textarchive.ru

Главная > Учебно-методическое пособие


8. Примеры решения задач

1. Зная постоянную распада ядра, определить вероятность Р того, что ядро распадается за промежуток времени от 0 до t.

Решение. Процесс радиоактивного распада носит статистический характер, а это значит, что если многократно повторять опыты с радиоактивным препаратом, содержащим достаточно большое начальное число ядер , то за промежуток времени от 0 до t распадается каждый раз одна и та же доля ядер . Эта величина, характеризующая относительную частоту события – распада ядра, и принимается за вероятность Р распада ядра в течение данного промежутка времени. Таким образом

где - число нераспавшихся ядер к моменту времени t. Подставив в это равенство вместо N его значение по закону радиоактивного распада и произведя сокращение, получим ответ:

.

2. Определить, сколько ядер в =1,0 мг радиоизотопа церия распадается в течение промежутков времени:

1) =1с; 2) =1 год.

Период полураспада церия Т=285 сут.

Решение. Задача решается с помощью закона радиоактивного распада.

1. Так как , то можно считать, что в течение всего промежутка число нераспавшихся ядер остается практически постоянным и равным их начальному числу . Тогда для нахождения числа распавшихся ядер применим закон радиоактивного распада, записав его так:

или учитывая, что период полураспада Т и постоянная распада связаны соотношением

Чтобы определить начальное число ядер (атомов) , умножим постоянную Авогадро на число молей , содержащихся в данном препарате:

где - начальная масса препарата, - молярная масса изотопа , численно равная (приблизительно) его массовому числу. С учетом предыдущего выражения получим

.

Выразим числовые значения величин, входящих в полученную формулу, в единицах СИ:

Произведя вычисления с учетом того, что ln2 = 0,693, найдем .

2. Так как теперь - величины одного порядка, то дифференциальная форма закона радиоактивного распада здесь неприменима. Поэтому для решения задачи воспользуемся интегральной формой закона, справедливой для любого промежутка .

Тогда получим .

Или .

Так как , то уравнение принимает более простой вид

.

Произведя вычисления, получим .

3. Радиоизотоп с постоянной распада превращается в радиоизотоп с постоянной распада . Считая, что в начальный момент препарат содержал только ядра изотопа , найти, через сколько времени активность радиоизотопа достигнет максимума?

Решение. Активность препарата пропорциональна числу наличных ядер N этого препарата. Поэтому активность а радиоизотопа достигнет максимума тогда, когда максимальным будет число ядер этого радиоизотопа. Закон изменения со временем числа ядер выражается формулой (3). Для отыскания промежутка времени t, которому соответствует максимум функции , продифференцируем эту функцию по времени и приравняем к нулю производную:

Отсюда

Решив это уравнение относительно t, найдем искомое время

9. Активность радиоактивного препарата

Активность любого радиоактивного препарата, в котором ежесекундно распадается N радиоактивных атомов, выражается формулой

.

(9.1)

Единица активности в СИ – беккерель(Бк). 1 Бк – это активность, при которой за 1с происходит один распад ядра.

Часто используется внесистемная единица активности – кюри (Ки), 1Ки=3,71010Бк.

Активность радиоактивного препарата уменьшается со временем по экспоненциальному закону

(9.2)

Для долгоживущих радиоактивных элементов с большим периодом полураспада удельная активность (активность единицы массы) вычисляется по формуле

(9.3)

где – число Авогадро; M – атомная масса радиоактивного элемента, в а.е.м.; N – число ядер в 1 кг этого элемента.

Активность образца C с массой m кг, атомной массой M а.е.м. и периодом полураспада определяется формулой

(9.4)

Если радиоизотоп с постоянной распада превращается в радиоизотоп с постоянной распада , то число ядер радиоизотопа изменяется со временем по закону

(9.5)

где - число ядер радиоизотопа в момент t=0.

10. Примеры решения задач

1. Найти активность радона, образовавшегося из = 1,0 г радия за одни сутки. Найти также максимальную активность радона. Периоды полураспада радия и радона соответственно равны лет, сут.

Решение. Используя соотношения (8) и (10), запишем для искомой активности

.

Входящие сюда величины выразим через данные , , по формулам:

и .

Тогда, произведя сокращения, имеем

.

Это общая формула, выражающая закон изменения со временем активности одного радиоизотопа (дочернего), полученного в процессе распада другого (материнского). Если учесть вытекающие из условия соотношения и , эту формулу можно упростить. Из первого неравенства следует, что можно пренебречь величиной в разности -. В силу второго неравенства можно принять за единицу первый член, стоящий в скобках. Тогда найдем

.

