textarchive.ru

Главная > Автореферат диссертации


www.diplomrus.ru®

Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок

Содержание

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение... 4

Глава 1. Центр полугруппового кольца над произвольной полугруппой ... 9

1.1. Определение полугруппового кольца... 9

1.2. Центр полутруппового кольца... 11

1.3. Тривиальные полугрупповые кольца... 14

Глава 2. Центр полугруппового кольца над полугруппой ISn 16

2.1. Определение и свойства полугруппы ISn... 16

2.2. Центр полугруппы ISn... 19

2.3. Количественные характеристики полугруппы ISn... 21

2.4. Полугрупповое кольцо над полугруппой ISn... 25

2.5. Центральные элементы кольца K[ISn] с групповым носителем ... 26

2.6. Центральные элементы кольца K[ISn] со смешанным носителем ... 33

2.7. Способы получения центральных элементов кольца К[ISn]

со смешанным носителем... 35

2.8. Строение элементов из носителя наибольшего ранга центрального элемента полугруппового кольца К [ISn]... 49

2.9. Необходимые условия центральности элемента полугруппового кольца K[ISn]... 53

2.10. Строение центральных элементов ранга 1 полугруппового кольца K[ISn]... 66

2.11. Строение центральных элементов ранга 2 полугруппового кольца K[ISn]... 66

2.12. Строение центральных элементов полугруппового кольца K[IS3]... 74

2.13. Строение центральных элементов с групповым носителем полугруппового кольца K[ISn]... 78

Глава 3. Центр полугруппового кольца над подполугруппами

полугруппы ISn... 82

3.1. Подполугруппы полугруппы ISn... 82

3.2. Определение и свойства полугруппы Юп... 85

3.3. Полугрупповое кольцо над полугруппой Юп... 87

3.4. Строение центральных элементов полугруппового кольца К[Юп)... 88

3.5. Центр полугруппы Юп... 91

Глава 4. Центр полугруппового кольца над полугруппой /5^ 93

4.1. Определение и свойства полугруппы ISoo... 93

4.2. Центр полугруппы IS^... 94

4.3. Полугрупповое кольцо над полугруппой IS^... 95

4.4. Строение центральных элементов полугруппового кольца

Список литературы... 98

Введение

Целью данной работы является выяснить строение центров полугрупповых колец над полугруппами ISn и 10п над произвольным кольцом с единицей характеристики 0.

Теория полугрупповых колец имеет уже долгую историю и богата содержательными результатами.

Исследования полугрупповых колец ведутся во многих направлениях: полупростота полугруппового кольца относительно того или иного радикала; наличие или отсутствие особых элементов колец; строение идеалов того или иного типа.

Одним из направлений является исследование строения центров полугрупповых колец.

Изучением строения центров полугрупповых колец занимались такие математики, как Потемкин Л.В., Руколайне А.В., Понизовский И.С, а также Crabb J.N., Munn W.D. и другие.

В исследованиях по строению полугруппового кольца необходимо обращать внимание на строение основного кольца и на строение полугруппы, над которой рассматривается данное полутрупповое кольцо. Даже отсутствие большого числа центральных элементов полугруппы не гарантирует тривиального строения центра самого полугруппового кольца.

Это сочетание теории полугрупп и классической теорией колец, а также ее приложения в современных отраслях знаний (например, этому посвящены работы А.В. Келарева) вызывает неподдельный интерес к теории полугрупповых колец и, в частности, к данному направлению исследования.

Строение центра полугруппового кольца в большей мере определяется строением самой полугруппы. Поэтому авторы работ по данной теме ограничиваются исследованиям центров полугрупповых колец над "более простыми" полугруппами.

В работах Понизовского И.С. (в частности [27]) исследуется вопрос о строении центров полугрупповых колец над инверсными полугруппами, в частности над инверсными полугруппами с конечным числом идемпо-тентов.

Известен результат о строении центра полугруппового кольца над би-циклической полугруппой ([17], proposition 19.40). В работе [6] этот результат обобщается на полугруппу Рейли.

