textarchive.ru

Главная > Закон


Теория вероятности

и математическая статистика

Лекции

Авторский текст:

проф. Семёнычев Валерий Константинович

Самара, 2007 г.

I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ

Моделирование – прогнозирование – принятие решений

Модели

Детерминированные Вероятностные Нечеткой логики

«Случайность» - непознанная закономерность

«Пирог познания»

Более сложная детерминированная модель

Более сложная вероятностная модель

Простая вероятностная модель

Простая детерминированная модель

Теория вероятностей – наука о закономерностях массовых случайных явлений (Лаплас, Пуассон, Гаусс, Бернулли, П.Л.Чебышев, А.М.Ляпунов, А.А.Марков, А.Н.Колмогоров и др.)

Теория вероятностейматематическая статистика

Курсы в ВУЗах, использующие теорию вероятности и матстатистику:

социально - экономическая статистика;

многомерные статистические методы;

эконометрика; эконометрическое моделирование;

методы социально-экономического прогнозирования;

страхование и актуарные расчеты;

теория риска и моделирования рисковых ситуаций;

маркетинг; теория массового обслуживания;

технический и фундаментальный анализ,

теория планирования эксперимента; теория надежности; теория информации (статистическая радиотехника), статистическая физика; выборочный контроль качества и др.

Предмет теории вероятностей явления, события, случайные величины (одномерные, многомерные)

Наблюдаемые явления (результат испытаний)

Достоверные Невозможные Случайные

Условия: t=200 C, P- норм. Условия t=200 C, Испытание -

Р – норм бросание

монеты

Вода в сосуде – жидкаяВода в сосуде – твердая(герб или цифра)

Событиянесовместные, если появление одного из нихисключает появление других событий в одном и том жеиспытании.

События образуют полную группу событий, если в результате испытаний появится хотя бы одно из них.

Испытание. Бросание монеты: – герб, – цифра;

Испытание. Выстрел: - попадание, – промах (противоположное событие). и - образуют полную группу событий при одном выстреле.

Испытание. Покупают 23 лотерейных билета: событие А – выигрыш выпал на первый билет, отсутствие выигрыша на втором; событие B – выигрыш не на первом, а на втором билете; событие С – выигрыш обоих билетов; событие D – выигрыш не выпал ни на один билет.

Данные события образуют полную группу событий, если проверяются два билета. А при проверке трех билетов, что образует полную группу событий?

Испытание - игральная кость: событие A – появление числа 1, событие B 2, событие C 3, D 4, E 5, F 6. События равновероятны? (если…).

Вероятность – мера объективной возможности появления события

Классическое определение вероятности:

,

где – число исходов испытания, которое благоприятствует появлению события , – общее число исходов испытания.

Свойства вероятности:

1. Вероятность достоверного события равна 1:

2. Вероятность невозможного события равна 0:

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1:,

«Судебная машина» Лапласа. Парадокс кавалера де Грие. Аксиоматика Колмогорова.

Теоретико-множественный подход к определению вероятности

- некоторое пространство элементарных событий, в котором с исходами испытаний связывают точки пространства. Каждому ставят в соответствие .

Пример. Для игральной кости: Событие подмножество пространства элементарных событий - появление четного числа (событие):

Недостатки классического определения вероятности

1.Неприменимость при бесконечном числе исходов

Выход находят путем введения геометрической вероятности: как отношение мер длин, площадей. Примеры: рулетка, попадание точки в отрезок длиной на отрезке длиной : .

2. Априори трудно представить результат испытаний в виде совокупности элементарных событий, еще труднее указать основание, позволяющее считать элементарные события равновозможными.

Тогда вводят статистическую (апостериорную) вероятность,

– число исходов, в которых событие появилось, – общее число исходов

Алгебра событий

1.Суммой двух событий и называют событие , состоящее в появлении или , или , или обоих (если они совместны).

Пример. Для двух выстрелов сумма событий: – попадание при первом выстреле, попадание при втором выстреле, – попадание при обоих выстрелах, т.е.

Суммой нескольких событий называют событие, заключающееся в появлении хотя бы одного из них. .

При несовместных событиях:

Диаграммы Эйлера-Венна

Пример. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих, 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара при вынимании из урны одного шара. С появлением цветного шара свяжем или событие - вынимание красного шара, или событие вынимание синего шара.

Сумма вероятностей событий , образующих полную группу, равна 1 (условие полноты группы событий).

2.Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу.

3.Произведением двух событий и называют событие , состоящее в совместном появлении этих событий.

Пример: – деталь годна, – деталь окрашена – деталь годная и окрашенная.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Пример: событие – появление герба при первом броске монеты, - появление герба при втором броске, - появление герба при третьем броске, – появление герба при всех трех бросках.

