Главная > Книга


МАТЕМАТИКА

И ОПЫТ

 

 

 

Под редакцией А. Г.Барабашева

 

Издательство

Московского университета

2003

УДК 1:001

ББК 87.3

         М 33

 

Издание осуществлено при финансовой поддержке

Российского гуманитарного научного фонда

Проект № 02-03-16106

 

Редакционная   коллегия:

 А.Г. Барабашев (гл. редактор), С.М. Бычков (зам. гл. редактора),

 В.А. Бажанов, С.С.Демидов, А.Н. Кричевец, В.Я. Перминов.

 

 

 

ISBN 5—2211—04739—7 Математика и опыт  /Под ред. А.Г. Барабашева. — М.: Изд-во МГУ, 2003. — 624 с.

 

 

В работе предпринята попытка масштабного сравнения различных под­ходов к соотношению математики и опыта, сложившихся главным образом в рамках априоризма и эмпиризма. Сравнение проведено как в чисто теоретическом ракурсе, так и посредством рассмотрения различных истори­ческих и философских ситуаций. Исследуются возможные альтернативные подходы, выходящие за пределы дилеммы «априоризм—эмпиризм» в ис­толковании отношения математики к опыту и опытному знанию.

Книга представляет интерес для математиков, философов, специалис­тов и преподавателей по истории и философии науки, студентов и аспи­рантов математических и естественно-научных специальностей.

 

The attempt of full scale approach to the problem of relation of mathematics and experience is represented in this book mainly in the frame of two general positions, apriorism and empiricism. The comparison of positions of mathematical apriorism and mathematical empiricism here realized as in theoretical form, as in the form of the investigation of different historical and philosophical situations. In the final part of the monograph possible non-aprioristic and non-empiristic alter­native approaches to the problem of relations of mathematics and experience are searched.

The book could be useful for mathematicians, philosophers, for specialists in the history and philosophy of science. Students and graduate students in mathe­matical and natural science specialities could use it in the process of preparation for exams in the field of philosophy of mathematics educational programs and courses.

 

УДК 1:001

ББК 87.3

                                                                       © Коллектив авторов, 2003

 © Издательство Московского университета, 2003

СОДЕРЖАНИЕ

 

Предисловие....................................................................................………………………………    3

 

Вместо введения

 

Демидов С.С. Математика в опыте историко-математических исследований последних десятилетий..........................................................................…………………………………….     6

Комментарии А.А. Григоряна, ЕА. Зайцева. Ответ автора..........................……………………………       13

                                                               

Раздел IПО СЛЕДАМ КАНТА

 

Барабашев А.Г. Регресс математического априоризма.................................... ………………………….      17

Комментарии В.А. Бажанова, Г.Б. Гутнера, С.С.Демидова. С.Л. Катречко, А,Н. Кричевца,

А.Ф. Кудрящева, В.Я. Перминова. Ответ автора................………………………………………………       40

 

Перминов В.Я. Праксеологический априоризм и стратегия обоснования математики...........................       56

Комментарии В.А. Бажанова, А.Г. Барабашева, А.А. Григоряна, Г.Б. Гутне­ра. А.Н. Кричевца.

 Ответ автора....................................................................……………………………………………………       83

 

Бажанов В.А. Умеренный априоризм и эмпиризм в эвристическом аспекте. Исторический

контекст.............................................................................……………………………………………………       95

Комментарии А.Г. Барабашева, С.Н. Бычкова. С.С. Демидова, А.Н. Кричевца.

Ответ автора.........................................................................................……………………………………….     101

 

Губин В.Д. Об отношении математики к реальности.....................................……………………………..      106

Комментарий В.Я. Перминова. Ответ автора...............................................……………………………..      121

 

Петросян В.К. Математика как техническая наука: воспоминание о будущем........................................     126

Комментарии С.Н. Бычкова, В.Я. Перминова. Ответ автора.......................……………………………..      137

 

Кричевец А.Н. Трансцендентальный субъект и многообразие познавательных установок..........................  154

Комментарии А.Г. Барабашева. Г.Б. Гутнера, В.Я. Перминова. Ответ автора .............................................. 167

 

Самохвалов К.Ф. «Новый подход» Ершова и «трансцендентальный метод» Канта..............………………..174

Комментарии А.Н. Кричевца, В.Я. Перминова, В.А. Янкова. Ответ автора............................................……200

 

