textarchive.ru

Главная > Документ


40. УравнениЯ движениЯ Лагранжа

1. Основная задача механики неголономные систем материальных точек МТi, движущихся вдоль идеальных и неинтегрируемых кинематических связей есть определение закона движения как последовательности действительных перемещений , выраженных через независимые перемещения вдоль независимых обобщенных координат, решением уравнений Лагранжа I-го рода, которые равнозначны общему уравнению динамики

.

Это уравнение выражается через независимые перемещения вдоль обобщенных координат (вдоль степеней свободы преобразованием)

,

.

Подстановка этих преобразований преобразует общее уравнение динамики

,

,

,

.

Общее уравнение динамики неголономных систем в независимых координатах

.

В нем обобщенные силы инерции Даламбера

,

выражаются как скорости передачи кинетической энергии системе от источников сил.

Общее уравнение динамики после подстановки приобретает вид

,

в котором левая часть есть сила инерции, а в правой части

выделяется потенциальная сила и составляющие непотенциальных сил, подобные силам инерции, т.е. зависящие от скоростей материальных точек, подобно силам электромагнитной индукции и самоиндукции

,

,

которые выражаются в свою очередь через кинетический (скоростной) потенциал подобно выражению сил инерции через скорости так же, как потенциальные силы – через потенциальную энергию и обобщенные координаты

, т.к. .

Присоединение этих сил к силам левой части общего уравнения динамики, выраженном через полные производные по времени, выражает его

через Лагранжиан (функцию Лагранжа) – величину, равную сумме кинетической энергии силовой функции и скоростного потенциала

Обобщенные силы выражаются как градиенты лагранжиана в пространстве измерений обобщенных координат и скоростей .

Уравнения движения равнозначные общему уравнению динамики совместно с уравнениями неинтегрируемых связей

в независимых обобщенных координатах выражается как

уравнения движения Лагранжа II-го рода ()

,

.

41. Функции Лагранжа и РэлеЯ,

гироскопиЧеские силы

1. Основная задача механики – определение закона движения по закону обобщенных сил решением уравнения движения Лагранжа (УДЛ)

решается путем изучения свойств лагранжиана

и уравнений неинтегрируемых связей

.

В лагранжиане кинетическая энергия

складывается из квадратичной и линейной форм по и формы, не зависящей явно от . Квадратичная часть

выражается через массовый (инерционный) коэффициент . Линейное слагаемое

и слагаемое нулевого порядка

содержит и отличны от нуля только при движении вдоль не стационарных связей и могут называться энергией переносного движения вместе со связями

обращаются в нуль, когда система S имеет s корней, т.е. разрешима

.

Условие разрешимости этой системы – от нуля ее определителя

.

Тогда единственным решением этой системы является все одновременно!

Кинетическая энергия системы, движущейся по стационарным связям

обращается в нуль, только если все обобщенные скорости одновременно обращаются в нуль.

2. Обобщенно-потенциальные силы выражаются через лагранжиан

и не могут зависеть сами от себя, т.е. от ускорений , так что обобщенный потенциал, содержащий квадратичную форму по

приводит к силам, зависящим от ускорений, т.е. от самих себя, что противоречит принципу причинности.

Обобщенно-потенциальная энергияV – линейная форма от скоростей

.

Обобщенная сила

.

содержит обобщенно-потенциальные составляющие

.

Последнее слагаемое в обобщенной силе , так, что обобщенно потенциальная сила

,

,

Содержит ротор от векторного потенциала

вихревого силового поля.

Рис. . Составляющие гироскопической силы

Гироскопические (вихревые) силы

,

работа которых

тождественно равна нулю

В разных системах единиц координаты и скорости выражаются пропорциональными числами:, так что

и для кинетической энергии справедлива теорема Эйлера об однородных функциях

.

3. Диссипативные силы содержат составляющую, пропорциональную скорости

,

,

,

,

.

Система, движущаяся вдоль стационарных связей, , имеет диссипативную функцию – квадратичную .Уравнения движения Лагранжа выражаются через вириал сил умножением почленно на и суммированием по 

.

Вириал от силы инерции () есть слагаемые производной от произедения

.

Подстановка в уравнение движения Лагранжа (УДЛ), приведенное к виду (и суммирование по ) вириала сил, дает

.

При финитном движении координаты и скорости повторяются через период , так что усреднение по периоду

, ,

показывает, что из уравнения движения следует теорема вириала

.