Ряд работ Krempa J. были также направлены на исследование центров полугрупповых колец (работы [20] и [21]).

Особую роль в изучении строения центров полугрупповых колец сыграли, так называемые, идемпотенты Руколайна А.В. (работы [30], [31], [32]).

В работах [28] и [29] дается описание центра полугруппового кольца над полугруппами всех преобразований и частичных преобразований конечного множества X. Предложенные формулы строения центрального элемента имеют большую теоретическую значимость, но для практического применения достаточно сложны (даже для малых рангов центральных элементов или определенного типа элементов полугруппы, например, групповых).

В данной же работе показывается, какими свойствами должны обладать элементы из носителя и коэффициенты центрального элемента полугруппового кольца над полугруппой ISn и ее подполугруппами, в частности полугруппой Юп.

Обозначения и часть терминологии, используемых в работе, взяты из работ [18] и [19].

В качестве методов исследования используются некоторые общеполу-групповые и общекольцевые методы, а так же методы комбинаторной алгебры.

Данная работа. посвящена полугрупповыми кольцам над полугруппой ISn всех (возможно частичных) инъективных отображений конечного множества N = {1;2;...;п} в себя и над подполугруппами полугруппы ISn г в частности над полугруппой Юп всех (возможно частичных) инъ-

ективных отображений конечного множества в себя, которые сохраняют естественный порядок на множестве N.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы. Нумерация теорем, лемм и примеров общая внутри всей работы.

В главе 1 даются определения полугруппового кольца над произвольной полугруппой с единицей, центра кольца и центра полугруппы; вводятся обозначения supp () и coef () для носителя и множества коэффициентов элемента из полугруппового кольца; рассматриваются определения элемента полугруппового кольца с групповым и смешанным носителями; формулируются и доказываются теоремы, выражающие необходимые и достаточные условия центральности элемента полугруппового кольца.

Леммы и теорема 1 параграфа 1.2 не раз будут использоваться в доказательствах теорем других параграфах.

Параграф 1.3 посвящен тривиальным полугрупповым кольцам, в котором дается соответствующие определение и приводятся примеры таких колец.

В главе 2 в параграфе 2.1 дается определение полугруппы /5„; вводится понятие ранга и обозначения dom() и im() для элемента из ISn.

Большую роль в дальнейшем играют групповые элементы полугруппы ISn. В связи с этим рассматриваются леммы 7 и 8. В параграфе 2.2 доказывается, что центр полугруппы ISn состоит лишь из тождественного и нулевого отображений множества N.

В доказательствах того, что элементы из полу группового кольца над полугруппой ISn некоторых видов являются центральными будут использованы комбинаторные методы (см. параграфы 2.5, 2.6 и 2.7). Поэтому отдельным параграфом идет материал, связанный с количественными характеристиками полугруппы ISn-

В параграфе 2.4 даются определения полутруппового кольца K[ISn] и ранга элемента из этого кольца. В дальнейшем рассматриваются кольца К характеристики 0 и с единицей.

В параграфах 2.5 и 2.6 приводятся примеры центральных элементов полу группового кольца K[ISn]: с групповым носителем (носитель состоит

лишь из групповых элементов, точнее из единиц максимальных подгрупп полугруппы ISn) и со смешанным носителем (носитель этих элементов состоит как из групповых элементов, так и негрупповых элементов полугруппы ISn). Показывается, что хотя центр полугруппы ISn состоит лишь из двух элементов, но центр полугруппового кольца над этой полугруппой сложно устроен.

В параграфе 2.7 даются два способа получения центральных элементов полугруппового кольца над полугруппой ISn со смешанным носителем. Основными теоремами являются теоремы 6 и 7.

Теорема 7 показывает, что множество элементов наивысшего ранга из носителя центрального элемента из K[ISn] распадается, в некотором смысле, на классы смежности, то есть на множества, выдерживающие умножения справа и слева на элементы из ISn. Это используется для описания центральных элементов из K[ISn] для случая п = 3 — теорема 15 параграфа 2.12.

