textarchive.ru

Главная > Документ


Министерство образования и науки РФ

Бийский технологический институт (филиал)

государственного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«Алтайский государственный технический университет

им. И.И. Ползунова»

Р.Г. Гареева

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

В ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКЕ

Курс лекций

Бийск

Издательство Алтайского государственного технического

университета им. И.И. Ползунова

2011

УДК 681.3:519.23 (076.5)

Г 20

Рецензенты:

Тушкина Т.М., к.ф.-м.н., доцент кафедры ВМиМФ БТИ АлтГТУ
КухленкоА.А., к.т.н., с.н.с. ИПХЭТ СО РАН (г. Бийск)

Гареева, Р.Г.

Г 20

Корреляционный анализ в информационно-измерительной технике: курс лекций / Р.Г. Гареева; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2011. – 60 с.

В курсе лекций приводятся классификация детерминированных и случайных процессов, основные статистические характеристики случайных процессов, свойства идеальных систем, корреляционный и спектральный анализ систем с одним входом и одним выходом, а также систем с одним входом и несколькими выходами.

Курс лекций предназначен для студентов специальности 200106 «Информационно-измерительная техника и технологии» дневной и заочной форм обучения по дисциплине «Корреляционный анализ в информационно-измерительной технике».

УДК 681.3:519.23 (076.5)

Рассмотрено и одобрено на заседании научно-методического совета Бийского технологического института.

Протокол № 6 от 20 мая 2011 г.

© Гареева Р.Г., 2011

© БТИ АлтГТУ, 2011

СОДЕРЖАНИЕ

1 ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФИЗИЧЕСКИХ

ПРОЦЕССОВ…………………………………………….……..……….

4

1.1 Классификация детерминированных процессов………………

5

1.2 Классификация случайных процессов….…………..………….

10

1.3 Основные статистические характеристики стационарных случайных процессов…………………………………...……………....

14

1.4 Контрольные вопросы……………………………...……………

28

Литература……………………………………………………………

28

2 СИСТЕМЫ С ОДНИМ ВХОДОМ И ОДНИМ ВЫХОДОМ…..…..

29

2.1 Свойства идеальной системы…………………………...…...….

29

2.2 Частотные характеристики…………………………………...…

31

2.3 Спектральный анализ идеальной системы...…………………...

35

2.4 Функция обычной когерентности…………………………….....

37

2.5 Система с внешним шумом на выходе……………….…...……

38

2.6 Система с внешним шумом на входе………………………...…

41

2.7 Влияние внешнего шума………………………………………..

42

2.8 Система с обратной связью……………………………………..

45

2.9 Использование зондирующего сигнала…………………….…..

49

2.10 Контрольные вопросы……..……………………………….…..

51

Литература……………………………………………………………

52

3 СИСТЕМЫ С ОДНИМ ВХОДОМ И НЕСКОЛЬКИМИ

ВЫХОДАМИ……………………………………………………………

53

3.1 Спектральные соотношения………………………………….....

53

3.2 Оценивание относительного запаздывания…………………

54

3.3 Локализация неизвестного источника……………………...…..

56

3.4 Контрольные вопросы……………..…………………………….

58

Литература……………………………………………………………

59


1 основные Характеристики

физических процессов

Все наблюдаемые процессы, характеризующие физические явления, можно классифицировать как детерминированные и недетерминированные.

К детерминированным относятся процессы, которые могут быть описаны точными математическими соотношениями.

Рассмотрим, например, твердое тело, подвешенное к неподвижной основе на упругой пружине с нулевой массой (рисунок 1.1).

– масса тела; – коэффициент жесткости пружины

Рисунок 1.1 – Тело, подвешенное на пружине

Предположим, что тело получает начальное смещение из положения равновесия и освобождается в момент времени . На основе фундаментальных законов механики или путем повторных наблюдений можно установить справедливость следующего соотношения:

(1.1)

где – масса тела, предполагаемого абсолютно жестким;

– коэффициент жесткости пружины.

Формула (1.1) точно описывает положение тела в любой момент времени в будущем. Следовательно, физический процесс, характеризующий движение тела, относится к детерминированным процессам.