Произведя расчет, получим

расп/с,

или

Ки =0 б17 Ки.

Анализируя полученную приближенную формулу, с учетом неравенств и , видим, что с ростом времени t величина, стоящая в скобках, приближается по экспоненте к единице. Следовательно,

расп/с=1б0 Ки.

2. Определить начальную активность радиоактивного препарата магния-27 массой 0,2 мкг, а также его активность через время 6 часов.

Решение. Активность А изотопа характеризует скорость радиоактивного распада и определяется отношением числа dN ядер, распавшихся за интервал времени dt, к этому интервалу

А = - , (1)

знак "-" показывает, что число N радиоактивных ядер с течением времени убывает.

Для того, чтобы найти dN/dt, воспользуемся законом радиоактивного распада

N = No e-t, (2)

где N - число радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, в момент времени t, No - число радиоактивных ядер в момент времени, принятый за начальный (t=0), - постоянная радиационного распада.

Продифференцируем выражение (2) по времени

dN/dt = -Noe-t. (3)

Исключив из формул (1) и (3) dN/dt, находим активность препарата в момент времени t

А =Noe-t.(4)

Начальную активность Ао препарата получим при t = 0

Ао = No . (5)

Постоянная радиоактивного распада связана с периодом полураспада Т1/2 соотношением

. (6)

Число No радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, равно произведению постоянной Авогадро NA на количество вещества данного изотопа

No = NA = NA . (7)

где m - масса изотопа, - молярная масса.

С учетом вырaжений (6) и (7) формулы (5) и (4) принимают вид:

Ао = NA, (8)

A = NA . (9)

Произведя вычисления и учитывая, что Т1/2 = 600 с; ln2 = 0,693; t = 6 ч = 63,6.103 с = 2,16.104с, получим

Ао=Бк = 5,13 . 1012Бк =

=Ku ,

Бк = 46.10-10 Ku.

3. При археологических раскопках были обнаружены сохранившиеся деревянные предметы, активность 6С14 которых оказалась равной 106 распадов в минуту на 1 г содержаще-гося в них углерода. В живом дереве происходит в среднем 14,5 распадов за минуту на 1 г углерода. Исходя из этих данных, определить время изготовления обнаруженных предметов.

Решение. Известно, изотоп 6С14 является радиоактивным, его период полураспада Т1/2(6С14) = 5700 лет.

Найдем число атомов 6С14 в 1 г.

N = (m/A) NA = (1/14) 6,02·1023 =0,42·1023.

t0 – настоящий момент времени,

t* - момент времени, когда были изготовлены деревянные предметы.

Число распадающихся атомов 6С14 в момент t0 и t* за 1 мин равно ∆N0 = λ·N0·∆t; ∆N* = λ·N·∆t;

Активность пропорциональна числу атомов a0 = λ·N0

Активность радионуклида со временем изменяется по экспоненте a* = a0·exp(-λ·t*). Отсюда ln(a0/a*)=λ·t*=(ln2/Т1/2)·t*.

Численное значение t* равно t* = ln(a0/a*)·Т1/2/ln2 = ln(14,5/10) 5700/0,693 = 3056 лет.

Ответ: деревянные предметы были изготовлены примерно за 3056 лет до настоящего времени.

6. В результате атмосферных испытаний и связанных с ними глобальных выпадений радионуклидов содержание цезия-137 в оленине в северных районах СССР к 1964 г. достигло 1628 Бк/кг. Сколько лет должна храниться такая оленина в холодильниках, чтобы ее удельная активность снизилась до 592 Бк/кг – предельно допустимого загрязне-ния мясных продуктов цезием-137, регламентированного белорусскими нормативами 1990 – 91 г. Целесообразно ли столь длительное хранение оленины?

Решение. Активность изменяется по экспоненте a = a0·exp(-λ·t). Следовательно, (a0/a*) = exp(λ·t*). Отсюда время хранения оленины в холодильнике равно

t* = ln(a0/a*)×T1/2/ln2 = ln(628/592)·30,2/0,693 = 44 года.

Ответ: столь продолжительное время хранения оленины в холодильнике для снижения удельной активности цезия следует считать экономически нецелесообразным.

