textarchive.ru

Главная > Документ


6. Геометрия Лобачевского.

В мемуаре “О началах геометрии” (1829) Лобачевский прежде всего воспроизвел свой доклад 1826 г. В начале этой части Лобачевский писал:

“Кто не согласится, что никакая Математическая наука не должна бы на­чинаться с таких темных понятий, с каких, повторяя Евклида, начинаем мы Геометрию, и что нигде в Математике нельзя терпеть такого недостатка строгости, какой принуждены были допустить в теории параллельных линий”. Далее следуют приведенные выше слова о “первых понятиях”, с которых начинается какая-нибудь наука.

Определив затем основные понятия геометрии, не зависящие от V по­стулата, и заметив, что сумма углов прямолинейного треугольника не мо­жет быть >л , как это имеет место у сферических треугольников, Лоба­чевский заявлял: “Мы видели, что сумма углов прямолинейного треуголь­ника не может быть >л. Остается предполагать эту сумму =л или <л. То и другое может быть принято без всякого противоречия впоследствии, от чего и происходят две Геометрии: одна, употребительная доныне по своей простоте, соглашается со всеми измерениями на самом деле; другая, воображаемая, более общая и потому затруднительная в своих вычисле­ниях, допускает возможность зависимости линий от углов”.

Лобачевский указывает, что в “во­ображаемой геометрии” сумма углов треугольника всегда <л и две прямые могут не пересекаться в случае, когда они образуют с секущей углы, в сум­ме меньшие л. Параллельные прямые определяются как такие, которые не пересекаются, но могут быть получе­ны предельным переходом из пересе­кающихся. Через каждую точку пло­скости проходят две прямые, парал­лельные данной прямой, лежащей в этой плоскости; эти прямые делят пучок прямых, проходящих через данную точку, на четыре области, в двух из которых проходят пря­мые, пересекающие данную прямую, а в двух — прямые, которые не пе­ресекают эту прямую и не могут быть получены предельным переходом из пересекающих — такие прямые называются расходящимися; парал­лельные прямые разграничивают пересекающие прямые от расходящихся. Угол а между прямой, проведенной через точку А параллельно прямой р, и перпендикуляром, опущенным из А на р, Лобачевский называет “углом параллельности” и показывает, что функция П (а), выражающая за­висимость этого угла от длины а перпендикуляра, может быть (в современ­ных обозначениях) записана в виде:

П (а) = 2arctg ехр(- qa)

где q — некоторая постоянная. При а>= 0 угол параллельности всегда острый, причем он стремится к л/2 при а —> 0, постоянная же q может служить на плоскости Лобачевского абсолютной единицей длины, анало­гичной абсолютной единице угла в евклидовом пространстве. Лобачевский устанавливает также, что расходящиеся прямые обладают общим перпен­дикуляром и удаляются друг от друга по обе стороны от него, а две парал­лельные прямые приближаются друг к другу и расстояния точек одной из них от другой стремятся к 0 при неограниченном удалении этих точек. Сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского всегда меньше л.

Круг при стремлении его радиуса к бесконечности переходит в системе Лобачевского не в прямую, а в особенного рода кривую “предельную круг” — в настоящее время такие кривые называют орициклами, от гре­цких слов, эквивалентных термину Лобачевского. Сфера при тех же обстоятельствах переходит не в плоскость, а в кривую поверхность, которую Лобачевский назвал “предельной сферой”, а в настоящее время именуют рисферой. Лобачевский отмечает, что на орисфере имеет место евклидова геометрия, причем роль прямых на ней играют орициклы. Это позволяет Лобачевскому, опираясь на евклидову тригонометрию на орисфере, вывести тригонометрию на плоскости в его геометрической системе. Название “воображаемая геометрия” подчеркивает, что эта геометрия относится к вклидовой, “употребительной”, по терминологии Лобачевского, как мнимые числа, “воображаемые”, по его терминологии, к действительным. Слова “понятия приобретаются чувствами, врожденным не должно верить”-называют на то, что Лобачевский, не обнаружив противоречия в следст­виях из предположения о невыполнении V постулата, пришел к выводу" о том, что евклидова геометрия не является единственно мыслимой. Лобачевский сразу же поставил вопрос об экспериментальной проверке того, какая геометрия имеет место в реальном мире — “употребительная” или (“воображаемая”, для чего он решил измерить сумму углов треугольника с очень большими сторонами. Однако, вычислив по последнему астроно­мическому календарю сумму углов треугольника, образованного двумя диаметрально противоположными положениями Земли на ее орбите и Сириусом и считая один из углов этого треугольника прямым, а другой — равным углу параллельности, Лобачевский нашел, что эта сумма отличает­ся от л на разность, меньшую ошибки угломерных инструментов в его время. “После того,— пишет Лобачевский,— можно вообразить, сколько эта раз­ность, на которой основана наша теория параллельных, оправдывает точ­ность всех вычислений обыкновенной Геометрии и дозволяет принятие начала последней рассматривать как бы строго доказанными”.

