textarchive.ru

Главная > Документ


УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Данная тема в школьном курсе математики практически отсутствует, но на экзаменах по математике задания с параметрами встречаются постоянно. Поэтому встал вопрос "Как научить учащихся решать такие задачи?" В этом мне помогают занятия спецкурса "Методы решения математических задач различной степени сложности". В данном курсе рассматриваются именно те вопросы, которые отсутствуют или изучаются в незначительном объеме в школьном курсе математики. Одна из таких тем "Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений с параметрами", на изучение которой отводится 11 ч (это тоже не так много, но все-таки какое-то представление о заданиях с параметрами можно дать).

Основная задача первых уроков по этой темы состоит в том, чтобы у учащихся были сформированы первые представления о решении уравнений с параметром, в частности, чтобы ученики понимали, что решение уравнений с параметром зависит от значений параметра. Учащиеся должны привыкнуть к записи – "при а = … х = …".

Следующие три темы этой главы позволяют, используя свойства квадратного трехчлена и его графика, изучить вопросы, связанные с решением квадратных уравнений и неравенств с параметрами, применяя графический, так и аналитический методы решения.

Уравнения и неравенства с модулем целесообразно решать графическим способом; для этого выражения, содержащие параметр, обособляют в одной части уравнения (неравенства) и строят графики левой и правой частей уравнения (неравенства).

Системы тоже целесообразно решать графически, для этого надо построить в одной системе координат графики каждого из уравнений системы.

При обучении и закреплении решения различных задач с параметрами можно использовать мультимедийные уроки, которые имеются на CD-ROM диске [1]. В этом электронном пособии вы найдете различные по степени сложности задачи с параметрами, которые можно решить за компьютером.

При решении задач данной темы (особенно при решении графическим методом) очень удобно для построения графиков использовать программное обеспечение "MATHEMATICA 4.2. Компьютерная математика" [4], которая позволит быстро построить график указанной функции, а учащимся потом только провести исследование относительно параметра. При решении простейших уравнений с параметрами также можно использовать данное программное обеспечение.

В работе представлены полностью все уроки по данной теме, т.к. разработка одного урока не даст полного представления о том, что имелось в виду при изучении данной темы.

Тема: Первые шаги к параметрам

Математика – это инструмент, специально

приспособленный для работы с отвлеченными

понятиями всех типов, и поэтому …

её возможности неограниченны

П. Дирак

Цель: сформировать у учащихся представление о задачах с параметром на стандартных задачах; развивать логическое мышление, внимание, сообразительность, наблюдательность

  1. Орг. момент

  1. Мотивация

Известный педагог - математик Д. Пойа писал: "Недостаточно лишь понять задачу, необходимо желание решить её. Без сильного желания решить трудную задачу невозможно, но при наличии такового – возможно. Где есть желание, найдется путь!" Хотелось бы, чтобы его слова стали эпиграфом сегодняшнего урока.

  1. Объяснение нового материала

Принадлежащая Анри Пуанкаре мысль о том, что математика – это искусство давать разным вещам одно и то же название, является ключом к пониманию многих сложных вопросов, которые возникают при изучении математики. Эту идею можно воплощать на стандартных задачах, где следует избегать прямых вычислений, а то и вовсе их не делать. В таких задачах удобно вводить буквенные обозначения, т.е. выполнить переход от числа к символу (параметру) и выполнить действия с переменной.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. Сравнить, какое из чисел 200320032003  200720072007 и 2005200520052 больше.

Введем обозначение а = 200520052005. Тогда первое число равно (а – 2)(а + 2) = а2 – 4. Второе число а2. Следовательно, второе число больше.

Пример 2.

Выяснить, рационально ли число ?

Введем обозначения: , , . Тогда данное число можно представить в виде:

.

Преобразовав данное выражение, получим

, следовательно, данное число натуральное.

Пример 3. Вычислить

Данное задание можно выполнить как обычно, выполнив порядок действий с корнями, а можно избавиться от квадратных корней, введя обозначение , и получив обычные рациональные дроби . Преобразовать это выражение для учащихся не составит ни какого труда. После всех преобразований получим, что данное выражение равно: . Выполнив обратную подстановку, получаем, что исходное выражение равно: .

Пример 4. Сравните меньший корень уравнения с числом .

Введем обозначение , , , . Тогда уравнение примет более краткую запись: (даже этот вид уравнение оправдывает введение символа). Решим это уравнение. , , .

Преобразуем число ; введя обозначения получаем

Так как , то ,

тогда ,

, . Выполняя обратную замену, получим , тогда .

