textarchive.ru

Главная > Методическое пособие


Данилова О.Т.

Основы релятивистской механики

Учебно – методическое пособие

Омск

2009

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПОРОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ОМСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Кафедра «Торговое дело»

Данилова О.Т.

Основы релятивистской механики

Учебно – методическое пособие

Для студентов, обучающихся по специальности:

080401 «Товароведение и экспертиза товаров

(продовольственных, непродовольственных)»

Омск

2009


УДК 53 (075.4)

Д 18

Рецензенты:

Широков И.В., д.ф.-м.н., профессор Омского филиала НГАВТ

Худякова О.Д., заместитель директора по научно-методической работе, к.т.н., Омского института (филиала) РГТЭУ

Данилова, О.Т. Основы релятивистской механики: Учебно–методическое пособие. / О.Т. Данилова – Омск: Издатель ИП Погорелова Е.В., 2009. – 76 с.

Учебно – методическое пособие предназначено для студентов очной, заочной форм обучения по специальности 080401 «Товароведение и экспертиза товаров (продовольственных, непродовольственных)» по курсу «Физика». Оно содержит общие рекомендации к решению и оформлению задач, указания к решению задач по теме «Основы релятивистской механики», примеры решения, вопросы для самоконтроля, задачи для самостоятельного выполнения контрольных работ в межсессионный период.

УДК 53 (075.4)

 Данилова О.Т., 2009

 Омский институт (филиал) РГТЭУ, 2009.


Методические указания к выполнению самостоятельной работы

Настоящее учебно – методическое пособие соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности 080401 «Товароведение и экспертиза товаров (продовольственных, непродовольственных)» по курсу «Физика» и рабочей программе дисциплины, в частности теме «Основы релятивистской механики» /1/.

Учебно- методическое пособие преследует две цели:

а) оказать помощь студентам различных форм обучения в изучении темы «Основы релятивистской механики»;

б) научить студентов самостоятельно решать задачи по физике, поскольку решение задач помогает уяснить смысл явлений, закрепляет в памяти формулы, прививает навыки практического применения теоретических знаний.

Для достижения первой цели в пособии приведен теоретический материал по заданной теме и контрольные вопросы. Вторая цель достигается, прежде всего, введением значительного числа разнообразных задач и примеров их решения.

Самостоятельную работу выполняют в отдельной тетради. Для замечаний преподавателя оставляют поля. В конце работы следует привести список использованной литературы.

При выполнении работы следует руководствоваться следующими рекомендациями.

1. Приступая к изучению определенного раздела физики, прежде всего, следует ознакомиться с содержанием программы по этому разделу /1/.

2. Начиная изучать материал какого – либо параграфа, прежде всего, следует прочесть весь параграф для общего ознакомления, не задерживаясь на трудном материале. При повторном чтении рекомендуется вдумываться в смысл приведенного материала, а выводы формул, определения физических величин, единицы их измерения, а также формулировки законов записывать, используя в затруднительных случаях учебник /2/. Материал можно считать усвоенным, если при его повторении не возникает необходимости заглядывать в книгу или свои предварительные записи (конспект).

3. Условия задач переписываются полностью. Сокращение слов, кроме общепринятых, недопустимо.

4. Решение задач сопровождается ссылками на конкретные разделы и параграфы рекомендованных учебников и пособий /2,3,4/. Однако эти ссылки не освобождают от необходимости знать и другие темы курса, пройденные ранее, которые необходимы для решения задач.

5. Значения величин, заданных в условии и взятых из справочных таблиц, записываются для наглядности сокращенно (столбиком). Все величины должны быть выражены в единицах одной и той же системы. Преимущество надо отдавать Международной системе единиц (СИ).

6. Решения задач должны сопровождаться краткими, но исчерпывающими пояснениями. При объяснении решения задач указывают основные физические законы и формулы, на которых базируется решение, обязательно разъясняют все буквенные обозначения. Если при решении задач применяют формулу, полученную для частного случая, не выражающую какой – нибудь физический закон, или не являющейся определением какой – либо физической величины, то следует привести или вывод этой формулы или ссылку на первоисточник, в котором эта формула была приведена.

7. Если позволяет характер задачи, обязательно делают схематический рисунок, поясняющий содержание задачи. Выполнять его надо аккуратно, с помощью чертежных принадлежностей или соответствующего программного обеспечения. Все обозначения на рисунке должны соответствовать выписанным данным задачи.