Это объясняет, что под “строгим доказательством теоремы о параллель­ных линиях” в докладе 1826 г. Лобачевский понимал невозможность уста­новить экспериментальным путем, какая из двух геометрий имеет место в реальном мире, откуда вытекает, что на практике можно пользоваться “употребительной геометрией”, не рискуя впасть в ошибку.

Наиболее полным изложением системы Лобачевского являются его“Новые начала геометрии с полной теорией параллельных” (1835—1838). Это сочинение начинается словами: “Прикосновение составляет отличитель­ную принадлежность тел и дает им название геометрических, когда в них удерживаем это свойство, не принимая в рассуждение все другие, сущест­венные ли то будут или случайные...”. Далее определяются сечения тел, пространства, конгруэнтность тел (“одинаковость”) и их равновеликость (“равенство”), “три главных сечения”, делящих тело на восемь частей, а с их помощью — поверхности, линии и точки; расстояния, а затем сферы; плоскости (геометрические места точек, равноудаленных от двух точек) и прямые. Таким образом, изложение геометрии у Лобачевского основыкается на чисто топологических свойствах прикосновения и сечения, конг­руэнтность тел и равенство отрезков определяются по существу с помощью движения. Далее Лобачевский подробно излагает открытую им геометрию, а в конце работы пишет: “В природе мы познаем только движение, без которого чувственные впечатления невозможны. Итак, все прочие понятия, например геометрические, произведены нашим умом искусственно, будучи взяты в свойствах движения; а потому пространство само собой, отдельно для нас не существует. После чего в нашем уме не может быть никакого противоречия, когда мы допускаем, что некоторые силы в природе следуют одной, другие своей особой Геометрии”. Мысль о возможности различных геометрических свойств в различных участках пространства и их зави­симости от “сил”, т. е. от материи, является далеким предвосхищением идей общей теории относительности Эйнштейна. Далее Лобачевский вы­сказывает предположение, что его геометрия, возможно, имеет место “либо за пределами видимого мира, либо в тесной сфере молекулярных при­тяжении” .

В позднейших работах Лобачевский ввел координаты и вычислил из геометрических соображений целый ряд новых определенных интегралов, которым он специально посвятил работу “Применение воображаемой гео­метрии к некоторым интегралам” (Учен. зап. Казан, ун-та, 1836); многие из них были включены в изданные голландским математиком Давидом Бьеренс де Хааном (1822—1895) “Таблицы определенных. интегралов” (Tables d'integrales definies, 1858), а затем ив позднейшие справочники.

7.Непротиворечивость геометрии Лобачевского.

Лобачевский доказал непротиворечивость своей системы тем, что ввел как на плоскости, так и в пространстве координаты и таким образом построил арифметическую модель плоскости и пространства Ло­бачевского. Однако сам Лобачевский видел свидетельство непротиворе­чивости открытой им геометрии в указанной связи формул его тригоно­метрии с формулами сферической тригонометрии. Этот вывод Лобачев­ского неправомерен. В своем мемуаре он доказал, что формулы сферичес­кой тригонометрии вытекают из его геометрии, между тем, чтобы утверждать, что из непротиворечивости тригонометрических формул вытекает непротиворечивость геометрии Лобачевского, надо было бы доказать, что все предложения последней можно вывести из ее тригонометрических фор­мул и “абсолютной геометрии” — предложений, не зависящих от V посту­лата. Такое доказательство Лобачевский попытался провести в “Вообра­жаемой геометрии”, где он писал: “Теперь, оставляя геометрические пост­роения и выбирая краткий обратный путь, намерен я показать, что глав­ные уравнения, которые нашел я (цитированной выше работе) для за­висимости боков и углов треугольника в воображаемой Геометрии, могут быть приняты с пользою в Аналитике и никогда не приведут к заключениям ложным в каком бы то ни было отношении”.