7. Согласно белорусским нормативам 1990 – 91 г активность цезия-137 в пшенице (зерне) должна быть на уровне 370 Бк/кг. Сколько времени пшеница урожая 1990 г, имеющая предельно допустимую активность, должна храниться в элеваторе, чтобы ее активность снизилась до 0,06 Бк/кг –средней активности по цезию-137, произведенной в 1963 г. в СССР? Целесообразно ли такое хранение?

Решение. Удельная активность зерна, содержа-щего радионуклид цезий-137, изменя-ется по экспоненте a = a0·exp(-λ·t).

В конкретном случае имеем такое

соотношение: a0/aСР = exp(λ·tСР), где tСР–среднее время хранения зерна на элеваторе. Отсюда

tСР = ln(a0/aСР)·T1/2/ln2 = ln(370/0,06) 30,2/ln2 = 380 лет.

Ответ: такое зерно хранить не следует.

11. Радиоактивный распад

Альфа-распадом называется испускание ядрами некоторых химических элементов -частиц. Альфа-распад является свойством тяжелых ядер с массовыми числами А>200 и зарядами ядер Ze>82. Внутри таких ядер происходит образование обособленных -частиц, состоящих каждая из двух протонов и двух нейтронов.

При - радиоактивности заряд ядра уменьшается на 2 единицы, а масса – на 4 единицы, например:

Термином бета-распад обозначают три типа ядерных превращений: электронный (-) и позитронный(+) распады, а также электронный захват. Первые два типа превращения состоят в том, что ядро испускает электрон (позитрон) и электронное антинейтрино (электронное нейтрино). Эти процессы происходят путем превращения одного вида нуклона в ядре в другой: нейтрона в протон или протона в нейтрон. В случае электронного захвата превращение заключается в том, что исчезает один из электронов в ближайшем к ядру слое. Протон, превращаясь в нейтрон, как бы "захватывает" электрон; отсюда произошел термин "электронный захват". Электронный захват в отличие от ±-захвата сопровождается характеристическим рентгеновским излучением.

-распад происходит у естественно-радиоактивных, а также искусственно-радиоактивных ядер; +-распад характерен только для явления искусственной радиоактивности.

При -распаде заряд ядра увеличивается на единицу, а масса остается неизменной, например:

 - излучением называется электромагнитное излучение, возникающее при переходе атомных ядер из возбужденных в менее возбужденные или основное состояния. - излучение обычно сопровождает ядерные реакции. Длины волн - излучения лежат в диапазоне  10-10210-13м, а энергия - квантов лежит в пределах от  10кэВ до 5МэВ.

При - распаде превращения элементов не происходит, но внутренняя энергия ядра уменьшается:

Продукты распада могут быть, в свою очередь радиоактивными.

12. Примеры решения задач

1. Ядро радиоактивного элемента подвергнувшись ряду превращений, потеряло 5 - частиц и 3 -частицы и превратилось в ядро элемента . Определить исходный радиоактивный элемент.

Решение. Потеря - частиц приводит к уменьшению числа Менделеева на единиц, а потеря -частиц приводит к увеличению этого числа на единиц. Таким образом,

откуда

.

На изменение массового числа влияет только потеря - частиц, Каждая из которых имеет массовое число 4:

,

отсюда

.

После подстановки численных значений, получим:

= 83 +2*5-3=90;

=212+5*5=232.

Из таблицы Д.И.Менделеева определяем искомый изотоп:

2. Ядро какого элемента образуется после пяти последовательных α-превращений 92U234?

Решение. Cогласно правилу радиоактивного смещения при α-распаде образуется новый радиоактивный элемент, смещенный в таблице Менделеева на две клетки влево.

1) 92U234 →α→ 90X230 + 2He4, X ≡ Th (торий);

2) 90Th230 →α→ 88Y226 + 2He4, Y ≡ Ra (радий);

3) 88Ra226 →α→ 86Z222 + 2He4, Z ≡ Rn (радон);

4) 86Rn222 →α→ 84Q218 + 2He4, Q ≡ Po (полоний);

5) 84 Po218 →α→ 82D214 + 2He4, D ≡ Pb (Свинец).

Ответ: в результате пяти α-распадов образуется изотоп 82Pb214.

13. 3акон ослабления пучка моноэнергетического γ – излучения или β – частиц

При прохождении радиоактивного излучения через вещество плотность его потока уменьшается. 3акон ослабления пучка моноэнергетического γ – излучения или β – частиц имеет вид

,

где j0 - плотность потока частиц, падающих на поверхность вещества, j - плотность потока на глубине х, μ – линейный коэффициент ослабления.