На практике встречается много физических явлений, которые с высокой степенью приближения могут быть описаны точными математическими соотношениями (движение спутника по околоземной орбите, изменение температуры воды при нагревании).

Однако можно назвать множество других физических процессов, имеющих недетерминированный характер (изменение высоты волн на поверхности моря, изменение напряжения на выходе генератора шума). Точное значение таких процессов в некоторый момент времени в будущем предсказать невозможно. Эти процессы случайны по своей природе.

Случайные (стохастические или недетерминированные) процессы не могут быть описаны точными математическими соотношениями, для их описания требуются усредненные статистические характеристики.

Во многих случаях трудно решить, относится ли рассматриваемый процесс к детерминированным или к случайным. Можно утверждать, что в действительности ни один физический процесс нельзя считать строго детерминированным, поскольку всегда существует возможность того, что в будущем какое-либо непредвиденное событие изменит течение процесса таким образом, что полученные данные будут носить совершенно иной характер, чем предполагалось ранее.
С другой стороны, можно полагать, что в действительности ни один физический процесс не имеет строго случайной природы, так как при условии достаточно полного знания механизма изучаемого процесса его можно описать точными математическими соотношениями.

Практическое решение о детерминированном или случайном характере процесса обычно принимается исходя из возможности или невозможности его воспроизведения при заданных условиях. Если многократное повторение опыта дает одинаковые результаты (с точностью до ошибки измерения), то процесс считают детерминированным. Если же повторение опыта в идентичных условиях приводит к различным исходам, природа процесса полагается случайной.


    1. Классификация детерминированных процессов

Классификация детерминированных процессов представлена в таблице 1.

Таблица 1 – Классификация детерминированных процессов

Детерминированные процессы

Периодические процессы

Непериодические процессы

Гармонические

процессы

Полигармонические

процессы

Почти

периодические

процессы

Переходные

процессы

Физические явления, которые рассматриваются в инженерных задачах, описываются, как правило, функциями времени. К периодическим относятся такие процессы, которые могут быть описаны функцией времени, точно повторяющей свои значения через одинаковые интервалы:

(1.2)

где – период.

1.1.1 Гармонические процессы

Гармоническиминазываются процессы, описываемые функцией времени

(1.3)

где – амплитуда;

– циклическая частота, измеряемая в циклах в единицу време-
ни, Гц;

– начальная фаза, измеряемая в радианах.

Интервал времени, в течение которого происходит одно полное колебание (один цикл гармонического процесса) называется периодом , а число циклов в единицу времени – частотой . Частота и период связаны соотношением:

(1.4)

При анализе гармонических процессов начальной фазой часто пренебрегают. В этом случае

(1.5)

Соотношение (1.5) можно представить графически в виде функции времени или в амплитудно-частотном изображении (частотный спектр) (рисунок 1.2).

а) б)

Рисунок 1.2 – Гармонический процесс (а) и его спектр (б)

Частотный спектр гармонического сигнала состоит только из одной составляющей амплитуды. Такой спектр называют дискретным.

Многие физические явления с достаточным для практики приближением описываются гармоническими процессами. Примером могут служить колебания напряжения на выходе генератора переменного тока.

1.1.2 Полигармонические процессы

В большинстве своем полигармонические процессы могут быть представлены в виде ряда Фурье

(1.6)

где – основная частота;

Возможен и другой способ записи ряда Фурье для полигармонического процесса:

(1.7)

где

,

Как видно из формулы (1.7), полигармонический процесс состоит из постоянной составляющей и бесконечного числа синусоидальных компонент, называемых гармониками, с амплитудами и начальными фазами Частоты всех гармоник кратны основной частоте т.е. соизмеримы.

Очевидно, что гармонический процесс является частным случаем полигармонического процесса при

На практике при анализе периодических процессов начальные фазы часто во внимание не принимаются. В этом случае формуле (1.7) соответствует дискретный спектр, представленный на рисунке 1.3.

Рисунок 1.3 – Спектр полигармонического процесса

Физические явления, которым соответствуют полигармонические процессы, встречаются гораздо чаще явлений, описываемых простой гармонической функцией.