Далее Лобачевский присоединяет тригонометрические формулы к предложениям абсолютной геометрии и выводит из этого утверждения, что сумма углов треугольника < л что, как известно, эквивалентно постулату Лобачевского. Однако и эти рассуждения не представляют законченного доказательства непротиворечивости, так как сами формулы сферической тригонометрии, из которых следует, что сумма углов треугольника >л, если рассматривать их как формулы плоской тригонометрии, противоре­чат аксиомам абсолютной геометрии. Фактически эти соображения Ло­бачевского доказывают только непротиворечивость его тригонометричес­ких формул.

Однако, отправляясь от соображений Лобачевского, но пользуясь мето­дами, в его время неизвестными, можно дать полное доказательство не­противоречивости его геометрии. Для этого следует воспользоваться введен­ной Понселе в его “Трактате о проективных свойствах фигур” идеей мни­мых точек пространства. Если дополнить действительное евклидово прост­ранство всеми его мнимыми точками, мы получим комплексное евклидово пространство. Всякую алгебраическую и аналитическую линию и поверх­ность в действительном пространстве можно рассматривать как часть ли­нии и поверхности в комплексном пространстве, определяемых теми же уравнениями, расстояния между точками и углы между прямыми в комп­лексном пространстве выражаются теми же формулами, что и в действи­тельном пространстве; поэтому выражаются теми же формулами, что и на действительной сфере, тригонометрические соотношения на сфере комп­лексного пространства. Таким образом, геометрия плоскости Лобачевского осуществляется на сфере мнимого радиуса qi в подпространстве комп­лексного пространства, прямоугольные координаты х, у точек которого действительны, а координаты z — чисто мнимы. Это подпространство можно рассматривать как действительное аффинное пространство.

Такое пространство было определено значительно позже А. Пуанкаре (1906) и Г. Минковским (1908) в связи с интерпретацией специальной тео­рии относительности и в настоящее время называется псевдоевклидовым пространством. Сферы радиуса qi в этом пространстве имеют вид двупо­лостных гиперболоидов (геометрия плоскости Лобачевского осуществляет-сяна каждой из полостей такого гиперболоида), в этом пространстве имеют­ся также сферы действительного радиуса, имеющие вид однополостньтх гиперболоидов, и сферы нулевого радиуса, имеющие вид конусов.

Эта интерпретация, наглядно доказывающая непротиворечивость планиметрии Лобачевского, объясняет, почему формулы тригонометрии Лобачевского получаются из формул сферической тригонометрии заменой радиуса сферы на qi. Эта сфера чисто мнимого радиуса и есть та “мнимая сфера”, о которой, как писал И. Г. Ламберт, он “почти должен был бы сделать вывод — заключение, что третья гипотеза имеет место на какой-то мни­мой сфере”.

Отметим, что интерпретация плоскости Лобачевского на сфере чисто мнимого радиуса в псевдоевклидовом пространстве обладает также такими свойствами, что движения плоскости Лобачевского изображаются враще-ниями сферы, окружности — сечениями сферы евклидовыми плоскостями, кривые, являющиеся геометрическими местами точек, равноотстоящих от прямых (“эквидистанты”),— сечениями сферы псевдоевклидовыми плос­костями, орициклы — сечениями сферы изотропными плоскостями (по­лучаемыми предельными переходами и из евклидовых, и из псевдоевкли­довых). Вместо рассмотрения одной полости сферы мнимого радиуса в ряде случаев оказывается более удобным интерпретировать плоскость Лоба­чевского в виде полной сферы, но с отождествленными диаметрально про­тивоположными точками. Пространство Лобачевского допускает аналогич­ную интерпретацию в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве, применяе­мом для интерпретации пространства-времени специальной теории отно­сительности.