Добронравов С.В. Проблема априоризма в русской философии математики   начала XX в.......................... 205

Комментарий А.В. Михайловского. Ответ автора.........................................………………………………      217

 

Михайловский А.В. «Новое априори» Гуго Динглера....................................………………………………      218

Комментарии А.А. Веретенникова, МБ. Гиленке, Г.Б. Гутнера. Ответ ав­тора ...............................……….. 226

 

 

Раздел IIСИТУАТИВНЫЙ АНАЛИЗ

 

Зайцев Е.А. Математика и римское землемерие...........................................………………………………..     234

Комментарии А.И. Володарского, А.А. Григоряна. С.С. Демидова, А.Н. Кричевца. Ответ автора..........   252

 

Суханов А.Д. Роль вероятностных представ,тсний в современной физике ...…………………………….     259

Комментарии В.Б. Губина, С.С. Петровой. Ответ автора.............................………………………………    271

 

Янков В.А. Опыт и онтология математических объектов.............................………………………………     276

Комментарии Е.А. Зайцева, А.В. Родина. Ответ автора................................……………………………..     282

 

Крушинский АЛ. Гексаграммы и обобщение.................................................…………………..    288

Комментарии А.Н. Кричевца, В.А.Янкова. Ответ автора............................…………………      459

 

Коганов А.В. Эмпирико-эталонные основы математических теорий..........………………….     317

Комментарий А.Н. Кричевца. Ответ автора...................................................…………………     340

 

Кудряшев А.Ф. Парадигмы математики..........................................................………………….     343

Комментарии С.Н. Бычкова. Ответ автора..........................,.........................………………….     352

 

Бычков С.Н. Метаматематика и опыт............................................................…………………..     354

Комментарии В.А. Бажанова, Д.И. Виннера, С.Л. Катречко, А.В. Коганова,

В.К. Петросяна, Л.О. Шашкина, В.А.Янкова. Ответ автора.......................……………………   366

 

Григорян А.А. Алгоритмическая теория вероятностей: здравый смысл и проблема

обоснования применимости теоретико-мерной теории к реаль­ным случайным событиям....... 395

Комментарии А.И. Белоусова, С.Н. Бычкова, В.Я. Перминова. Ответ ав­тора ...............……… 416

 

Зенкин А.А. Априорные логические суждения с нулевой онтологией ........………………….     423

 

Раздел IIIВ ПОИСКАХ НОВЫХ ПОДХОДОВ

 

Гутнер Г.Б. Форма и содержание опыта........................................................………………….     435

Комментарии А.Н. Кричевца, В.Я. Перминова, А.В. Родина. Ответ автора .……………….     459

 

Белоусов А.И. Гегелевская конструкция противоречия в контексте проблемы

«Математика и опыт» ...............................………………………………………………………… 467

Комментарий С.Н. Бычкова. Ответ автора....................................................………………….     499

 

Родин А.В. Идея внутренней геометрии .......................................................……………………     502

Комментарии А.А. Веретенникова, Г.Б. Гутнера, Л.О. Шашкина, В.А. Янкова.

Ответ автора...........................................................................................………………………….     532

 

Катречко С.Л. К вопросу об «априорности» математического знания.......…………………     545

Комментарии А.И. Белоусова, А.Ф. Кудряшева, П.С. Куслия. Ответ автора....…………………. 574

 

Веденова Е.Г. Непрерывность, дискретность и противоречие в контексте

становления теоретического знания..............................................................……………………    592

Комментарий С.Л. Катречко. Ответ автора...................................................………………….     605

Гиленко М.В. Двумерная схема языка математики и место априоризма в ней...………………. 610

Комментарии А.Г. Барабашева, Л.О. Шашкина. Ответ автора....................…………………     619

 

Предисловие

 

Проблема соотношения математики и опыта является одной из наиболее давних и разработанных проблем философии матема­тики. Более того, на заре существования математики и задолго до возникновения философии математики как самостоятельной обла­сти исследований пифагорейцы уже предложили первое решение этой проблемы, положив число началом всего сущего.