8. Все задачи полезно решать до конца в общем виде (т.е. в буквенных обозначениях), так чтобы искомая величина была выражена через заданные величины. Решение в общем виде позволяет установить закономерность, показывающую, как зависит искомая величина от заданных величин.

9. Получив решение в общем виде, следует подставить в правую часть рабочей формулы вместо символов величин обозначения единиц, произвести с ними необходимые действия и убедиться в том, что полученная при этом единица соответствует искомой величине. Неверная единица измерения есть явный признак ошибочности решения.

10. Числовые значения физических величин всегда являются приближенными. Поэтому при расчетах необходимо руководствоваться правилами действий с приближенными числами. В частности, в полученном значении вычисленной величины нужно сохранить в последнем тот знак, единица которого еще превышает погрешность этой величины. Все следующие цифры надо отбросить.

11. При подстановке в рабочую формулу, а также при записи ответа числовые значения следует записывать как произведение десятичной дроби с одной значащей цифрой перед запятой на соответствующую степень десяти. Например, вместо 3520 надо записать , вместо 0,00129 записать и т.д.

12. Получив числовой ответ, оцените его правдоподобность. Такая оценка поможет в ряде случаев обнаружить ошибочность полученного результата. Так, например, радиус атома не может быть порядка 1 м, скорость тела нее может оказаться больше скорости света в вакууме и т.п.

По данной теме студенты должны выполнить самостоятельную работу, содержащую 3 задачи различного уровня сложности и два контрольных вопроса.

По степени сложности задачи различают по трем уровням:

- репродуктивные, связанные с воспроизведением информации в том виде, в котором она излагалась в учебном издании или преподавателем;

- стереотипные, представляющие собой выполнение работы по образцу;

- творческие, предполагающие самостоятельное отыскание способа выполнения задания.

Номера задач и вопросов, а также срок сдачи задания определяются преподавателем.

Навыки в решении задач оцениваются преподавателем по результатам проверки самостоятельной работы и опроса студентов на практических занятиях.

1. Преобразования Галилея. Принцип относительности Галилея в классической механике

«Если среди систем отсчёта движущихся друг относительно друга прямолинейно, равномерно и поступательно, есть хотя бы одна инерциальная, то и все остальные системы тоже инерциальные».

Это положение, сформулированное Галилеем, является основным утверждением принципа относительности в классической механике.

Главная особенность инерциальных систем отсчёта состоит в том, что динамические законы механики - законы Ньютона - во всех таких системах имеют одинаковый вид. Кинематика одного и того же движения в разных инерциальных системах может быть разной, а законы динамики остаются неизменными.

Рассмотрим две системы отсчёта: S(x, y, z) и S’(x’, y’, z’): одна из них - S(xyz) - инерциальная, а другая - S’(x’, y’, z’) - движется относительно первой с неизменной скоростью поступательного движения . Примем для простоты, что в начальный момент времени они совпадали.

Запишем движение точки М в этих двух системах, задав это движение радиус-векторами и соответственно в системе S и S’ (рис. 1).

Эти радиус-векторы связаны простым соотношением:

.

Здесь - радиус-вектор, определяющий положение точки О’ системы S’ в системе отсчёта S.

Понятно, что к моменту времени t:

.

Таким образом,

. (1.1)

Это первая формула преобразований Галилея.

Рисунок 1.

Спроецировав (1.1) на координатные оси, запишем это преобразование в скалярной форме:

(1.2)

В классической механике формулы преобразования координат (4.1) и (4.2) дополняются утверждением, что время в обеих системах отсчёта течёт одинаково:

t = t’. (1.3)

Таким образом, формулы преобразований предполагают абсолютность длин и времени в нерелятивистской классической механике.

При переходе из одной системы в другую, координаты движущейся точки меняются. Параметры, обладающие таким свойством, называются вариантными. Время в обеих системах отсчёта остаётся одинаковым, то есть время - инвариант.

Будет ли меняться при переходе в новую систему отсчёта скорость движущейся точки М?

Для ответа на этот вопрос рассмотрим первую производную радиус-вектора (1.1) и координат точки (1.2) по времени:

, (1.4)

(1.5)

Формулы (1.4) и (1.5) выражают нерелятивистский закон сложения скоростей. Здесь - скорость частицы М в системе отсчёта S. - скорость в системе отсчёта S’. - скорость штрихованной системы отсчёта относительно инерциальной системы S. Скорость оказывается разной в разных системах отсчета, т.е. она вариантна.