При финитном движении средняя кинетическая энергия голономной системы равна половине среднего вириала сил. При стационарных связях в потенциальных полях

Подстановка этих выражений в УДЛ приводит их к виду

42. интегралы уравнений движениЯ Лагранжа

1. Основная задача механики – отыскание закона движения по законам обобщенных сил , т.е. по известному лагранжиану решением уравнений движения Лагранжа

,

есть решение системы s дифференциальных уравнений 2-го порядка, т.к. L и  - квадратичные формы от скоростей . После дифференцирования по они становятся линейными формами, а дифференцирование по времени t приводит их к уравнениям 2-го порядка. Разрешение закона движения относительно 2s произвольных постоянных дает

первые интегралы уравнений движения Лагранжа – 2s физических величин

- функций обобщенных координат и скоростей, которые в силу свойств уравнений Лагранжа – т.е. Лагранжиана – остаются постоянными во все время движения. Свойства Лагранжиана определяются в частности его полной производной по времени. Для голономных систем:

, ,

Так что

.

В стационарных консервативных системах сохраняется, т.е. является интегралом движения величина H

.

Обобщенная энергия – Гамильтониан – есть первый интеграл движения системы, которая мгновенно, т.е. с момента t, становится стационарной голономной и консервативной. В других системах верен

Закон превращения обобщенной энергии: скорость передачи обобщенной

энергии равна скорости изменения Лагранжиана из мощности непотенциальных сил.

2. Обобщенная энергия

.

Здесь V – линейная форма по и , а выражения

,

.

Гамильтониан H совпадает с полной механической энергией только, если

связи (но не Лагранжиан, не сама система) стационарные. В голономной системе со стационарныи связями

,

,

.

В консервативной голономной системе со стационарными связями гамильтониан является порлной механической энергией, выраженной функцией координат и импульсов и сохраняется (ИД!).

3. Уравнение движения Лагранжа равнозначно полной системе интегралов движения и выражается как основной закон динамики через импульс

.

В изолированной системе, где или в системе, Лагранжиан которой не зависит от координаты

обобщенный импульс, соответетвующий этой координате, сохраняется.

Циклические координаты – от которых Лагранжиан не зависит. Обобщенные импульсы, сопряженные циклическим координатам, сохраняются.

Независимость Лагранжиана от циклической координаты есть его неизменность при ее приращении

,

при .

Теорема Нетер: каждому свойству симметрии голономной консервативной системы соответствует циклическая координата и закон сохранения сопряженного с ней обобщенного импульса.

Циклической координатой является угол поворота твердого тела вокруг некоторой оси,

.

Момент импульса относительно оси угловой симметрии сохраняется!

43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ

и принцип экстремального действиЯ

1. Основная задача механики голономных систем – определение закона движения решением уравнений движения Лагранжа

определяет состояние системы координатами и скоростями, которые не являются мерами количества движения, т.е. интергалами движения, для определенных граничных условий. Интегралами в мгновенно изолированных консервативных системах являются обобщенные импульсы

и обобщенная энергия – гамильтониан H. По закону сохранения и превращения обобщенной энерггии



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Продолжение исследований по сравнению методов и методик интегрирования дифференциальных уравнений движения астероидов на примере реальных и виртуальных объектов постановка задачи

    Задача
    ... вычислений Рунге-Кутта (4) 0.1 1.3e-07 40.0 Адамса (4) 0.5 1.5e-06 2.0 Эрмита ... другими методами. Особенности интегрирования уравненийдвижения астероида при движении в сфере тяготения Земли ... орбиты. Проходя вблизи точки Лагранжа L1 системы Солнце – Земля ...
  2. Уравнение Шредингера Содержание

    Документ
    ... приходим к временному уравнению Шредингера: . (8) Это основное уравнениедвижения квантовой механики. ... формулой , то в силу уравненийЛагранжа, , получаем: . С учетом ... условия (40) выполняются автоматически, и в результате получим уравнение Шредингера ...
  3. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (163)

    Рабочая программа
    ... от равновесных значений. УравнениедвиженияЛагранжа. Собственные одномерные колебания. Характеристическое уравнение. Частота колебаний, ... Гамильтона-Остроградского. 40. Принцип наименьшего действия Мопертюи-Лагранжа для обобщенно-консервативных ...
  4. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (304)

    Рабочая программа
    ... от равновесных значений. УравнениедвиженияЛагранжа. Собственные одномерные колебания. Характеристическое уравнение. Частота колебаний, ... Гамильтона-Остроградского. 40. Принцип наименьшего действия Мопертюи-Лагранжа для обобщенно-консервативных ...
  5. Глава 2 методика анализа механизмов с применением переменных лагранжа

    Документ
    ... ПЕРЕМЕННЫХ ЛАГРАНЖА. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ Движение является следствием различных внешних воздействий (причин изменения движения), уравнениядвижения ... видов энергии dEq . (2.40) Тогда основной закон движения для материальной частицы можно ...

Другие похожие документы..