Историческая эволюция математики, равно как и эволюция попыток ее философского обоснования, сопровождались увеличе­нием разнообразия предлагаемых решений проблемы соотноше­ния математики и опыта, а также усложнением этих решений. По­степенно выявилась и структура таких решений, или же, вернее сказать, подходов к решению проблемы. Во-первых, стало ясно, что речь должна идти об исследовании соотношения математичес­ких суждений и суждений, полученных в процессе опыта. Во-вто­рых, постепенно возрастало структурирование самого понятия опы­та, и в этом понятии стали выделять повседневный опыт и опыт в виде экспериментального, естественно-научного изучения явлений. В-третьих, оказалось, что возможны раздельно сравнительный ана­лиз формы построения опытных суждений и формы построения математических суждений и сравнительный анализ истинности математических и опытных суждений. В-четвертых, и это стало основным продвижением в исследовании проблемы соотношения математики и опыта, постепенно сложились два как бы конкури­рующих подхода к решению проблемы — математический априо­ризм и математический эмпиризм.

Имеющиеся априористские и эмпиристские работы обычно автономно представляют свой круг идей и не коррелируют друг с другом, зачастую содержатся в сборниках, посвященных иным про­блемам философии математики (проблеме существования револю­ций в математике, проблеме содержания социокультурной филосо­фии математики, проблеме физикализма, проблеме соотношения чистой и прикладной математики и т.д.), и в лучшем случае фраг­ментарно спорят с некоторой «избранной» позицией из спектра противостоящих, не осознавая своего места в ряду сходных кон­цепций. Наконец, среди исследователей нет единства относитель­но самих формулировок этих двух подходов. Таким образом, при всей важности проблемы соотношения математики и опыта и при всем богатстве и значимости уже разработанных подходов в совре­менной философии математики сложилась парадоксальная ситуация отсутствия рефлексивного (целостного) осознания соотношения ма­тематического априоризма и математического эмпиризма.

3

Такая рефлексия, детальный и многоаспектный анализ соот­ношении математического априоризма и математического эмпиризма как подходов, предлагающих различные и даже в чем-то противоположные решения проблемы соотношения математических и опитых суждений, не может быть осуществлена одним автором, oбязательно находящимся «в плену» своей индивидуальной теоретической схемы. Мелодия соотношения математического априо­ризма и математического эмпиризма может быть исполнена только пи много голосов, звучащих синхронно, но ведущих каждый свою «партию». Именно поэтому было решено посвятить очередной (уже третий) коллективный сборник работ российских авторов, специа­лизирующихся в области философии и истории математики, столь и шестой, хотя и фрагментарно обсуждаемой проблеме. Как и две предыдущие монографии данной серии («Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты». М., 1997; «Стили в математике: социокультурная философия математики». СПб.. 1999), настоящая книга является целостным коллективным произведенн­ом, обладающим особой формой построения и изложения материа­ла, включающего полемику авторов между собой, обнаружение как неустранимых разногласий, так и моментов общности отстаиваемых позиций.

Настоящая книга претендует на то, чтобы стать существенным акладом отечественного сообщества философов математики в рассмотрении проблемы соотношения математики и опыта. Этот вклад, как мне представляется, состоит из двух частей. По содержанию книги видно стремление коллектива авторов эксплицировать про­блему соотношения математики и опыта как проблему взаимосвя­зи математического априоризма и математического эмпиризма. Тнкое уточнение сразу же переводит проблему в техническую плос­кость и дает возможность оценивать выдвигаемые позиции как сами ни себе (в контексте априоризма и эмпиризма), так и сравнивать их друг с другом. Но, пожалуй, главным вкладом можно считать форму обсуждения, уникальный механизм совместной организа­ции представляемых материалов. Стиль сборника, при котором коллектив авторов как целое участвует в обсуждении всех разнооб­разных идей соотношения математики и опыта — от анализа ис­ходных понятий и до рассмотрения различных исторических ситуа­ций (кейсов), дает искомую полифонию взглядов, то несогласное согласие, которое наиболее полно передает действительное соот­ношение математического априоризма и математического эмпи­ризма в их эволюции.