Дифференцируя (1.4) ещё раз по времени, получим:

,

здесь последнее слагаемое равно нулю, так как скорость движения системы S’ по условию постоянна. Значит:

. (1.6)

Этот результат означает, что ускорение инвариантно относительно преобразования Галилея. Координаты движущейся частицы, её скорость различны в разных системах отсчёта, а ускорение остаётся неизменным при переходе из системы S в систему S’.

Если система S инерциальна, то свободная частица в ней движется без ускорения, то есть, а = 0. Но ускорение такой частицы и в системе S’ будет отсутствовать: ведь а’ = а =0! Это означает, что она тоже является инерциальной.

Сила, действующая на частицу в системе S может быть записана так:

.

А в системе штрихованной та же сила должна быть представлена иначе:

.

Так как ,

. (1.7)

Следовательно, уравнение движения не изменяется при переходе от одной инерциальной системы к другой. Таким образом: уравнения механики Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея.

Это утверждение носит название принципа относительности Галилея. Из него следует, что никакими механическими опытами, проведенными внутри данной системы отсчета, нельзя установить, находится ли система в покое или движется равномерно и прямолинейно.

2. Примеры решения задач

1. Может ли электрон двигаться со скоростью, превышающей скорость света в данной среде?

Решение. Может, но его скорость все равно меньше скорости света в вакууме.

2. Две прямые дороги пересекаются под углом  = 600. По ним к перекрестку приближаются два автомобиля: грузовик со скоростью V1= 54 км/ч и “Жигули” со скоростью V2 = 72 км/ч. С патрульного вертолета ГАИ заметили, что в некоторый момент времени грузовик находился на расстоянии L1= 500 м, а “Жигули”- L2= 1000 м от перекрестка. Определить:

1. Возможно ли столкновение машин?

2. Каково минимальное сближение машин и когда оно произойдет?

Решение. Ответ на первый вопрос необходимо получить как можно быстрее, и к счастью это можно сделать достаточно просто. Время движения грузовика t1 и время движения “Жигулей” t2 до перекрестка определяются с помощью знакомой со школьной скамьи формулы

После расчета (в системе “СИ”) получаем t1  33 с, t2 = 50 c. Столкновение не произойдет. Теперь можно в спокойной обстановке ответить на другие вопросы задачи.

Как правило, решение подобных задач существенно упрощается, если сделать рисунок или схему ситуации. Отметим, что способов решения этой задачи много (списывание у другого студента здесь и в дальнейшем не принимается в расчет, так как рано или поздно оно приводит к “столкновению” между преподавателем и студентом). Рассмотрим решение, которое является наиболее общим для подобных задач. Выберем систему отсчета с началом координат на перекрестке и осью Ox, направленной навстречу “Жигулям”. Началом отсчета времени будем считать момент фиксации указанных в условии расстояний. В принятой системе отсчета закон движения грузовика будет иметь вид:

Соответственно для “Жигулей”:

По условию начальные координаты и проекции скоростей равны:

Расстояние S между автомобилями определяется с помощью известной из геометрии формулы

или

.

Минимальное сближение автомобилей можно найти из условия минимума этой функции, т.е. равенства нулю производной dS/dt = 0. Чтобы избежать громоздких выкладок подставим в выражение для расстояния S численные данные, а затем найдем производную от подкоренного выражения (его минимум соответствует минимуму S).

где tmin – время минимального сближения. После вычислений получаем tmin46,1 с. Подставляя найденное значение tmin в выражение для расстояния S, найдем минимальное сближение автомобилей

Для получения ответа на последний вопрос задачи необходимо использовать закон сложения скоростей. Будем считать, что движущаяся система отсчета имеет оси координат, параллельные осям координат выбранной ранее системы. Тогда , где - вектор скорости вертолета. Для проекций скорости грузовика получаем

а для “Жигулей”

Используя эти результаты, рассчитываем модули скоростей грузовика

и “Жигулей”