Сравним числа а и т. Так как a > 0 и m > 0, то сравним их квадраты. Имеем

Так как выражение , то разность квадратов отрицательна, следовательно, a < m, т.е. меньший корень меньше данного числа.

Пример 5. Найдите наибольшее целое k, при котором уравнение не имеет действительных корней.

Так как речь идет о количестве корней уравнения, то в этом задании предпочтительнее выделить полный квадрат, а не выписывать неравенство для дискриминанта.

Имеем и уравнение примет вид , тогда . Получившееся уравнение не имеет действительных корней, когда , т.е. . Наибольшее целое k, удовлетворяющее этому условию, равно -1.

  1. Закрепление

      1. Сравнить, какое из чисел 199819981998  199819982002 и 1998199820002 меньше

      2. Вычислить

      3. Вычислить

      4. Сравните больший корень уравнения с числом

      5. Найдите наименьшее целое а, при котором уравнение имеет два различных корня

  1. Итог урока

"Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле" (А.Н. Крылов).

Я надеюсь, что идеи, которые мы применяли при решении задач на сегодняшнем занятии, не пройдут мимо вас, и вы будете по мере возможности ими пользоваться.

Ведь "если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе" (М.И. Калинин)

  1. Домашнее задание

Задачи для домашней работы можно составить самим по образу и подобию тех, которые решались на занятии.

Тема: Простейшие уравнения и неравенства с параметрами

Цель: сформировать у учащихся представление о решении простейших уравнений и неравенств с параметрами; развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся.

  1. Орг. момент

Задачи с параметрами относятся к наиболее трудным заданиям, предлагаемым на вступительных экзаменах. Это связано с тем, что они требуют хорошего понимания "глубинных" свойств функций, и их решение носит творческий характер. Однако знание некоторых простых правил и алгоритмов решения необходимо.

  1. Актуализация знаний

    1. Рассмотрим уравнения: 2х = 5, -4х = 0, 3х = 3х – 7, 5(х – 7) = 3(х – 4) – 27.

    2. Как называются эти уравнения?

    3. Решить уравнения и исследовать количество корней в зависимости от коэффициента, стоящего при х.

    4. Как записывается линейное уравнение в общем виде?

    5. Решить уравнение в зависимости от коэффициентов.

    6. Решить неравенства 2x < 5, -3x >6 , 2x > 2x – 5, 7 – 3x < 5 – 3x

    7. Вспомнить основные свойства простейших линейных неравенств.

  1. Новая тема.

Таким образом, мы подошли с вами к уравнению, в котором кроме переменной х присутствуют и другие буквенные переменные.

Если уравнение содержит буквенные компоненты, то они называются параметрами, а уравнение – уравнением с параметром. Решение таких уравнений зависит от значений параметров.

Решить уравнение с параметром – это значит, для каждого значения параметра найти значения параметра найти значение переменной, удовлетворяющие этому уравнению.

Примечание. Начинать решать уравнения с параметрами следует с уравнений, решения которых не подразумевает ветвлений.

х – а = 0 5х = а 2х + а = 0 3х – а = 2а

6(х + а) = 12а 12х + 4а = 8(а + х)

Затем рассмотреть уравнение, в котором параметр находится при неизвестной переменной.

Рассмотрим уравнение (а – 2)х = 5.

Видим, что это линейное уравнение. Чтобы найти х надо 5 разделить на (а – 2).

Вопрос. При всех ли а мы можем разделить уравнение на (а – 2)?

При а = 2 выражение а – 2 = 0 и уравнение принимает вид 0х = 5, решений нет.

При а ≠ 2 выражение а – 2 ≠ 0, тогда .

Рассмотреть решение уравнений:

ах = 5 (а – 1)х = 6 2ах = 1 – х 3 – ах = х ха2 = а + х

4а – а2х = 2ах (а2 – 4)х = а2 + а – 6

Рассмотрим неравенство ах < 5.

Каким может быть число а?

Оно может быть положительным, отрицательным или равным 0. Рассмотрим все случаи.

При а = 0 неравенство примет вид 0х < 5. Это неравенство верно при любом х.

При а < 0 решением неравенства будут х >

При а > 0 решением неравенства служат х < .