Координаты х, у, z, точки сферы мнимого радиуса можно рассматривать как однородные координаты соответственной точки плоскости Лобачевско­го. Такими координатами (из других соображений) пользовался К. Вейор-штрасс в своем семинаре по геометрии Лобачевского, который он вел около 1870 г. в Берлинском университете, вследствие чего их называют вейершт-рассовыми координатами .

8.Распространение идей геометрии Лобачевского.

Новая система геометрии не получила признания при жизни ее творцов. За исключением упомянутого выступления П. И. Котельникова, мы не знаем других официальных положительных отзывов о Лобачевском как о творце новой геометрии. На “Аппендикс” Я. Бояи и вовсе не имелось отк­ликов. Гаусс же, как говорилось, избегал публикации своих открытий, ограничиваясь беглыми замечаниями в письмах к немногим друзьям. Положение изменилось только в 60-х гг. XIX в. В 1860—1865 гг., вскоре после смерти Гаусса, была издана его переписка с астрономом Г. X. Шу­махером (1780—1850) и, в частности, письмо Гаусса по поводу “Геометричес­ких исследований” Лобачевского. “Это сочинение,—писал здесь Гаусс,— содержит в себе основания той геометрии, которая должна была бы иметь место и притом составляла бы строго последовательное целое, если бы евклидова геометрия не была бы истинной... Лобачевский называет ее “вооб­ражаемой геометрией”; Вы знаете, что уже 54 года (с 1792 г.) я разделяю те же взгляды с некоторым развитием их, о котором не хочу здесь упоминать; таким образом, я не нашел для себя в сочинении Лобачевского ничего фактически нового. Но в развитии предмета автор следовал не по тому пути, по которому шел я сам; оно выполнено Лобачевским мастерски в истинно геометрическом духе. Я считаю себя обязанным обратить Ваше внимание на это сочинение, которое, наверное, доставит Вам совершенно исключительное наслаждение”.

В 1865 г. появляется “Заметка о воображаемой геометрии Лобачевского (Note on Lobatschewsky" s imaginary geometry.— Philos. Mag. London) А. Кэли. В этой заметке Кэли сравнивает тригонометрические формулы Лобачевского и сферической тригонометрии, и, хотя, как видно из заметки, сути открытия Лобачевского Кэли не понял, его заметка способствовала признанию этого открытия.

В 1866 г. в Бордо и Париже появляется французский перевод “Геометрических исследований” Лобачевского вместе с извлечением из переписки Гаусса с Шумахером, выполненный профессором университета в Бордо Гильомом Жюлем Оюэлем (1823—1866), а в 1867 г. в Париже выходит “Критический очерк об основных принципах геометрии” (Essai crifciqi sur les principes fondamentaux de la geometrie) Оюэля, содержащий изл жение основных идей Лобачевского. Основы геометрии Лобачевского изложил профессор университета в Гиссене Рихард Бальцер (1818—188 во 2-м издании его “Элементов математики” (JDie Elemente der Mathemati Dresden, 1867). В том же году профессор Неаполитанского университе Джузеппе Баттальини (1826—1894) опубликовал статью “О воображаем г геометрии Лобачевского” (Sulla geometria imaginaria de Lobatschewsky. G. mat. Napoli, 1867) и итальянский перевод “Пангеометрии”, а в 1868 г. итальянский перевод “Аппендикса” Бояи. В 1868 г. профессор Московсг го высшего технического училища Алексей Васильевич Летников (1837 1888) поместил в III томе “Математического сборника” русский перевод “Геометрических исследований” Лобачевского с предисловием, в которомгеометрические труды Лобачевского характеризуются как “весьма замечательные, но мало известные”, а профессор Эраст Петрович Янишевский опубликовал в Казани “Историческую записку о жизни и деятельное я Н. И. Лобачевского”. И наконец, в том же 1868 г. выходит статья Э. Бельтрами об интерпретациях геометрии Лобачевского. Благодаря этим публикациям к 1870 г. геометрия Лобачевского становится известной во âñåõ странах Европы; тогда же, как мы упоминали, эта геометрия становитсяпредметом специального семинара К. Вейерштрасса в Берлинском университете.