3. Постулаты частной теории относительности

Классическая механика Ньютона достоверно описывает движение макроскопических тел, движущихся со скоростями, намного меньшими скорости света. В конце XIX в. было установлено, что выводы классической механики противоречат некоторым опытным данным. В частности при изучении движения быстрых заряженных частиц оказалось, что их движение не подчиняется законам Ньютона. Далее возникли затруднения при попытках применить классическую механику для объяснения распространения света. Согласно законам электродинамики скорость распространения электромагнитных волн в вакууме одинакова по всем направлениям и приблизительно равна с = 3·108 м/с. Но в соответствии с законами классической физики скорость света может равняться с только в одной избранной системе отсчета. В любой другой системе отсчета, движущейся относительно избранной системы со скоростью v, она должна уже равняться c-v, или c+v. Это означает, что если справедлив закон сложения скоростей классической механики, то при переходе от одной инерциальной системы к другой законы электродинамики должны меняться, так как должна меняться скорость света. Таким образом, обнаружились противоречия между электродинамикой и механикой Ньютона, законы которой согласуются с принципом относительности Галилея. Для преодоления возникших трудностей предлагались различные способы:

1. Принять несостоятельность принципа относительности применительно к электромагнитным явлениям. Еще со времен Фарадея электромагнитные явления рассматривались как процессы в особой, всепроникающей среде, заполняющей все пространство, - эфире. Согласно Х. Лоренцу инерциальная система отсчета, покоящаяся относительно эфира, - это особая система, в которой законы электродинамики Максвелла справедливы. Лишь в этой системе отсчета скорость света в вакууме одинакова по всем направлениям.

2. Считать ошибочными уравнения электродинамики Максвелла и попытаться изменить их таким образом, чтобы они при переходе от одной инерциальной системы к другой (в соответствии с классическими представлениями о пространстве и времени) не менялись. Такая попытка, в частности, была предпринята Г. Герцем, который считал, что эфир полностью увлекается движущимися телами, поэтому электромагнитные явления протекают одинаково, независимо от того, покоится тело или движется. Принцип относительности справедлив.

3. Отказаться от классических представлений о пространстве и времени, с тем, чтобы сохранить и принцип относительности, и законы Максвелла. С этой точки зрения оказываются неточными не уравнения электромагнитного поля, а законы механики Ньютона, согласующиеся со старыми представлениями о пространстве и времени. Таким образом, изменять нужно законы классической механики, а не законы электродинамики Максвелла.

Вспомним, как трактовались пространство и время в классической физике. Пространство рассматривалось как бесконечная пустая протяженность, вмещающая в себе все тела и не зависящая от материи. Время рассматривалось как абсолютный фактор равномерного потока длительности, в котором все возникает и исчезает. При этом время не зависит ни от каких процессов в мире.

Развитие естествознания опровергло эти представления. Никакого абсолютного пространства и времени не существует. Вселенная заполнена материей в форме вещества и поля, а пространство выступает как всеобщее свойство материи. Время всегда связано с движением и развитием материи. Таким образом, пространство – это форма бытия материи, которая выражает ее протяженность и структурность; время – это форма бытия материи, характеризующая длительность существования всех объектов, полей и последовательность смены событий.

Основными свойствами пространства и времени являются: а) единство и неразрывная связь материи, пространства и времени; б) абсолютная непрерывность и относительная прерывность пространства и времени. Непрерывность проявляется в распространении материальных полей в пространстве всех тел и систем, в бесконечном следовании элементов длины при движении тела между двумя точками. Прерывность пространства относительна и проявляется в раздельном существовании материальных объектов и систем, каждая из которых имеет определенные размеры и границы. Прерывность времени характеризуется лишь временем существования качественных состояний материи, каждое из которых возникает и исчезает, переходя в другие формы; в) время обладает длительностью, однонаправленностью, необратимостью.

Последовательно развивая новые, отличные от классических, представления о пространстве и времени, А. Эйнштейн в 1905 г. Эйнштейн предложил отказаться от поиска объяснений, почему скорость света во всех инерциальных системах отсчета оказывается одинаковой. При скоростях движения, сравнимых со скоростью света, справедлива созданная А. Эйнштейном механика специальной теории относительности, или, как ее называют, релятивистская механика. Если в релятивистской механике скорость света устремить к бесконечности, мы получим механику Ньютона.

Принцип относительности Эйнштейна состоит в том, что не только законы механики, но и вообще все физические законы должны не зависеть от выбранной инерциальной системы отсчета. Поскольку распространение света представляет собой физический процесс, его скорость в пустоте должна быть неизменной в эквивалентных системах координат.