Представляемая читателю книга стала результатом многочис­ленных докладов и обсуждений на национальном семинаре по философии математики, регулярно проводимом в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова. Концепция книги, ее содержание, структура и способ построения были опре­делены на ежегодных сентябрьских конференциях по философии математики (2001 и 2002 гг.), традиционно проходящих в Краснови-дово Можайского р-на Московской обл. Перед второй из указанных конференций все предлагаемые доклады были помещены на сайт конференции, что, безусловно, способствовало эффективности об­суждения и подготовке окончательного коллективного текста книги. Мне как редактору этой коллективной монографии хотелось бы выразить признательность всем авторам и членам нашего спо­рящего, но дружного сообщества философов и историков матема­тики за терпение и энтузиазм в обсуждении и подготовке оконча­тельной редакции книги. История нашей совместной многолетней работы свидетельствует, что достижения коллектива как по глу­бине, так и по охвату темы могут и должны превзойти достиже­ния любого отдельного исследователя — конечно, при условии нахождения должных, способствующих творческому сомыслию организационных форм и при доброжелательности авторов друг к другу несмотря на все разногласия в их взглядах. Я полагаю, что особая благодарность от всего авторского коллектива должна быть адресована трудолюбивым и настойчивым членам редколле­гии — С.Н. Бычкову, вложившему много сил и времени на до­работку и редактирование текста книги, А.Н. Кричевцу, контро­лировавшему поступление и размещение файлов статей, а также получение рецензий и их обработку, С. С. Демидову и В.А. Бажанову, поддерживавшим подготовку рукописи, ее совершенствова­ние и прохождение через разные инстанции на всех этапах работы редколлегии, а также В. Я. Перминову, последовательно и убеди­тельно вдохновлявшему все наше сообщество на разработку дан­ной темы, глубокой и философски значимой проблемы соотно­шения математики и опыта.

А Г Барабашев

 

Вместо введения

 

С. С. Демидов

 

МАТЕМАТИКА В ОПЫТЕ

ИСТОРИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ

ИССЛЕДОВАНИЙ ПОСЛЕДНИХ

ДЕСЯТИЛЕТИЙ

 

Чтобы попытаться оценить изменения, произошедшие за тридцать последних лет в тематике и характере историко-математических исследований, я предлагаю сравнить некоторые цифры, отражаю­щие активность историко-математической деятельности междуна­родных конгрессов по истории науки, прошедших за это время.

Как некоторые, наверное, еше помнят, 30 лет назад такой кон­гресс, по счету тринадцатый, прошел в нашей стране — с 18 по 24 августа 1971 г. в Москве в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова на Ленинских (ныне Воробьевых) горах. Истории математики были посвящены: специальная секция, которая провела 6 заседаний, где было заявлено 59 докладов1, сим­позиумы «Пути развития функционального анализа» (1 заседание, 7 докладов) и «Античность и современность» (1 заседание, 6 докла­дов), значительная часть симпозиума «Средневековая наука: взаи­моотношения Востока и Запада». (I заседание, 5 математических из

8  заявленных в программе), специальное межсекционное заседа­ние, посвященное 150-летию со дня рождения П.Л. Чебышева (1 заседание, 3 доклада). Доклады по истории математики звучали также на секциях «История античной науки и техники» (4 из общего числа 16) и «История средневековой науки и техники» (18 из общего числа 46). Один математический доклад (из 22 заявленных в про­грамме) прозвучал также на проходившем 26—28 августа в Ленингра­де Кеплеровском симпозиуме — спутнике Московского конгресса.

Можно сказать, что основная работа конгресса протекала на секциях. Таковых, соответствующих по преимуществу основным наукам и отраслям техники — математике, механике, физике, аст­рономии, химии, наукам о Земле, биологии, медицине, наукам о человеке, технике, авиационной, ракетной и космической науке и технике, — было 122. Работа секций и симпозиумов (их было 14, они были посвящены узловым вопросам истории науки — напри­мер, «Личность ученого в истории науки», «Эволюционная теория и генетика» или «Использование новой техники в развивающихся странах (конец XVIII — XX в.)» — или знаменательным для истории науки датам, например, 100-летию Э. Резерфорда или 150-летию П.Л. Чебышева) была организована таким образом, что любой ис­торик математики, например, мог посетить большинство интере­сующих его мероприятий по своей специальности. Центром же историко-математических событий оставалась секция истории ма­тематики — здесь было заявлено 59 из 103 (т.е. 57,3%) заявленных докладов по истории математики.