Большую роль в распространении идей геометрии Лобачевского сыграли профессора Казанского университета Федор Матвеевич Суворов, магистерская диссертация которого “О характеристике систем трех измерений” (1871) была посвящена трехмерным римановым пространствам непосредственному обобщению трехмерного пространства Лобачевского, и особенно Александр Васильевич Васильев (1853—1929). Питомец ïåтербургского университета, Васильев работал доцентом, а затем профессором Казанского университета с 1874 по 1907 г., затем он переехал в Петербург. Алгебраист по основной специальности, Васильев был матема­тиком широких интересов и впоследствии издавал (совместно с П. С. Юшке­вичем (1873—1945)) сборники “Новые идеи в математике” (Петербург, 1912—-1915), познакомившие русского читателя с идеями теории множеств и обос­нования анализа, теории групп, геометрическими работами Ф. Клейна, теорией относительности и другими важными открытиями математики то­го времени. Васильев был также историком математики, ему принадлежит ряд исследований творчества Лобачевского и исторический очерк “Целое число” (Петроград, 1922). Он был первым председателем Казанского фи­зико-математического общества, выделившегося в 1890 г. из Казанского общества естествоиспытателей. Именно под руководством Васильева Ка­занское физико-математическое общество выступило инициатором издания первого полного собрания геометрических сочинений Лобачевского, вы­шедшего под редакцией Васильева (Казань, 1883—1886), празднования

100-летия со дня рождения Лобачевского (1893), продемонстрировавшего международное признание открытия неевклидовой геометрии, и между­народных конкурсов имени Лобачевского, которые высоко подняли меж­дународный авторитет Казанского университета. Первое присуждение премии имени Лобачевского состоялось в 1897г., премия была присуждена Софусу Ли за третий (геометрический) том его “Теории групп преобразова­ний”; при втором присуждении (1900) премию получил В. Киллинг за цикл работ по неевклидовым пространственным формам и группам Ли (1883—1896). При третьем присуждении (1904) этой премии был удостоен Д. Гильберт за “Основания геометрии” и другие геометрические работы (1895—1900). Впоследствии премия имени Лобачевского присуждалась таким крупным ученым, как Ф. Шур, Г. Вейль, Э. Картан и А.Д. Алек­сандров.

9. Интерпретация Бельтрами.

Самым убедительным аргументом в пользу новой геометрии были появившиеся в это время интерпретации этой геометрии в евклидовом про­странстве. Первые две такие интерпретации были предложены профессо­ром математики и механики в Болонье и Риме Эудженио Бельтрами (1835— 1900) в “Опыте интерпретации неевклидовой геометрии” (Saggio di interpet-razione della geometria non-euclidea.— G. mat. Napoli, 1868), в котором он отправлялся от работ Миндинга. В этой работе Бельтрами вычислил линейный элемент (квадрат дифференциала дуги) плоскости Лобачев­ского в координатах и, v.

Вычисляя далее гауссову кривизну поверхности с таким линейным элемен­том, Бельтрами обнаружил, что гауссова кривизна плоскости Лобачевского во всех ее точках равна одному и тому же числу, т. е. что плоскость Лобачевского можно рассматривать как поверхность постоянной отри­цательной кривизны.

Так как всякую поверхность с точки зрения ее внутренней геометрии можно рассматривать как интерпретацию любой поверхности, наложимой на нее, а необходимым и достаточным условием наложимости поверхностей является равенство гауссовых кривизн в соответственных точках поверх­ностей, Бельтрами сделал вывод, что плоскость Лобачевского может быть интерпретирована любой поверхностью постоянной отрицательной кри­визны.

Бельтрами установил, что поверхности вращения постоянной отри­цательной кривизны, рассмотренные Миндингом, изометричны частям плоскости Лобачевского, заключенным между двумя пересекающимися прямыми и ортогональной к ним окружностью, между двумя расходящими­ся прямыми, их общим перпендикуляром и ортогональной к ним эквв дистантой и между двумя параллельными прямыми и ортогональным к ним орициклом. Впоследствии (1900) Гильберт доказал, что всякая поверх­ность постоянной отрицательной кривизны в евклидовом пространстве изометритаа только части или нескольким частям плоскости Лобачевского, но ни одна такая поверхность не изометрична плоскости Лобачевского це­ликом.