Интенсивностьγ – излучения I после прохождении слоя вещества толщиной x можно определить по формуле

,

где I0 - интенсивность γ - излучения, падающего на поверхность вещества.

Рисунок 13.1.

На рисунке 13.1 приведена зависимость линейного коэффициента ослабления от энергии γфотонов для разных веществ.

14. Энергия связи ядра. Дефект массы ядра

Энергия связи ядра определяется величиной той работы, которую нужно совершить, чтобы расщепить ядро на составляющие его нуклоны без придания им кинетической энергии.

Из закона сохранения энергии следует, что при образовании ядра должна выделяться такая же энергия, какую нужно затратить при расщеплении ядра на составляющие его нуклоны. Энергия связи ядра является разностью между энергией всех свободных нуклонов, составляющих ядро, и их энергией в ядре.

При образовании ядра происходит уменьшение его массы: масса ядра меньше, чем сумма масс составляющих его нуклонов. Уменьшение массы ядра при его образовании объясняется выделением энергии связи

или

,

где - массы протона, нейтрона и ядра соответственно; - дефект массы ядра, представляющий собой разность между суммой масс покоя частиц, составляющих ядро, и массой покоя ядра.

Масса ядра измеряется в атомных единицах массы (а.е.м.) или мегаэлектронвольтах (МэВ). 1 а.е.м. равна массы атома углерода – 12 и составляет кг или 931,4812 МэВ (931,5 МэВ).

В таблицах обычно приводятся массы атомов , которые связаны с массами ядер соотношением

,

где - масса электрона.

Поэтому дефект массы ядра выражается следующим образом

.

Здесь - масса атома водорода (протон + электрон); - масса нейтрона; - масса атома (протоны + электроны); с – скорость света; - энергия связи.

Дефект массы на 1 нуклон рассчитывается по формуле

(14.1)

Энергией связи нуклона в ядре называется физическая величина, равная той работе, которую нужно совершить для удаления нуклона из ядра без сообщения ему кинетической энергии.

Удельной энергией связи ядраназывается энергия связи, приходящаяся на один нуклон. Удельная энергия связи ядра составляет в среднем 8 МэВ/нуклон. По мере увеличения числа нуклонов в ядре удельная энергия связи убывает.

Критерием устойчивости атомных ядер является соотношение между числом протонов и нейтронов в устойчивом ядре для данных изобар (А=const).



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Данилова релятивистской механики

    Методическое пособие
    ... к.т.н., Омского института (филиала) РГТЭУ Данилова, О.Т. Основы релятивистской механики: Учебно ... –методическое пособие. / О.Т. Данилова – Омск: Издатель ИП Погорелова Е.В., ... Закон Мозли Элементы физики атомногоядра и элементарных частиц Энергия ...
  2. Атомной энергетики библиографический указатель литературы поступившей в библиотеку иатэ

    Документ
    ... пособие для мед. вузов / ред. Л. А. Данилова. - СПб. : Сотис, 2007. - 152 с. ... регулирование безопасности при использовании атомной энергии" перечня нормативных правовых ... 539.12 И 97 Ишханов Б. С. Частицы и атомныеядра : учеб. для студ. вузов / Б. С. ...
  3. Атомной энергетики библиографический указатель литературы поступившей в библиотеку иатэ (2)

    Документ
    ... пособие для мед. вузов / ред. Л. А. Данилова. - СПб. : Сотис, 2007. - 152 с. ... регулирование безопасности при использовании атомной энергии" перечня нормативных правовых ... 539.12 И 97 Ишханов Б. С. Частицы и атомныеядра : учеб. для студ. вузов / Б. С. ...
  4. Знаки внимания отклики отзывы рецензии

    Документ
    ... в душе нехватило боли. Альтиста Данилова (в романе В.Орлова) наказали повышенной ... видит. Так, невозможно понять атомноеядро, не зная сильных взаимодействий, ... 2 и 4 января, я вспоминал "альтиста Данилова", которого наказали способностью чувствовать все ...
  5. Знаки внимания отклики отзывы рецензии

    Документ
    ... в душе нехватило боли. Альтиста Данилова (в романе В.Орлова) наказали повышенной ... видит. Так, невозможно понять атомноеядро, не зная сильных взаимодействий, ... 2 и 4 января, я вспоминал "альтиста Данилова", которого наказали способностью чувствовать все ...

Другие похожие документы..