1.1.3 Почти периодические процессы

К почти периодическим(квазипериодическим) относятся такие процессы, которые могут быть описаны функцией времени:

(1.8)

где не все отношения частот гармоник являются рациональными числами, т.е. невозможно выделить основную частоту:

(1.9)

Если пренебречь начальными фазами, то формуле (1.8) будет соответствовать дискретный спектр, в котором частоты гармоник несоизмеримы (рисунок 1.4).

Рисунок 1.4 – Спектр почти периодического процесса

Физические явления, которым соответствуют почти периодические процессы, встречаются довольно часто при суммировании двух или более независимых гармонических процессов.

Примером почти периодического процесса может служить вибрация самолета с несколькими моторами, работающими в асинхронном режиме.

1.1.4 Переходные процессы

К переходным относятся все непериодические процессы, не являющиеся почти периодическими.

Физические явления, которым соответствуют переходные процессы, весьма многочисленны и разнообразны.

Примером может служить процесс изменения во времени температуры воды в чайнике (относительно температуры окружающего воздуха) после отключения нагревателя (рисунок 1.5а).

а) б)

Рисунок 1.5 – Примеры переходных процессов

Кривая на рисунке 1.5б характеризует свободные колебания инерционной механической системы после прекращения действия вынуждающей силы.

Важное отличие переходных процессов от ранее рассмотренных состоит в том, что их невозможно представить с помощью дискретного спектра. Однако в большинстве случаев получают непрерывное спектральное представление переходных процессов, используя интеграл Фурье:

(1.10)

где – спектр функции

Модули спектров переходных процессов, изображенных на рисунке 1.5, представлены на рисунке 1.6.

а) б)

Рисунок 1.6 – Модуль спектра переходных процессов

1.2 Классификация случайных процессов

Процессы, соответствующие случайным физическим явлениям, нельзя описать точными математическими соотношениями, поскольку результат каждого наблюдения над процессом невоспроизводим.

Функция времени, описывающая случайное явление, называется выборочной функцией, а при конечном времени ее наблюдения – реализацией. Множество всех выборочных функций, которые могут быть получены при регистрации данного случайного явления, образуют случайный процесс (СП).

Классификация случайных процессов представлена в таблице 2.

Таблица 2 – Классификация случайных процессов

Случайные процессы

Стационарные процессы

Нестационарные процессы

Эргодические

процессы

Неэргодические

процессы

Частные случаи

нестационарных процессов

1.2.1 Стационарные случайные процессы

Случайный процесс в любой момент времени может быть описан путем усреднения величин по множеству выборочных функций, образующих случайный процесс.

Рассмотрим множество выборочных функций случайного процесса (рисунок 1.7) и введем понятия среднего значения и ковариационной функции СП.

– выборочная функция; – количество выборочных функций;

– момент усреднения; – временной сдвиг между точками СП

Рисунок 1.7 – Множество выборочных функций СП

Среднее значение случайного процесса в момент времени находят путем суммирования мгновенных значений каждой выборочной функции в момент времени и деления полученной суммы на число выборочных функций:

(1.11)

где – выборочная функция;

– момент усреднения;

– номер выборочной функции;

– количество выборочных функций.

Ковариационная функция случайного процессапредставляет собой усредненное произведение мгновенных значений случайного процесса в два момента времени, отстоящие друг от друга на интервал

(1.12)

Введенные выше функции (1.11), (1.12) определяются по ансамблю выборочных функций, поэтому способ усреднения носит названия усреднение по ансамблю.

Если среднее значение и ковариационная функция случайного процесса изменяются с течением времени , то процесс считается нестационарным. Если же названные функции не зависят от момента усреднения , то процесс относится к стационарным процессам.

Для слабо стационарного случайного процесса справедливы следующие соотношения для среднего значения и ковариационной функции:

1)

2)

При дополнительной независимости ковариационной функции процесса еще и от временного сдвига процесс считается строго стационарным:

1)

2)

1.2.2 Эргодические случайные процессы

Случайный процесс может быть описан не только путем усреднения значений процесса в отдельные моменты времени (т.е. усреднением по ансамблю), возможно также его описание путем усреднения по времени наблюдения одной выборочной функции (рисунок 1.8).