С другой стороны, рассматривая точки евклидовой плоскости с коор­динатами, численно равными “бельтрамиевым координатам” u, v плоскости Лобачевского, Бельтрами получает вторую интерпретацию. При этой интерпретации вся плоскость Ло­бачевского изображается внутренностью кру­га. Бельтрами показал, что прямые линии пло­скости Лобачевского при этом изображаются хордами этого круга (рис. 8).

Хотя Бельтрами не дал формулы для расстояния между двумя произ­вольными точками и не выяснил, как в его интерпретации изображаются движения плоскости Лобачевского, эта интерпретация Бельтрами яви­лась первым, правда неполным, доказательством непротиворечивости всей плоскости Лобачевского.

10.Интерпретация Кэли.

Ответ на вопросы, не решенные Беяьтрами, по существу заключался в вышедшем за десять лет до его работы и уже упоминавшемся (см. с. 48) “Шестом мемуаре о формах” (1859) Артура Кэли (см. Кн. 1, с. 64— 65), где было введено понятие о проективной метрике на плоскости.

Метрика Кэли осуществляется на бесконечно удаленной плоскости, представляющей собой проективную плоскость, и на сфере обычного пространства с отождествленными диаметрально противополож­ными точками. В настоящее время проективная плоскость с определенной таким образом метрикой называется эллиптической плоскостью; по при­чинам, которые будут ясны ниже, эту плоскость называют также неев­клидовой плоскостью Римана, хотя на самом деле с гораздо большим основанием эту плоскость следует называть плоскостью Кэли.

Кэли замечает также, что “в обычной геометрии плоскости абсолют вырождается в пару точек, а именно в пару точек пересечения бесконечно удаленной прямой с исчезающим кругом, или, что то же самое, абсолют является двумя круговыми точками в бесконечности. Общая теория со­ответствующим образом модифицируется, а именно, здесь для точек уже не существует расстояния, подобного квадранту, и расстояние между двумя прямыми не может быть никоим образом сравниваемо с расстоянием между точками”. “Расстояние между прямыми” — это угол между прямыми евклидовой плоскости или расстояние между двумя параллельными пря­мыми. Говоря о вырождении коники в пару точек, Кэли имеет в виду ко­нику как совокупность прямых, т. е. пучок второго порядка, который может выродиться в пару обычных действительных или мнимых пучков. Кэли не изучает случаев, когда коника вещественная или когда она рас­падается на пару действительных пучков, приводящих к геометриям, которые в настоящее время называются гиперболической (геометрией Лобачевского) и псевдоевклидовой. Однако ему было ясно большое зна­чение определенных им проективных метрик, и в конце мемуара он писал:

“Метрическая геометрия является, таким образом, частью проективной геометрии, и проективная геометрия представляет всю геометрию”.

11. Интерпретация Клейна.

Связь между проективными метриками Кэли и геометрией Лобачев­ского была установлена немецким геометром Феликсом Клейном (1849— 1925). Уроженец Дюссельдорфа, Клейн учился в Боннском университете, где был учеником Плюккера и в 1866—1868 гг. его ассистентом по кафедре физики. Затем Клейн работал в качестве профессора в Эрлангенском уни­верситете (1872—1875), в Высшей технической школе в Мюнхене (1875— 1880), в Лейпцигском университете (1880—1886) и с 1888г. в Гёттингенском. университете. В 1871 г. он установил упомянутую связь между геометри­ческими теориями Лобачевского и Кэли, о чем подробно говорится ниже.. Выяснив, что группа движений пространства Лобачевского, а также груп­пы движений евклидова пространства и других проективных метрик явля­ются подгруппами группы проективных преобразований пространства, Клейн пришел к общей идее о роли групп преобразований в геометрии, высказанной им в лекции при вступлении в должность профессора Эрлан-генского университета (“Эрлангенской программе”). Клейн сыграл важ­ную роль в усвоении математиками идей неевклидовой геометрии и тео­рии групп, в создании теории непрерывных групп и изучении дискретных групп геометрических преобразований, в частности так называемых фуксовых групп (теорию которых он разрабатывал в бурном соревновании с Пуанкаре), а также групп симметрий правильных фигур (одна из его книг посвящена группе симметрий правильного икосаэдра). С 1876 г. в течение сорока лет Клейн был главным редактором издававшихся в Лейп­циге “Mathematischen Annalen”. Нельзя не упомянуть еще его активного участия в известной многотомной “Enzyklopadie der mathematischen Wissen-schaften” (Leipzig, 1898—1934. Bd. 1—6) и реформе преподавания математики' в средней и высшей школе.