Одной из основных теорем работы является теорема 8 из параграфа 2.8. В этой теореме говорится, что элементы из носителя центрального элемента из K[ISn], ранг которых совпадает с рангом этого центрального элемента, являются групповыми.

В параграфе 2.9 приводятся ряд теорем, являющихся необходимыми условиями центральности элемента полугруппового кольца K[ISn]. Для выяснения свойств центрального элемента из K[ISn], оказывается, большую роль играют негрупповые элементы полугруппы ISn (см. леммы 21 и 22 этого параграфа) в сочетании с единицами максимальных подгрупп (см. теоремы 11 и следствие 14).

Основные результаты этого параграфа — лемма 21, теоремы 9 и 10.

Используя теоремы из параграфа 2.8 и 2.9 получаем строение центральных элементов из K[ISn] рангов 1 и 2 (см. теоремы 12 и 14 из параграфов 2.10 и 2.11).

Далее, основной теоремой всей работы является теорема 16 параграфа 2.13, показывающая, что все элементы из носителя центрального элемента с групповым носителем являются единицами максимальных подгрупп

полугруппы ISn.

В главе 3 в начале рассматриваются примеры подполугрупп полугруппы ISn и центры полу групповых колец над этими подполугруппами.

Основным параграфом этой главы является параграф 3.4, в котором описывается строение центральных элементов полугруппового кольца над полугруппой 10п: носитель этих элементов состоит лишь из единиц полугруппы Юп.

В главе 4 в параграфе 4.1 дается определение полугруппы /S^ как полугруппы всех инъективных отображений множества натуральных чисел в себя с конечной областью определения и присоединенной внешним образом единицей.

Основным результатом данной главы является теорема 22, устанавливающая тривиальность полугруппового кольца над полугруппой ISoo-

Результаты диссертации докладывались на третьей всероссийской молодежной научной школе-конференции (декабрь 2003 г, г. Казань), на алгебраических семинарах Поморского государственного университета (2002-2004 гг.), на XL всероссийской конференции по проблемам математики, физики и химии (апрель 2004 г, г. Москва).

ГЛАВА 1

Центр полугруппового кольца над произвольной

полугруппой

1.1. Определение полугруппового кольца

Пусть К — кольцо с единицей 1 и S — полугруппа с единицей е. Обозначим через Ks абелеву группу, элементами которой служат всевозможные формальные суммы вида Y. Хдд, где Хд ? К и почти все \д

gzS равны нулю, а сложение определяется равенством

Е \9 + Е № = Е (^

geS g€S g€S

Полугрупповым, кольцом полугруппы S над кольцом К (оно обозначается через Я"[5]) называется группа Ks с умножением, определенным равенством

("еа^)(ем) = Е| Е A,aJ/.

\geS / \heS / f€S y^vts J

Это определение означает, что произведение двух формальных сумм вычисляется по обычным правилам умножения многочленов с последующим приведением подобных членов.

Каждый элемент g из полугруппы S отождествляется с элементом lg, а каждый элемент А из кольца К — с элементом Ае. В частности единицу кольца K[S] можно рассматривать и как единицу кольца К, и как единицу полугруппы S. Кроме того, при принятом соглашении считается, что Хд = дХ для любых A G К и д (Е S.

Отметим, что любой элемент а из K[S] единственным образом представляется в виде формальной суммы X)

Если полугруппа S не содержит единицу, то также можно рассматривать полугрупповое кольцо if [5]. При этом полугрупповое кольцо К [S] может содержать единицу.

Пример 1. Пусть п — некоторое фиксированное натуральное число. Полугруппа S = {е^|1 < i,j < га} U {0} с умножением: о, Ml,

не содержит единицу. Хотя полугрупповое кольцо K[S] codepotcum единицу е = бц + е22 + • • • + епп.