– выборочная функция; – временной сдвиг между точками СП;

– время наблюдения выборочной функции

Рисунок 1.8 – Выборочная функция СП

Среднее значение и ковариационная функция случайного процесса в этом случае принимают вид:

(1.13)

(1.14)

где – выборочная функция;

– номер выборочной функции;

– время наблюдения выборочной функции.

Такой способ усреднения носит название усреднение по времени наблюдения.

Если среднее значение и ковариационная функция процесса, рассчитанные по соотношениям (1.13), (1.14), одинаковы для различных выборочных функций (различных номеров реализаций ), а случайный процесс является стационарным, то он относится к эргодическим случайным процессам.

Для таких процессов справедливы следующие соотношения:

1)

2)

Усредненные характеристики эргодических случайных процессов, рассчитанные усреднением по ансамблю выборочных функций и усреднением по времени наблюдения одной выборочной функции, равны между собой.

Введенные выше усредненные характеристики СП могут быть записаны в операторной форме:

где – оператор усреднения.

1.2.3 Погрешности выборочных оценок

Рассмотрим формулы расчета среднего значения случайного процесса путем усреднения по ансамблю выборочных функций

и усреднения по времени наблюдения одной реализации

Обе формулы содержат операцию перехода к пределу, которая на практике, конечно, неосуществима, поскольку невозможно обработать бесконечное число реализаций () или одну реализацию бесконечной длины (). Поэтому анализ случайных процессов дает только выборочные оценки истинных значений их параметров. Необходимо уметь оценивать величину возникающей при этом ошибки.

При обработке случайных процессов ошибки подразделяют на случайные и систематические.

Случайные ошибки являются следствием разброса значений, полученных по разным выборочным функциям одного случайного процесса. Эти ошибки являются прямым следствием конечности числа реализаций или времени наблюдения Т. По этой причине случайные ошибки неизбежны.

Величина случайной ошибки обратно пропорциональна корню квадратному из числа реализаций или времени наблюдения:

или . (1.15)

Анализ соотношения (1.15) показывает, что для уменьшения случайной ошибки измерений, например, в два раза необходимо увеличить время обработки реализации или количество выборочных функций в четыре раза.

Абсолютное значение и знак систематических ошибок не изменяется при переходе от одной выборочной функции к другой. Такие ошибки называют также смещением. Смещение часто появляется при приближенном вычислении производных, например, при оценивании плотностей вероятности.



Скачать документ

Похожие документы:

  1. « приборостроение » i общая характеристика основной образовательной программы (ооп)

    Документ
    ... техника Цифровые измерительные устройства 1.Корреляционныйанализ в информационно-измерительнойтехнике 2.Методы обработки информации Метрология, стандартизация и сертификация Теоретические основы измерительных и информационных ...
  2. Информационное письмо «информационные процессы и технологии информатика – 2012»

    Документ
    ... . Информационно-измерительнаятехника. Проектирование ЭВМ и цифровых устройств. Информационная безопасность ... института прикладного системного анализа Национального технического ... и процесса с экспоненциальной корреляционной функцией, описываемого как , ...
  3. Информационное письмо «информационные процессы и технологии информатика – 2011»

    Документ
    ... Информационно-измерительнаятехника. Проектирование ЭВМ и цифровых устройств. Информационная безопасность ... (институт прикладного системного анализа НТУУ «Киевский политехнический ... и процесса с экспоненциальной корреляционной функцией, описываемого как , ...
  4. Основы сапр измерительных систем текст лекций

    Документ
    ... системотехнике, системном анализе и т.д. СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ – совокупность методологических ... Студенты, обучающиеся по специальности "Информационноизмерительнаятехника и технологии" и родственным ей ... частности, пренебрежение корреляционными связями или ...
  5. Заботин иван николаевич стереоскопическая информационно-измерительная система определения параметров движущихся объектов

    Автореферат диссертации
    ... измерительнойтехники, используемой не только для качественного, но и количественного анализа ... корреляционного метода отождествления в совокупности с методом, опирающегося на предварительный раздельный анализ ... информационно-измерительной системы ...

Другие похожие документы..