В своих “Лекциях о развитии математики в XIX столетии”, читанных во время первой мировой войны и изданных Р. Курантом и О. Нейгебауэром в 1926 г., Клейн описывает открытие своей интерпретации следующим образом: он познакомился с теорией Кэли по упоминавшейся нами книге Сальмона “Конические сечения”, немецкий перевод которой появился к этому времени, а после этого, зимой 1869—1870 гг., впервые услышал о геометрии Лобачевского от своего друга Штольца. “Из этих кратких све­дений я довольно мало понял, но тотчас же у меня возникла идея, что тут существует некоторая зависимость. В феврале 1870 г. я читал доклад в семинаре Вейерштрасса о мероопределении Кэли и закончил его вопросом, не существует ли совпадения между идеями Кэли и Лобачевского. Я полу­чил ответ, что это — две далеко отстоящие по идее системы” . Клейвг пишет, что сначала позволил переубедить себя и вернулся к этим идеям только летом 1871 г. в спорах с тем же Штольцем. В результате Клейн в том же году опубликовал статью “О так называемой неевклидовой гео­метрии”, где показал, что в случае, когда “абсолют” Кэли — действитель­ная коника, часть проективной плоскости, находящаяся внутри этой коники, изометрична плоскости Лобачевского. Эта работа вызвала возра­жения с многих сторон и, в частности, обвинения в порочном круге, пос­кольку проективную геометрию обычно излагали на основе евклидовой. Однако к этому времени появилась теория Штаудта, с помощью которой проективной геометрии можно было дать обоснование, независимое от евкли­довой. Этой проблеме Клейн посвятил вторую часть указанной статьи (1872).

12.Эллиптическая геометрия.

Мы уже упоминали, что эллиптическая геометрия была определена в “Шестом мемуаре о формах” Кэли (1859). Трехмерная эллиптическая геометрия была определена Клейном в статье “О так называемой неевклидовой геометрии” (1871), он же предложил термин “эллиптическая геометрия” наряду с иногда при­меняемым для геометрии Лобачевского термином “гиперболическая гео­метрия”.

Важнейшие факты геометрии эллиптического пространства были от­крыты упоминавшимся нами (см. Кн. 1, с. 75—76) в связи с его работами по алгебре Уильямом Кингдоном Клиффордом (1845—1879), о котором Клейн писал: “Я вспоминаю о нем с особой радостью, как о человеке, кото­рый сразу до конца понял меня, а вскоре и продолжил мои исследования”. В своем “Предварительном очерке бикватернионов” (Preliminary sketch of biquaternions.— Proc. Math. Soc. London, 1873) Клиффорд прежде всего определил полюсы и полярные плоскости относительно абсолюта, а также прямые, взаимно полярные относительно абсолюта, отметив, что две точки, полярно сопряженные относительно абсолюта, “отстоят друг от друга на квадрант” (т. е. на (л/2)г или при г = 1 на л/2). Для каждых двух прямых имеются два общих перпендикуляра, на которых осуществля­ются наименьшее и наибольшее расстояния между этими прямыми, и выделяет случай, когда можно провести бесконечно много общих пер­пендикуляров равной длины. В последнем случае две данные прямые и их поляры являются прямолинейными образующими одной квадрики, и Клиффорд называет такие прямые параллельными. Далее доказывается, что “ряд параллельных линий, пересекающих данную линию, образует построенную по некоторому закону поверхность с кривизной, равной нулю.