Если а = Е \gg — элемент из K[S], то множество

supp (a) = {g € S\Xg ф 0} называется носителем элемента а. В частности

а = 0 <=> supp (a) = 0. Если о = Е А^ — элемент из -ftTf/S], то множество

coef (a) = {\д ? К\д eS,Xg^ 0}

называется множеством коэффициентов элемента а. В частности

а = 0 О coef (a) = 0.

Элемент полугруппы S называется групповым, если он принадлежит некоторой подгруппе полугруппы S.

Пусть a G К[5], о ^0, Если все элементы из носителя элемента a являются групповыми элементами полугруппы S, то элемент о будем называть элементом с групповым носителем; если же все элементы из носителя элемента а являются негрупповыми, то элемент о будем называть элементом с негрупповым носителем; в противном случае элемент а будем называть элементом со смешанным носителем.

1.2. Центр полу группового кольца

Пусть L — кольцо. Центр кольца L обозначим C(L), то есть C(L) = {ce L\(Va e L)(c -a = a- с)}.

Элементы из C(L) будем называть центральными элементами кольца L. Очевидно, что нулевой элемент кольца L является центральным элементом, а значит, C(L) ф 0.

Лемма 1. Пусть K[S] — полугрупповое кольцо над полугруппой S с единицей е. Тогда если с е C(K[S]), то coef (с) С С(К).

Доказательство

Пусть с = aigi + a2g2 • • • +

с • ае = ае ¦ с, то есть

(aicOGne) + (a2a)(g2e) + ... + (asa)(g8e) =

= {aai)(egi) + (aa2){eg2) + ... + (aas){egs),

(oc\a)gi + {a2a)g2 + ... + (asa)gs =

= (ocai)gi + (aa2)g2 + ... + (aas)g3.

Следовательно, ща = осщ для всех г = 1,2,..., s. Значит, для любого с G C(K[S]) справедливо, что coef (с) С С(К). Ш

Заметим, что если a G С (К), то ае G C(K[S}). Следовательно,

{0}1|( U coef (с)) =С(К).

Пусть S — произвольная полугруппа. Центр полугруппы S обозначим C(S), то есть

C(S) = {geS\(VheS)(g-h = h- g)}.

Элементы из центра полугруппы C(S) будем называть центральными элементами полугруппы S.

Лемма 2. Пусть K[S] — полугрупповое кольцо над полугруппой S с единицей е. Тогда любой элемент с из K[S], для которого supp (с) С C(S) и coef (с) С С(К), принадлежит центру C(K[S]).

Следствие 1. Пусть K[S] — полугрупповое кольцо над полугруппой S с единицей е. Тогда C(S) С C(K[S]).

Лемма 3. Пусть K[S] — полугрупповое кольцо над коммутативной полугруппой S с единицей е. Тогда C(K[S]) = C(K)[S].

Пример 2. Пусть S = {е; д}, где gg — g или gg = e. Тогда C(K[S]) = {осе + 0g\a, 0 € С (К)} = C(K)[S].

Лемма 4. Пусть K[S] — полугрупповое кольцо над полугруппой S

с единицей е. Тогда C(S) С (J supp (с).

~ ceC(K[S])

Следующая лемма является обобщением леммы 2 для произвольного подмножества полугруппы S с единицей е.

Для произвольного множества М через символ \М\ будем обозначать его мощность.

Пусть М = {hi; /12; •..; hp} С 5; g G S. Определим множества gM и Мд следующим образом:

gM = {ghi; gH3;...; ghp}, Mg = {hig; H3g;...; hpg}.

Лемма 5. Пусть М = {hi; H3;...; hp} — подмножество полугруппы S с единицей е. Если для любого элемента g € S справедливо, что gM = Мд и \дМ\ = \М\, то элемент с = ? hi ? K[S] принадлежит центру С(K[S]).

Доказательство

Пусть а - Е <ЗД в K[S].