Для сравнения приведем данные по последнему, XXI конгрес­су, прошедшему 8—14 июля 2001 г. в Мехико. Разумеется, работала секция истории математики, которая провела всего 1 заседание, на котором было представлено 6 докладов. И это вовсе не означает, что на мексиканском конгрессе были слабо представлены история математики или историки математики. Они были одними из самых активных на конгрессе. Заседание Международной комиссии по истории математики, на котором состоялось ставшее уже традици­онным награждение новых лауреатов премии К. Мэя, вручаемой за достижения в области истории математики, собрало значительное количество участников. Медаль А. Койре Международной академии истории науки была на этот раз присуждена историкам математики — российскому ученому И.Г. Башмаковой и представителю Франции К. Узелю. Конечно, доклады по истории математики делались и в рамках других секций и, что особо важно подчеркнуть, на многочис­ленных симпозиумах. Два из них были организованы непосредствен­но Международной комиссией по истории математики. Это — «Ис­тория математики в латиноамериканских странах» (на него было заявлено 8 докладов) и «История взаимоотношений французских и немецких математиков в XVIII—XX вв.» (соответственно 5 докла­дов). Кроме этого, историко-математические доклады были включе­ны в программы симпозиумов — «Астрономическое наследие неев­ропейских культурных ареалов» (1 доклад из 19), «Миссионерская активность и распространение европейских наук в Америке и Азии: деятельность иезуитов в XVI—XVIII вв.» (3 доклада из 11), «Замед­ленное научно-техническое развитие — возможности усиления миссии преподавания» (2 доклада из 9), «От универсализма люби­теля к институализированному профессионализму: становление профессии ученого (XVIII—XIX вв.)» (2 доклада из 11), «Этнонаука и этноматематика: эволюция стилей мышления в последние 500 лет» (4 доклада из 9), «Трансмиссия научных культур и формирование научных языков» (6 докладов из 8), «Изменения в интерпретациях и концептуальном содержании» (2 доклада из 22), «Культурное и научное значение памятников науки и техники, находящихся в исторически значимых городах» (1 доклад из 11), «Типологические параллели в доклассических науках» (2 доклада из 13), «Наука и техника в Древней Мексике» (1 доклад из 11), а также в специальное заседание Международной ассоциации — «Наука и культурное раз­нообразие» (1 доклад из 6). Некоторые из этих симпозиумов были организованы историками математики — (У.Д. Амброзио, А.К. Вол­ковым, С.С. Демидовым, Э. Кноблохом, Р. Рашедом, Я. Фолтой).

Как всегда, доклады по истории математики в древности и в Средние века проходили на соответствующих секциях: на секции «Классическая и восточная древность» было заявлено 8 докладов (из общего числа 12 секционных докладов), на секции «Средние века и Ренессанс» 2 доклада (из 7). Доклады по истории математи­ки звучали также на секциях «Международные научные обмены» (2 из 8), «Эволюция преподавания и популяризации» (1 из 12), «Искусство и наука» (1 из 8), «Наука и общество» (2 из 29), «Наука и культура» (1 из 25) — всего в программе конференции числился 61 доклад. (Общее число докладов меньшее, чем на московском. Напомним, что тогда их было 103, однако не надо забывать, что московский конгресс был рекордным по числу участников — он был одним из первых после падения «железного занавеса», мекси­канский же конгресс отпугнул многих потенциальных его участни­ков из Европы дороговизной авиабилетов.)

Как видно, секция уже перестала быть средоточием деятельно­сти историков математики (на нее приходится менее 10% от числа всех историко-математических докладов, заявленных в программе, в то время как для московского эта цифра поднимается почти до 60%). Поэтому если на московском конгрессе участник (по край­ней мере тот, кто к этому стремился) мог составить себе представ­ление о новых результатах, доложенных на конгрессе, которые по ^большей части сообщались на секциях (любые симпозиумы и ме­мориальные заседания предполагают приглашение докладчиков по заранее согласованной теме, а вовсе не изложение новых результатов), то мексиканский конгресс такую возможность исключал самой своей организацией. Хочу обратить внимание и на чрезвычайное расширение тематики секций, число которых более чем удвоилось — 29 против прежних 12.

Если раньше, как мы уже говорили, большую часть секций составляли секции по истории тех или иных конкретных наук или областей техники, то теперь к ним добавились и составили при этом большинство секции, посвященные важным проблемам исто­рии науки и техники в их взаимосвязи с обществом, его культурой, экономикой и идеологией. Если к этому добавить симпозиумы, на которых и протекает ныне основная жизнь конгрессов (объединя­ющими началами все в большей степени становятся пленарные заседания и заседания комиссий), их число 62 (23 из них организо-

ваны различными комиссиями союза, 35 — отдельными учеными и 4 — так называемые специальные сессии) против 14 московских, то можно сделать вывод о произошедшем за эти 30 лет кардинальном изменении тематики и характера историко-научных исследований.