На закрепление можно решить неравенства вида:

(а – 1)х = 6 2ах = 1 – х 2а(а – 2)х < а – 2 ха2 = а + х

  1. Итог занятия

  2. Домашнее задание

Решить уравнения: 2 – 5)х + а = а(а – 4х)

Решить неравенство: (а – 2)х > 10 – 5х

Тема: Исследование квадратных уравнений, содержащих параметр

Цель: повторить формулы нахождения корней квадратного уравнения; формировать умение у учащихся решать квадратные уравнения, содержащих параметры; развивать логическое мышление, способность самостоятельно решать учебные задачи и работать с дополнительной литературой; развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся; прививать интерес к предмету, формировать коммуникативные навыки и волевые качества личности

  1. Орг. момент

  1. Мотивация на изучение нового материала

Однажды Сократ, окружённый учениками, поднимался к храму. Навстречу им спускалась известная афинская гетера. “Вот ты гордишься своими учениками, Сократ, - улыбнулась она ему, - но стоит мне только легонько поманить их, как они покинут тебя и пойдут вслед за мной”. Мудрец же ответил так: “Да, но ты зовёшь их вниз, в тёплую весёлую долину, а я веду их вверх, к неприступным, чистым вершинам”.

Вот и мы с вами сегодня должны подняться на одну ступеньку вверх, “преодолевая” задачи, которые будут рассмотрены на сегодняшнем уроке.

  1. Актуализация знаний

Вспомним основные формулы, связанные с квадратным уравнением.

    1. Определение квадратного уравнения

    2. Формулы корней квадратного уравнения

Задание 1. Сколько корней имеет уравнение:

Задание 2. Изобразить схематически график квадратичной функции

Задание 3. Линейным или квадратным является уравнение относительно х при: а = 1; при а = 2; при а = 0,4; при а = 0?

  1. Изучение нового материала

Сегодня на уроке мы научимся находим значение параметра в квадратных уравнениях используя известные нам формулы из уроков алгебры 8 класса, а также решать квадратные уравнения, содержащие параметр.

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение ах(ах + 3) + 6 = х(ах – 6) является квадратным, неполным квадратным, линейным?

Вопрос: что необходимо сделать для того, чтобы ответить на поставленный вопрос?

Ответ: привести данное уравнение к виду ах2 + вх + с = 0.

Выполним это, для этого раскроем скобки и сгруппируем слагаемые при х2, при х и свободные коэффициенты:

а2х2 + 3ах + 6 = ах2 – 6х, а2х2 - ах2 + 3ах + 6х + 6 = 0, (а2 – а)х2 + (3а + 6)х + 6 = 0,

Вопрос: при каких условиях квадратное уравнение ах2 + вх + с = 0 является полным, неполным, линейным?

Ответ: уравнение вида ах2 + вх + с = 0 является полным квадратным, если а ≠ 0 и в ≠ 0; является неполным квадратным, если а ≠ 0 и в = 0; является линейным, если а = 0 и в ≠ 0

Исходя из полученных выводов найдем условие на параметр а для каждого случая.

  1. Уравнение является полным квадратным, если , тогда

, т.о. если а (-; -2)(-2; 0)(0; 1)(1; +), то уравнение является полным квадратным.

  1. Уравнение является неполным квадратным, если , тогда

, т.о. при а = -2 исходное уравнение является неполным квадратным.

  1. Уравнение является линейным, если , тогда , т.о. если а = 0 или а = 1, то уравнение исходное уравнение является линейным.

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение ах2 – ах + а = 0 имеет корни? не имеет корней?

Вопрос: при каких условиях уравнение вида ах2 + вх + с = 0 имеет корни и сколько? не имеет корней?

Ответ: если D  0, то уравнение имеет два или один корень; если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Используя полученные выводы, ответим на вопросы задачи, для этого составим выражение для дискриминанта.

D = (-a)2 – 4 aa = a2 – 4a2 = -3a2.

Так как а2 > 0 при любых значениях а, то выражение -3а2 будет всегда отрицательным и лишь при а = 0 дискриминант будет равен 0. Т.о. при а  (-; 0)  (0; +) D < 0 и исходное уравнение не имеет корней; при а = 0 D = 0 и исходное уравнение имеет единственный корень.

Следующим нашим шагом при изучении данной темы – это решение квадратных уравнений с параметром, не содержащих параметра при старшем коэффициенте.

Пример 3. Решить уравнение х2 – 4х + а = 0.

При решении таких заданий используется алгоритм решения квадратных уравнений.

D = (-4)2 – 4 1 a = 16 – 4a.

  1. Рассмотрим случай, когда D > 0, т.е. 16 – 4а > 0, тогда -4а > -16, а < 4.

Т.к. D > 0, то исходное уравнение имеет два корня, которые находим по формуле:

,

  1. Рассмотрим случай, когда D = 0, т.е. 16 – 4а = 0, тогда а = 4.