Так как по условию дМ = Мд и |рМ| = |М|, то уравнения hjgi = gix и У 9% — 9ihj имеют единственные решения hj и hj соответственно во множестве М. Значит, supp {{otigi) • с) = supp (с • (агрг)). Поэтому

ТогдаСледовательно, с G C(-ftT[S]). ¦

Следствие 2. Пусть Mj = {hji; hj2',...; hjPj} — подмножества полугруппы S с единицей е, где j = 1,2,..., s, которые обладают теми же свойствами, что и множество М в лемме 5 и а\, с*2,..., as G С (К).

Тогда элемент

принадлежит центру C(K[S]).

Теорема 1. Ненулевой элемент с полугруппового кольца K[S] над полугруппой S с единицей е является центральным тогда и только тогда, когда (\/д € S)(cg — дс) и coef (с) С С {К).

Доказательство

Докажем необходимое условие.

Пусть с — центральный элемент полугруппового кольца ^[S'j. Тогда coef (с) С С {К) и элемент с коммутирует с любым элементом из кольца К [5]. Учитывая, что кольцо К содержит единицу, то все элементы из полугруппы S принадлежат кольцу ^[S]. Тогда, в частности элемент с коммутирует со всеми элементами из 5, то есть (V<7 G S)(cg = дс).

Демма 6. Пусть S' — подполугруппа с единицей е' полугруппы S с единицей е; с — центральный элемент полугруппового кольца K[S\, причем supp (с) С S'. Тогда с — центральный элемент полугруппового кольца K[S'].

Доказательство

Заметим, что K[S'] С K[S].

Так как с — центральный элемент полу группового кольца ^[•S'], то элемент с коммутирует со всеми элементами из K[S], в частности со всеми элементами из i^[5"]. Учитывая, что supp (с) С 5', то с € C(K[Sf]).

Следствие 3. Пусть S' — подполугруппа с единицей е' полугруппы S с единицей е. Тогда C(K[S']) С C(K[S]).

1.3. Тривиальные полугрупповые кольца

Полугрупповое кольцо K[S] над полугруппой 5 с единицей называется тривиальным, если центр кольца K[S] изоморфен кольцу С (К).

Пример 3. Пусть RI — полугруппа правых единиц с единицей е, то есть (Vp, h G RI)(gh — g) (значит, RI не содероюит нуля), причем

\RI\ > 2. Тогда полугрупповое кольцо K[RI] является тривиальным. Пусть с G C(K[RI]), с ф О и с = ? оц9и где gi,#2,...,gs не равны

Так как с € C(if[.ft/]), то сд\ = д\с. Значит, «2 = ... = cts = 0. Из равенства сдч = дус следует, что ос\ = 0.

Следовательно, если с € C(.K"[.R/]), то с = ае, где а Е С (К). Значит, полугрупповое кольцо K[RI] тривиально.

Пример 4. Пусть S — полугруппа из примера 1; К — кольцо с единицей без делителей нуля. Тогда полугрупповое кольцо K[S] является тривиальным.

ГЛАВА 2 Центр полугруппового кольца над полугруппой ISn

2.1. Определение и свойства полугруппы ISn

Пусть N = {1; 2;...; п}, где п — некоторое натуральное число.

Для частичного отображения д : N —> N через символы dom (g) и im(p) обозначим множества, являющиеся его областью определения и областью значений соответственно. Очевидно, что dom (g) С N и im (p) С N.

Множества dom (g) и im (g) отображения д также будем называть множествами прообразов и образов соответственно отображения д.

Нулевым отображением назовем отображение 0 : N —У N, для которого dom (0) = 0 (а значит, и im (0) = 0).

Определим полугруппу ISn как полугруппу всех (возможно, частичных) инъективных отображений д : N —> N, в которой произведение элементов g,h G ISn определяется следующим образом:

(gh)(x) = h(g(x))

для всякого элемента х €. N. Будем считать, что нулевое отображение 0 в ISn.