Геометрия этой поверхности та же, что у конечного параллелограмма, противоположные стороны которого рассматриваются как тождественные”. “Параллели” Клиффорда в настоящее время называются паратактичными прямыми; в отличие от параллелей евклидовой (“параболической”) геомет­рии и геометрии Лобачевского, пересекающихся в точке бесконечно уда­ленной плоскости или в точке “абсолюта”, паратактичные прямые — скре­щивающиеся прямые, однако так же, как евклидовы параллели, паратак­тичные прямые — равноотстоящие прямые. Поверхность, построенную Клиффордом, можно определить как геометрическое место точек, рав­ноотстоящих от прямой и от ее поляры, эта поверхность — линейчатая квадрика, получающаяся при вращении одной из двух паратактичных прямых вокруг другой, ее прямолинейные образующие обоих семейств паратактичны ее осям. Эта поверхность, изометричная ромбу евклидовой плоскости с отождествленными противоположными сторонами, представ­ляет простейший пример пространства с евклидовой геометрией, обладаю­щей конечным объемом; это и вместе с тем самый простой пример решения так называемой задачи Клиффорда — Клейна о нахождении пространств с евклидовой метрикой, неизометричных евклидову пространству в целом.

Реферат

по истории математики

по теме

“Неевклидовы геометрии”

Гришин Сергей

План.

1.”Начала” Евклида.

2. Пятый постулат и попытки его доказательства.

3. Николай Иванович Лобачевский и открытие неевклидовой геометрии.

4. Исследования Гаусса по неевклидовой геометрии.

5. Янош Бояи.

6. Геометрия Лобачевского.

7.Непротиворечивость геометрии Лобачевского.

8.Распространение идей геометрии Лобачевского.

9. Интерпретация Бельтрами.

10.Интерпретация Кэли.

11. Интерпретация Клейна.

12.Эллиптическая геометрия.

Список литературы.

1. Александров П. “ Что такое неевклидова геометрия” М, Учпедгиз, 1950

2. Комацу М. “Многообразие геометрий” М, “Знание”, 1981

3. Делоне Б. “Элементарное доказавтельство непротиворечивости геометрии Лобачевского” Гостехиздат, М, 1956

4. Розенфельд Б. “История неевклидовой геометрии” М, “Наука”, 1969

5. “Математика 19 века” под. ред. Колмогорова М, “Наука”, 1981

6. Розенфельд Б. “Неевклидовы геометрии” М, Гостехиздат, 1955



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Евклид древнегреческий математик (365-300 до н э )

    Документ
    ... тел, восходящие к Теэтету. «Начала»Евклида представляют собой изложение той геометрии ... , но и для университетов. «Начала»Евклида были основательно изучены арабами, а ... пунктом этой работы послужили «Начала»Евклида. Знание основ евклидовой геометрии ...
  2.     ЕВКЛИД (ЭВКЛИД) Платона .    Научная деятельность Евклида протекал

    Книга
    ... -Варден считает, что "Начала"Евклида являются обработкой сочинений греческих математиков ... числа простых чисел. Историческое значение "Начал"Евклида заключается в том, что в ... большим и длительным успехом, как "Начала"Евклида. С 1482 она выдержала более ...
  3. Евклид

    Документ
    ... тел, восходящие к Теэтету. "Начала"Евклида представляют собой изложение той геометрии ... , но и для университетов. "Начала"Евклида были основательно изучены арабами, а ... пунктом этой работы послужили "Начала"Евклида. Знание основ евклидовой геометрии ...
  4. Евклид - древнегреческий математик (III века до н

    Документ
    ... около 2200 лет Главный труд Евклида - "Начала" (по-другому "Элементы"). Все ... частей и не имеет величины". "Начала"Евклида, законченные около 325 года до ... и теории иррациональности. Личный вклад Евклида в "Начала", по-видимому, состоял главным образом ...
  5. Дело в том, что в некоторых списках "Начал" Евклида эта теорема называлась "теоремой

    Документ
    ... в том, что в некоторых списках "Начал"Евклида эта теорема называлась "теоремой нимфы" ... около двух веков. С самого начала в пифагоризме сформировались два различных направления ... чисел, то есть было положено начало теории чисел. Однако здесь, ...

Другие похожие документы..