворительно” — и далее указывает, что сами правила логичес­ких умозаключений являются отражениями реальных закономерностей мира: “Разум, это значит, известные начала суждения, в которых как бы отпечатались первые действующие причины Вселенной и которые согла­шают, таким образом, все наши заключения с явлениями в природе”. В своем сочинении “О началах геометрии”, являющемся первой публика­цией открытой им геометрии, Лобачевский писал: “Первые понятия, с ко­торых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и до­статочным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами; врожденным — не должно верить”. Тем самым Лобачевский отвергал идею об априорном характере геометрических понятий, поддерживавшуюся И. Кантом, из которой делался вывод о том, что единственной мыслимой геометрией является геометрия Евклида.

Первое геометрическое сочинение Лобачевского — “Геометрия”, на­писанное в 1823 г., было напечатано только после его смерти. Это ориги­нальное учебное пособие отражает раздумья Лобачевского об основаниях геометрии. К этому же времени относится одна из попыток Лобачевского доказать V постулат.

К 1826 г. Лобачевский пришел к убеждению в том, что V постулат не зависит от остальных аксиом геометрии Евклида и 11(23) февраля 1826 г. “сделал на заседании факультета доклад “Сжатое изложение начал геомет­рии со строгим доказательством теоремы о параллельных”, в котором были "изложены начала открытой им “воображаемой геометрии”, как он назы­вал систему, позднее названную геометрией Лобачевского. Доклад

1826 г. вошел в состав первой публикации Лобачевского по неевклидовой геометрии — статьи “О началах геометрии”, напечатанной в журнале Ка­занского университета “Казанский вестник” в 1829—1830 гг. Дальнейшему развитию и приложениям открытой им геометрии были посвящены ме­муары “Воображаемая геометрия”, “Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам” и “Новые начала геометрии с полной теорией па­раллельных”, опубликованные в “Ученых записках Казанского универ­ситета” соответственно в 1835, 1836 и 1835—1838 гг. Переработанный текст “Воображаемой геометрии” появился во французском переводе в “J. fur Math.” в Берлине, в Берлине же в 1840 г. вышли отдельной книгой на не­мецком языке “Геометрические исследования по теории параллельных ли­ний” (Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien) Лоба­чевского. Наконец, в 1855 и 1856 гг. он издал в Казани на русском и фран­цузском языках “Пангеометрию” (т. е. “Всеобщую геометрию”). Геометрия Лобачевского получипа всеобщее признание математиков только после его смерти. Коллега Лобачевского по Казанскому университету Петр Иванович Котельников (1809—1879) в своей актовой речи 1842 г. открыто заявил: “Не могу умолчать о том, что тысячелетние тщетные попытки доказать со всей математической строгостью одну из основных теорем геометрии, равенство суммы углов в прямолинейном треугольнике двум прямым, побудили достопочтенного заслуженного профессора нашего университета предпринять изумительный труд — построить целую науку, геометрию, на новом предположении: сумма углов в прямолиней­ном треугольнике меньше двух прямых — труд, который рано или позд­но найдет своих ценителей”. Высоко оценил “Геометрические исследова­ния” Гаусс, который провел Лобачевского (1842) в члены-корреспонденты Гёттингенского ученого общества, бывшего по существу Академией наук Ганноверского королевства. Однако в печати с оценкой новой геометри­ческой системы Гаусс не выступил.

4. Исследования Гаусса по неевклидовой геометрии.

Высокая оценка открытия Лобачевского Гауссом была связана с тем, что Гаусс, еще с 90-х годов XVIII в. занимавшийся теорией параллель­ных линий, пришел к тем же выводам, что и Лобачевский. Свои взгляды по этому вопросу Гаусс не публиковал, они сохранились только в его черновых записках и в немногих письмах к друзьям. В 1799 г. Гаусс пи­сал своему соученику по Гёттингенскому университету Фаркашу (Вольфгангу) Бояи (1775—1856) о своих занятиях теорией параллельных линий:

“Правда, я достиг многого, что для большинства могло бы сойти за дока­зательство V постулата, но это не доказывает в моих глазах ровно ничего: например, если бы кто-либо мог доказать, что возможен такой прямо­угольный треугольник, площадь которого больше любой заданной, то я был бы в состоянии строго доказать всю геометрию. Большинство со­чтет это за аксиому, я же — нет. Так, могло бы быть, что площадь всегда будет ниже некоторого данного предела, сколько бы удаленными в про­странстве ни были три вершины треугольника. Таких положений я имею много, но ни одно из них не нахожу удовлетворительным”. В 1804 г. Гаусс пишет Ф. Бояи о его попытке доказательства V постулата в “Теории параллельных” (Theoria parallelarum. Maros Vasarhelyini, 1804):

“Твой метод меня не удовлетворяет... Однако я еще надеюсь, что когда-нибудь и еще до моего конца эти подводные камни позволят еще перебрать­ся через них”. Как видно, в это время Гаусс еще не оставил попыток до­казать V постулат. В 1816 г. в письме к астроному X. Л. Герлингу (1788— 1864), установив, что при отказе от V постулата должна существовать аб­солютная мера длины, Гаусс заявлял: “Я не нахожу в этом ничего проти­воречивого. Было бы даже желательно, чтобы геометрия Евклида не была бы истинной, потому что мы тогда располагали бы общей мерой a priori”. Эти слова показывают, что в 1816 г. Гаусс еще считает геометрию Евкли­да “истинной” в смысле физической реальности. Но уже в 1817 г. в письма к астроному В. Ольберсу (1758—1840) Гаусс пишет: “Я прихожу все более к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть до­казана, по крайней мере человеческим рассудком и для человеческого рас­судка. Может быть, в другой жизни мы придем к взглядам на природу про­странства, которые нам теперь недоступны. До сих пор геометрию прихо­дится ставить не в один ранг с арифметикой, существующей чисто a priori, а скорее с механикой”. Отсюда виден источник сомнений Гаусса: первоначально он был сторонником мнения Канта об априорности матема­тических понятий, но, размышляя о теории параллельных, пришел к вы­воду, что во всяком случае в геометрии такая априорность не имеет места. Возможно, что именно по этой причине Гаусс не публиковал своих пара­доксальных открытий. В 1818 г. в письме к Герлингу он писал: “Я радуюсь, что Вы имеете мужество высказаться так, как если бы Вы признавали ложность нашей теории параллельных, а вместе с тем и всей нашей гео­метрии. Но осы, гнездо которых Вы потревожите, полетят Вам на голо­ву” ; по-видимому, под “потревоженными осами” Гаусс имел в виду сто­ронников традиционных взглядов на геометрию, а также априоризма ма­тематических понятий.

5. Янош Бояи.

Независимо от Лобачевского и Гаусса к открытию неевклидовой гео­метрии пришел и замечательный венгерский математик Янош Бояи (1802— 1860), сын Ф. Бояи. Я. Бояи родился в трансильванском городе Марош-Вашархей (ныне Тыргу-Муреш в Румынии). После окончания военно-ин­женерной академии в Вене он служил в крепости Темешвар (ныне Тими-шоара). Я. Бояи заинтересовался проблемой параллельных под влиянием отца и уже в 1823 г. писал ему: “Правда, я не достиг еще цели, но получил весьма замечательные результаты — из ничего я создал целый мир” , Отец, отчаявшийся в своих попытках доказательства V постулата, умо­лял сына оставить эти занятия: “Ты не должен пытаться одолеть теорию параллельных линий на этом пути: я знаю этот путь, я проделал его до конца, я пережил эту беспросветную ночь, и всякий светоч, всякую ра­дость моей жизни я в ней похоронил. Молю тебя, оставь в покое учение о параллельных линиях; ты должен его страшиться, как чувственных ув­лечений; оно лишит тебя здоровья, досуга, покоя — оно тебе погубит всю радость жизни. Эта беспросветная мгла может поглотить тысячу ньютоновых башен и никогда на земле не прояснится; никогда несчастный род человеческий не достигнет совершенной истины, даже в геометрии!”. Когда Я. Бояи пришел к тем же идеям, что Лобачевский и Гаусс, отец не понял его, однако предложил напечатать краткое изложение его откры­тия в виде приложения к своему руководству по математике, вышедшему в 1832 г. Полное название труда Я. Бояи — “Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида (что a priori никогда решено быть не может)” (Appendix scientiam. spatii absolute veram exhibens: a veritate aut ialsitate Axiomatis XI Euclidis (a priori baud unquain decidenda) inde-pendentem), и его обычно называют коротко “Аппендикс”. В 1833 г. Я. Бояи вышел в отставку. Открытие Я. Бояи не было признано при его жизни; Гаусс, которому Ф. Бояи послал “Аппендикс”, понял его, но никак не спо­собствовал признанию открытия Я. Бояи. В 1837 г. Я. Бояи участвовал в конкурсе на премию Лейпцигского ученого общества им. Яблоновского "по вопросу об “усовершенствовании геометрической теории мнимых чисел”. В своей работе Я. Бояи переоткрыл “теорию пар” Гамильтона, опублико­ванную в 1833—1835 гг.; написанная чрезмерно сжато, да еще со ссылка­ми на “Аппендикс”, недоступный жюри конкурса, эта работа не была оце­нена по достоинству. Все это привело Я. Бояи к тяжелой моральной деп­рессии, из которой он по существу не выходил до конца жизни.