Если д ? ISn, то д является инъективным отображением. Следовательно, |dom (д) | = |im (g) | и число rank (g) = jdom (g) | назовем рангом элемента д. Очевидно, что

rank (gh) < min( rank (g), rank (h))

для любых элементов g,h G ISn.

Отметим, что rank (g) < n для любого элемента д € ISn и rank (0) = 0.

Пусть д б ISn. Если dom (g) = {t"i; г2;...; im} и #(г'/) = # для всех I = 1,2,..., т, то будем использовать следующие табличное представление элемента д:

(Ч Ч 31 П ••• jm

Тогда im (g) = {л; j2;...; jm} и rank (5) = т.

Также будем писать дт, указывая при необходимости верхним индексом ранг элемента д € ISn-

Будем говорить, что "столбец не входит в запись элемента дт ",

если либо для г нет образа относительно частичного отображения дт (то есть j ? im(gm)), либо есть образ, но не равен j. т G ISn элементы Л к ... З )

гп _ ( Я 32 ••• jm \ m _ ( Ч i2 . .

V Л 31 • • • Зт ) \ii г2 ..

являются правой и левой единицами соответственно. Заметим, что при этом элементы

т+к _ f Л • * ' Jm jm+l - • • jm+k | m+k _ ( *1 • • • г'т *m+l \ Jl ••• Jm Jm+l • • • Зт+k J \ 4 • • • *m »m+l

также являются правой и левой единицами соответственно для элемента дт, где & = 0,..., п — т. При этом будем говорить, что правая единица ет является "составной частью" правой единицы e^+k, где к = 0,..., п — т.

г> л tk [ *i *2 • • • ** ^ т (Ч h ... h • • Л

Вообще, если }К = и от = , то

будем говорить, что элемент fk является составной частью элемента

Будем считать, что нулевое отображение является составной частью любого элемента полугруппы /5П.

Полугруппа ISn является полугруппой с единицей



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Www diplomrus ru ® (266)

    Литература
    www.diplomrus.ru ® Авторское выполнение ... пространстве плоской G-связности Н. Предположим, что re : I—+ В - кусочно-гладкая петля, а х : / ... отображения : Е -> Е и RE : Е х Д¦ -> ?7, i?s(v, 5) = i?f (v). Ясно, что RE - однозначное действие группы Д на ...
  2. Www diplomrus ru ® (22)

    Автореферат диссертации
    www.diplomrus.ru ® Авторское выполнение научных работ любой ... Sj такие, что г\-\---\-rq < гс, 0 < s\ < ri, • • • , 0 < sq < r?. Теорема 2.4.1. Пусть R есть ... автоморфизмами основного кольца R. Ясно, что RA(V) и KT(V) являются подгруппами группы ...
  3. Www diplomrus ru ® (31)

    Литература
    www.diplomrus.ru ® Авторское выполнение научных работ ... кольцо с тождеством хп = 0 нилъпотентно индекса d^\ri). Тогда, если в l-порожденном полукольце S ... 0, хп~1 Ф О, элемент х -4/ у обратим, lR.{xn~l) П Ry = (0) и угх = 0, где Далее будут введены ...
  4. Www diplomrus ru ® (117)

    Литература
    www.diplomrus.ru ® Авторское выполнение научных работ ... обозначения: Ny - опорная грань {х Е N\ry(x) = min7(y)} многогранника N С Кп относительно ... 1-формы ш определяется равенством (Rea;)(v) = Re(u>({T)) для любого касательного вектора v (в частности ...
  5. Www diplomrus ru ® (263)

    Задача
    www.diplomrus.ru ® Авторское выполнение научных ... = CijkSk, {Si, Rj} — eijkRk, {Ri, Rj} = tijkSk- (1) /l23 где € ... = €ijkSk, {Si, Rj} = tijkRk, {Ri, Rj} = 4jhSh- (1-1) /l 23 где €ijk ... у i j к Координаты (Si, S2, S3) и (Ri, R2, R3) удобно рассматривать как ...

Другие похожие документы..