Предположение об абсолютности скорости света приводит к целому ряду следствий, необычных и не наблюдаемых в условиях механики Ньютона. Одно из следствие постоянства скорости света состоит в отказе от абсолютного характера времени, который был привит в механике Ньютона. Нужно теперь допустить, что время течет по-разному в разных системах отсчета - события, одновременные в одной системе, окажутся неодновременными в другой.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета K и K', движущиеся относительно друг друга. Пусть в темной комнате, движущейся с системой K', вспыхивает лампа. Поскольку скорость света в системе K' равна (как и во всякой системе отсчета) c, то свет достигает обеих противоположных стен комнаты одновременно. Не то будет происходить с точки зрения наблюдателя в системе K. Скорость света в системе K также равна c, но так как стены комнаты движутся по отношению к системе K, то наблюдатель в системе K обнаружит, что свет коснется одной из стен раньше, чем другой, т.е. в системе K эти события являются неодновременными.

Таким образом, в механике Эйнштейна относительны не только свойства пространства, но и свойства времени.

Фундаментом специальной теории относительности являются два постулата Эйнштейна:

1. Принцип относительности: законы природы инвариантны (неизменны) во всех инерциальных системах отсчета.

Это обобщение принципа относительности Ньютона на законы не только механики, но и всех других областей физики, носит название принципа относительности Эйнштейна. Из этого постулата следует, что никакими опытами (механическими, электрическими, оптическими и др.), проведенными внутри данной системы отсчета, нельзя установить находится ли она в покое, или движется равномерно и прямолинейно.

2. Принцип инвариантности скорости света: скорость света в вакууме одинакова в любых инерциальных системах отсчета.

Согласно специальной теории относительности (СТО) скорость света в вакууме является абсолютной величиной, а такие абсолютные с точки зрения классической механики Ньютона понятия, как длина и время, стали относительными.

Из постулатов Эйнштейна следует, что скорость света в вакууме является предельно возможной. Никакой сигнал, никакое воздействие одного тела на другое не могут распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме.



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Данилова атомного ядра

    Учебно-методическое пособие
    ... Омского института (филиала) РГТЭУ Данилова, О.Т. Физика атомного ядра: ... основе представлений классической электродинамики и механики. В 1904 году появились ... формулами для релятивистского импульса и кинетической энергии релятивистской частицы. Для ...
  2. ФИЗИЧЕСКАЯ КАРТИНА МИРА ЛОГИКО-ГНОСЕОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ И ОНТО-ГНОСЕОЛОГИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ К УРСК 2008

    Книга
    ... квант действия стремящимся к нулю (h  0). Релятивистскаямеханика превращается в механику Ньютона при малых скоростях движения ... . – б. Вигнер Е. Этюды о симметрии / Пер. с англ. Ю. А. Данилова; Под редакцией Я. А. Смородинского – М.: Мир, 1971 ...
  3. Биологические науки 2 Военная наука

    Документ
    ... : Методические рекомендации для учителя/Д. Д. Данилов, О. А. Данилова, С. С. Кузнецова.-М.:Баласс,2001.-255, [1] с. .-ISBN ... . Гольденблат, Иосиф Израилевич. "Парадоксы времени" в реля­тивистскоймеханике/И. И. Гольденблат.-М.:Наука,1972.-80 с.:ил ...
  4. Биологические науки 2 Военная наука

    Документ
    ... : Методические рекомендации для учителя/Д. Д. Данилов, О. А. Данилова, С. С. Кузнецова.-М.:Баласс,2001.-255, [1] с. .-ISBN ... . Гольденблат, Иосиф Израилевич. "Парадоксы времени" в реля­тивистскоймеханике/И. И. Гольденблат.-М.:Наука,1972.-80 с.:ил ...
  5. Негосударственное аккредитованное основная образовательная программа высшего профессионального образования направление подготовки 030300 62 «психология»

    Основная образовательная программа
    ... классической, квантовой и релятивистскоймеханиках. Законы сохранения в классической механике. Механическая картина мира. ... Е. И. Николаева. - М. : ПЭРСЭ, 2008 Данилова, Н. Н. Психофизиология [ЭР] / Н. Н. Данилова. - М. : Аспект-Пресс, 2001 Электронная ...

Другие похожие документы..