“Аппендикс” Я. Бояи также был написан чрезвычайно сжато, с при­менением многих условных обозначений; это объяснялось тем, что Ф. Бояи выделил сыну для изложения его открытия слишком мало места. Поэтому уяснить суть открытия Я. Бояи по его изложению было нелегко. Пожа­луй, единственным человеком, понявшим это сочинение при жизни автора, был Гаусс. В письме Гаусса к Герлингу, написанном сразу же после по­лучения “Аппендикса”, говорилось: “Я считаю этого молодого геометра фон Бояи гением первой величины”. Однако самому Ф. Бояи Гаусс на­писал: “Теперь кое-что о работе твоего сына. Если я начну с того, что я эту работу не должен хвалить, то ты, конечно, на мгновение поразишь­ся, но иначе я не могу; хвалить ее значило бы хвалить самого себя: все содержание сочинения, путь, по которому твой сын пошел, и результаты, которые он получил, почти сплошь совпадают с моими собственными до­стижениями, которые частично имеют давность в 30—35 лет”. Впослед­ствии, познакомившись с “Геометрическими исследованиями” Лобачев­ского, Гаусс посоветовал отцу и сыну Бояи прочесть это сочинение. Про­чтя работу Лобачевского, Я. Бояи высказал нелепое предположение:

“Гаусс — колосс, и без того владевший такими сокровищами,— не мог примириться с тем, что кто-то в этом вопросе его предвосхитил, и так как он уже не был в состоянии этому воспрепятствовать, то он сам обработал теорию и выпустил в свет под именем Лобачевского”.



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Евклид древнегреческий математик (365-300 до н э )

    Документ
    ... тел, восходящие к Теэтету. «Начала»Евклида представляют собой изложение той геометрии ... , но и для университетов. «Начала»Евклида были основательно изучены арабами, а ... пунктом этой работы послужили «Начала»Евклида. Знание основ евклидовой геометрии ...
  2.     ЕВКЛИД (ЭВКЛИД) Платона .    Научная деятельность Евклида протекал

    Книга
    ... -Варден считает, что "Начала"Евклида являются обработкой сочинений греческих математиков ... числа простых чисел. Историческое значение "Начал"Евклида заключается в том, что в ... большим и длительным успехом, как "Начала"Евклида. С 1482 она выдержала более ...
  3. Евклид

    Документ
    ... тел, восходящие к Теэтету. "Начала"Евклида представляют собой изложение той геометрии ... , но и для университетов. "Начала"Евклида были основательно изучены арабами, а ... пунктом этой работы послужили "Начала"Евклида. Знание основ евклидовой геометрии ...
  4. Евклид - древнегреческий математик (III века до н

    Документ
    ... около 2200 лет Главный труд Евклида - "Начала" (по-другому "Элементы"). Все ... частей и не имеет величины". "Начала"Евклида, законченные около 325 года до ... и теории иррациональности. Личный вклад Евклида в "Начала", по-видимому, состоял главным образом ...
  5. Дело в том, что в некоторых списках "Начал" Евклида эта теорема называлась "теоремой

    Документ
    ... в том, что в некоторых списках "Начал"Евклида эта теорема называлась "теоремой нимфы" ... около двух веков. С самого начала в пифагоризме сформировались два различных направления ... чисел, то есть было положено начало теории чисел. Однако здесь, ...

Другие похожие документы..