4.Условной вероятностью (или ) называют вероятность

события , вычисленную в предположении, что событие наступило.

Пример. В урне 3 белых шаров и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая обратно. Найти вероятность появления белого шара, при втором испытании (событие ), если при первом испытании (событие ) был извлечен черный шар. .

События и в этом примере зависимые.

- безусловная вероятность, а - условная вероятность.

5.Формула вероятности произведения двух зависимых событий.

и

  1. Формула вероятности произведения двух независимых событий:

Условие независимости:.

6.Формула вероятности произведения нескольких зависимых событий:

Пример. В урне 5 белых шаров, 4 черных и 3 синих шара. Наудачу извлекают по одному шару, не возвращая обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором – черный (событие В), при третьем–синий (событие С).

Замечания: 1.Порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т.е. безразлично какие события можно считать первыми, вторыми и т.д.

2.Независимость событий взаимна: если не зависит от , то и не зависит от .

7.Формула вероятности произведения нескольких независимых событий:

,

Пример 1.Вероятности появления каждого из трех событий равны: Найти вероятность появления только одного из этих событий.

Пример 2. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий равны: Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий. Событие – попадание первым орудием, – попадание вторым орудием, А3 – попадание третьим орудием. . Прямое событие

Обратное событие (не попал ни разу) определится следующей алгеброй

и вероятностями

Пример 3. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 попал в цель хотя бы один раз. Пусть событие – при – выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы один раз.

Вывод: стрелок должен произвести не менее пяти выстрелов.

Доказательство теоремы о сложении вероятностей совместных событий

- для несовместных событий

- для совместных событий

Доказательство:

Так как события А и В считаются совместными, то событие наступит, если произойдет хотя бы одно из трех следующих несовместных событий:

Тогда (1)

Событие можно определить следующей алгеброй событий и вероятностью , откуда

(2)

Аналогично для события получим

(3)

Подставляя (2) и (3) в (1), будем иметь:

Замечание. Совместные события и могут быть зависимыми или независимыми. Для независимых и совместных событий:

где

Для зависимых и совместных событий:

Пример. Вероятность попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: . Найти вероятность попадания при одном залпе (из двух орудий) хотя бы одним из орудий. Обозначим через – попадание первого орудия, а через – попадание второго орудия.

Отметим, что в данном случае и – независимые события, тогда . Искомая вероятность будет равна

Формула полной вероятности

Пусть событие может наступить при условии появления одного из несовместных событий , называемых гипотезами и образующих полную группу событий. При этом вероятности и будем считать известными.

Тогда справедлива формула полной вероятности

Формула полной вероятности – «удобная схема» (форма) расчета вероятности событий.

Пример 1. Имеются 2 набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь из наудачу взятого набора – стандартна. Обозначим, через событие – извлеченная деталь стандартна. В качестве гипотез удобно принять события - взята деталь из первого набора, - взята деталь из второго набора. Эти события несовместны (берут деталь один раз), образуют полную группу событий (деталь берут) и, в данном случае, равновероятны (набор выбирается наудачу): Выбор того или иного набора – условие. В различных наборах вероятность извлечения стандартной детали различна: Тогда рассмотрим сумму двух событий, каждое из которых, в свою очередь, состоит из произведения, т.е. формулу полной вероятности

Пример 2. В первом наборе 20 деталей и из них 18 - стандартны. Во втором наборе 10 деталей и из них 9 - стандартны. Из второго набора наудачу взята деталь и переложена в первый. Найти вероятность того, что деталь, наудачу извлеченная из первого набора, будет стандартна. Введем обозначения для событий: – из первого набора извлечена стандартная деталь, – из второго набора извлечена стандартная деталь, – из второго набора извлечена нестандартная деталь. Можно ли и - считать гипотезами?

Формула вероятности гипотез

До сих пор рассматривалась - априорная, безусловная вероятность гипотез . Опытные данные (реальные события) могут уточнить априорную характеристику объекта анализа, определить - условную (апостериорную) вероятность гипотезы. По формуле произведения вероятности событий можем записать:

Откуда выразим условную апостериорную (условие - событие произошло) вероятность

Знаменатель раскроем по формуле полной вероятности и получим формулу вероятности гипотез (формулу Байеса, лежащую в основе известного «байесовского подхода» в уточнении гипотез):

. Например,

Пример. Детали, изготовленные цехом, попадают для проверки на стандартность к одному из контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму – 0,4. (Их загрузка или производительность). Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером – 0,94, а вторым – 0,98 (второй имеет лучшую квалификацию). Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что годную деталь проверил первый контролер.