Т.к. D = 0, то исходное уравнение имеет один корень, который находим по формуле: .

  1. Рассмотрим случай, когда D < 0, т.е. 16 – 4а < 0, тогда -4а < -16, а > 4. Т.к. D < 0, то исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: при а < 4; при а = 4 х = 2; при а > 4 корней нет.

Рассмотрим квадратное уравнение, которое содержит параметр при старшем коэффициенте.

Пример 4. Решить уравнение ах2 – 3х + 9 = 0.

Вопрос: всегда ли это уравнение будет квадратным?

Ответ: если а = 0, то исходное уравнение не является квадратным.

Определим вид исходного уравнения при а = 0, получаем -3х + 9 = 0 – это линейное уравнение, которое имеет решение х = 3.

Рассмотрим случай когда а ≠ 0.

При а ≠ 0 исходное уравнение является квадратным, а значит, можем применить алгоритм решения квадратного уравнения.

D = (-3)2 – 4 a 9 = 9 – 36a

  1. Рассмотрим случай, когда D > 0, т.е. 9 – 36а > 0, тогда -36а > -9, а < .

Т.к. D > 0, то исходное уравнение имеет два корня, которые находим по формуле:

,

  1. Рассмотрим случай, когда D = 0, т.е. 9 – 36а = 0, тогда а = .

Т.к. D = 0, то исходное уравнение имеет один корень, который находим по формуле: .

  1. Рассмотрим случай, когда D < 0, т.е. 9 – 36а > 0, тогда -36а > -9, а >. Т.к. D < 0, то исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: при а < ; при а = 4 ; при а > корней нет.

  1. Закрепление изученного материала

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб.: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Под ред. Дорофеева Г.В. – М.: Просвещение, 1998

с. 166, № 586, 587

  1. Итог урока

Проверочная работа

1 вариант

2 вариант

    1. Линейным или квадратным является уравнение а(а - 5)х2 + (6а – 3)х – 18 = 0 относительно х при:

а = 6; а = 0; а = 0,5; а = 5 ?

      1. Линейным или квадратным является уравнение а(а + 3)х2 + (4а – 20)х + 7 = 0 относительно х при:

а = -4; а = 0; а = 5; а = -3 ?

    1. Решить уравнение относительно х

2 – 5ах + а2 = 0

      1. Решить уравнение относительно х

12х2 + 7ах + а2 = 0

  1. Домашнее задание

Норин А.В. и др. Сборник задач по математике для поступающих в вузы: Учебное пособие. – СПб.: Питер, 2003.

стр. 209 № 5 – 7.



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Курсовая работа параметры в школьном курсе математики элективный курс

    Элективный курс
    ... КУРСОВАЯ РАБОТА Параметры в школьномкурсематематики. Элективный курс. Выполнила учитель математики МОУ СОШ ... уравнения с параметрами 26-28 Параметр и количество решений уравнений, неравенств и их систем 29-30 Уравнения и неравенства с параметрами ...
  2. Задачи с параметром в школьном курсе математики 8-го гласса

    Решение
    Задачи с параметром в школьномкурсематематики 8-го гласса Задачи с параметрами играют важную роль в ... квадратных уравнений и неравенств с одним параметром в курсе 8 класса. Квадратные уравнения с параметром 1. При каких значениях уравнение имеет ...
  3. Учитель – ученик проблемы поиски находки сборник научно-методических трудов выпуск 7

    Документ
    ... . Т.А. Капитонова, Ю.А. Овечкина Изучение темы «Уравнения и неравенства с параметрами» в школьномкурсематематики (пропедевтический этап) Уравнения и неравенства с параметрами стали неотъемлемым атрибутом экзаменационных ...
  4. Учитель – ученик проблемы поиски находки сборник научно-методических трудов выпуск 7

    Документ
    ... . Т.А. Капитонова, Ю.А. Овечкина Изучение темы «Уравнения и неравенства с параметрами» в школьномкурсематематики (пропедевтический этап) Уравнения и неравенства с параметрами стали неотъемлемым атрибутом экзаменационных ...
  5. Итоговое повторение школьного курса математики Программа курса по выбору для учащихся 11-12 классов общеобразовательных учреждений Минск 2007

    Программа курса
    ... школьногокурсаматематики Программа курса ... неравенства. Системы показательных и логарифмических уравнений. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства с параметром. Комбинированные уравнения и неравенства. Решение уравнений и неравенств ...

Другие похожие документы..