Изменение это произошло не внезапно, однако его смысл и направленность начинают проясняться только сейчас. Я буду гово­рить об истории математики, так как лучше представляю себе со­бытия именно в этой области, но полагаю, что и в других разделах истории науки события проистекали сходным образом (хотя и с разной интенсивностью). Среди участников московского конгресса был Кеннет Мэй. профессор из Торонто (Канада), которого мой учитель Адольф Павлович Юшкевич — один из крупнейших исто­риков науки XX в. и один из организаторов московского конгрес­са — не знал как ученого. Результаты Мэя по историографии истории математики не представлялись ему особо интересными. А.П. Юшкевич рассматривал его прежде всего как общественного деятеля, занятого полезным делом — хлопотами об организации в рамках Союза истории и философии науки специальной комиссии по истории математики3. Такую комиссию во время московского конгресса К. Мэй организовал4, а в 1974 г. основал и журнат комиссии «Historia Mathematica», который сегодня стал одним из са­мых распространенных и влиятельных историко-научных журналов в мире. Одним из результатов деятельности комиссии, которая впоследствии стала регулярно собираться в Математическом ин­ституте в Обервольфахе, стало резкое усиление активности истори­ков математики на конгрессах. Комиссия стала организовывать в их рамках симпозиумы. Одним из первых таких симпозиумов стал симпозиум «Историография и история математики» на проходив­шем в 1989 г. в Гамбурге XVIII конгрессе, организаторами которого выступили известный мюнхенский историк математики М.Фоль-ертс и автор этих строк.

Естественно задаться вопросом: каковы причины, побуждаю­щие ученого возлагать на себя довольно обременительные обязан­ности по организации таких предприятий? Попробую ответить на него, опираясь на собственный опыт5. Как тогдашний вице-прези­дент комиссии по истории математики (речь идет о времени, пред­шествующем конгрессу 1989 г.) я был заинтересован в активизации ее работы. Тема — историография истории математики — казалась мне в высшей степени актуальной6. Это причины объективные. К тому же была причина этой активности, носившая субъективный характер: организуя симпозиум, я увеличивал свои шансы на учас­тие в конгрессе, В это время еще существовал Советский Союз, и этот симпозиум значительно увеличивал вероятность включения моей кандидатуры в состав советской делегации. Подобного рода



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Математики о математике и не только

    Документ
    ... компонент культуры. И.Гельфанд Математика - это марафон. А.Гельфонд, математикМатематика в изречениях Математику можно определить как ... путём подражания или упражнения. ( Д. Пойа) Математика и опыт – вот подлинные основания достоверного, естественного ...
  2. И к кондаурова с в лебедева научно-исследовательская деятельность будущего учителя математики творческие задания по элементарной математике и методике её преподавания

    Учебно-методическое пособие
    ... . – 78 с. Улин, Б. Цели и методы обучения математике. Опыт вальдорфской школы / Б. Улин. – М.: Народное образование ... технологии как технологии эффективного обучения математике. Социокультурный опыт – источник развития математических способностей ...
  3. И к кондаурова с в лебедева научно-исследовательская деятельность будущего учителя математики творческие задания по элементарной математике и методике её преподавания

    Учебно-методическое пособие
    ... . – 78 с. Улин, Б. Цели и методы обучения математике. Опыт вальдорфской школы / Б. Улин. – М.: Народное образование ... технологии как технологии эффективного обучения математике. Социокультурный опыт – источник развития математических способностей ...
  4. Опыт «развитие познавательной и творческой активности учащихся на уроках математики посредством использования современных образовательных технологий»

    Урок
    ... Праздникова Г.З.. «Педагогический опыт: проблемы изучения и обобщения». ТОИПКРО 2004г. Журналы « Математика в школе». Еженедельное ... , творческий материал. Данный опыт могут использовать в работе преподаватели математики учреждений СПО, учителя ...
  5. Опыт «развитие познавательной и творческой активности учащихся на уроках математики посредством использования современных образовательных технологий»

    Документ
    ... Праздникова Г.З.. «Педагогический опыт: проблемы изучения и обобщения». ТОИПКРО 2004г. Журналы « Математика в школе». Еженедельное ... , творческий материал. Данный опыт могут использовать в работе преподаватели математики учреждений СПО, учителя ...

Другие похожие документы..