Введем обозначения: – деталь признана стандартной (событие произошло); гипотезы: - деталь проверил первый контролер, – деталь проверил второй контролер: Условные вероятности Сравним априорную и апостериорную вероятности гипотез

Формула Бернулли

Часто практике соответствует схема независимых испытаний Бернулли: проводятся испытания, в которых вероятность появления события («успеха») одна и та же, а исходы независимы друг от друга.

Задача: определить вероятность того, что при испытаниях событие произойдет раз (не произойдет раз). При этом не требуется, чтобы событие повторялось ровно раз в определенной последовательности. Например, при один «успех» может быть реализован следующим образом .

Для общего случая вероятность «успехов» из испытаний равна

где - число сочетаний из по ,

Пример. Вероятность того, что операционные расходы фирмы в течение 1 месяца не превысят установленный бюджет, равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 месяцев операционные расходы в течение 4-х месяцев из них не превысят норму. Замечание. Формула Бернулли требует больших вычислений при больших значениях .

Локальная формула Лапласа

Используется в схеме испытаний Бернулли для более простого асимптотического определения вероятности успехов из – испытаний, если где нормированная и центрированная случайная (стандартная) величина, функция табулирована.

Пример. Найти вероятность того, что событие появится ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность события в каждом испытании равна 0,2.

Интегральная формула Лапласа

Имеем вновь схему испытаний Бернулли, но требуется вычислить вероятность того, что событие появится в испытаниях от до раз (не менее и не более раз). Эта задача распространена в прикладных вопросах теории вероятностей:

где - табулированная функция.

Пример. В страховой компании 10 000 клиентов. Страховой взнос – 2 000 руб. Вероятность страхового случая Страховая выплата – 200 000 руб. Определить размер прибыли стразовой компании с вероятностью

Прибыль млн. руб., где - число страховых случаев. Найдем такое , чтобы. .

Из таблицы найдем при . из таблиц . Окончательно млн. руб.

Случайные одномерные величины

случайные события, случайные величины (с.в.)

значения (в том числе и отрицательные) с.в. на числовой оси.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, априори неизвестное и независящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

С.в. может быть непрерывной (аналоговой) или дискретной (прерывистой).

Пример непрерывной с.в.: расстояние, которое пролетает снаряд из орудия, зависит от большого количества факторов (ветра, t0, угла прицела, изменений количества и состояния пороха и т.д.), точности измерений (шаги, метры, микроны и т.д.). Имеет место и «эллипс» рассеяния (влево-вправо).

Непрерывная с.в. имеет бесконечное число значений и несчетна. Вероятность отдельного конкретного значения случайной величины равна 0 (но это событие возможно). Можно говорить о вероятности диапазона значений непрерывной с.в.

Дискретная с.в. может быть конечной или бесконечной, но она счетна (ей можно поставить в соответствие натуральный ряд чисел).

Примеры дискретной случайной величины:



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Теория вероятности и математическая статистика

    Учебно-тематическое планирование
    Теориявероятности и математическаястатистика. Пояснительная записка Вопрос о введении основ статистики и вероятности в содержание школьного математического образования ... Дата 1 Случайные события и вероятность 2 часа Лекция, семинар. 2.09.08 9. ...
  2. Теория вероятностей и математическая статистика

    Литература
    Лекций: 34 Практических: 34 Лабораторных: 0 WTS.6 Теориявероятностей и математическаястатистика ECTS: 4 Лектор Доктор физико-математических наук, профессор ...
  3. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА (1)

    Задача
    ... Декан факультета С.П. Сущенко « » 2010 г. ТЕОРИЯВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯСТАТИСТИКА (ЕН.Ф.1.11) РАБОЧАЯ ПРОГРАММА трудоемкость ... . -М:ИНФРА-М,Финансы и статистика,1995. Терпугов А.Ф. Математическаястатистика (конспект лекций). -Томск:Изд-во ...
  4. Правительство российской федерации " высшая школа экономики" программа дисциплины теория вероятностей и математическая статистика

    Программа дисциплины
    ... . Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теориявероятностей. Математическаястатистика: Учебное пособие. М.: Гардарика, 1998. Ватутин В.А. и др. Теориявероятностей и математическаястатистика в задачах. М.: Агар ...
  5. Правительство российской федерации " высшая школа экономики" программа дисциплины теория вероятностей и математическая статистика

    Программа дисциплины
    ... . Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теориявероятностей. Математическаястатистика: Учебное пособие. М.: Гардарика, 1998. Ватутин В.А. и др. Теориявероятностей и математическаястатистика в задачах. М.: Агар ...

Другие похожие документы..