textarchive.ru

Главная > Лабораторная работа

1

Смотреть полностью

Лабораторная работа № 4

Использование MicrosoftOfficeExcel для анализа данных и решение задач оптимизации

Цель работы: изучить встроенные в Excel возможности анализа данных на примере проведения регрессионного анализа. Ознакомиться со стандартными надстройками Excel на примере надстройки «Принятие решений», использовать её для решения задачи линейного программирования.

Методика выполнения работы

Статистический анализ данных, моделирование и прогноз

Электронный процессор Excel позволяет строить математические модели по имеющимся табличным данным. Математическая модель дает возможность прогнозировать состояние моделируемого объекта и выбирать на этой основе оптимальное управление объектом. Для этих целей Excel содержит пакет анализа данных, в который входят: регрессионный анализ, корреляция, дисперсионный анализ и другие средства.

Регрессионный анализ

Регрессионный анализ позволяет получить функциональную зависимость между некоторой случайной величиной Y и некоторыми влияющими на Y величинами X. Такая зависимость получила название уравнения регрессии. Различают простую (парную) и множественную регрессию линейного и нелинейного типа.

Пример простой линейной регрессии:

y=m1x+b.

Пример множественной линейной регрессии:

y=m1x1+m2x2+... + mkxk+b. (1)

Для оценки степени связи между величинами используется коэффициент множественной корреляции R Пирсона (корреляционное отношение), который может принимать значения от 0 до 1. R=0 если между величинами нет никакой связи и R=1, если между величинами имеется функциональная (детерминированная) связь. В большинстве случаев R принимает промежуточные значения от 0 до 1. Величина R2 называется коэффициентом детерминации.

Задачей построения регрессионной зависимости является нахождение вектора коэффициентов M модели (1) при котором коэффициент R принимает максимальное значение.

Для оценки значимости R применяется F-критерий Фишера, вычисляемый по формуле:

где n - размер выборки (количество экспериментов); k - число коэффициентов модели. Если F превышает некоторое критическое значение для данных n и k и принятой доверительной вероятности, то величина R считается существенной. Таблицы критических значений F приводятся в справочниках по математической статистике.

Таким образом, значимость R определяется не только его величиной, но и соотношением между количеством экспериментов и количеством коэффициентов (параметров) модели. Действительно, корреляционное отношение для n=2 для простой линейной модели равно 1 (через 2 точки на плоскости можно всегда провести единственную прямую). Однако, если экспериментальные данные являются случайными величинами, доверять такому значению R следует с большой осторожностью. Обычно для получения значимого R и достоверной регрессии стремятся к тому, чтобы количество экспериментов существенно превышало количество коэффициентов модели (n>>k).

Для построения линейной регрессионной модели необходимо:

1) подготовить список из n строк и m столбцов, содержащий экспериментальные данные (столбец, содержащий выходную величину y должен быть либо первым, либо последним в списке);

2) обратиться к меню Сервис/Анализ данных/Регрессия

Если пункт "Анализ данных" в меню "Сервис" отсутствует, то следует обратиться к пункту "Надстройки" того же меню и установить флажок "Пакет анализа".

3) в диалоговом окне "Регрессия" задать:

  • входной интервал Y;

  • входной интервал X;

  • выходной интервал - верхняя левая ячейка интервала, в который будут помещаться результаты вычислений (рекомендуется разместить на новом рабочем листе);

4) нажать "Ok" и проанализировать результаты.

Пример использования множественной линейной регрессии

Предположим, что застройщик оценивает стоимость группы небольших офисных зданий в традиционном деловом районе.

Застройщик может использовать множественный регрессионный анализ для оценки цены офисного здания в заданном районе на основе следующих переменных.

y - оценочная цена здания под офис;

x1 - общая площадь в квадратных метрах;

x2 - количество офисов;

x3 - количество входов (0,5 входа означает вход только для доставки корреспонденции);

x4 - время эксплуатации здания в годах.

В этом примере предполагается, что существует линейная зависимость между каждой независимой переменной (x1, x2, x3 и x4) и зависимой переменной (y), то есть ценой здания под офис в данном районе. Исходные данные показаны на рисунке.

Н
астройки для решения поставленной задачи показаны на рисунке окна "Регрессия". Результаты расчетов размещены на отдельном листе в трех таблицах

В итоге мы получили следующую математическую модель:

y = 52318 + 27,64*x1 + 12530*x2 + 2553*x3 - 234,24*x4.

Теперь застройщик может определить оценочную стоимость здания под офис в том же районе. Если это здание имеет площадь 2500 квадратных метров, три офиса, два входа и время эксплуатации - 25 лет, можно оценить его стоимость, используя следующую формулу:

y = 27,64*2500 + 12530*3 + 2553*2 - 234,24*25 + 52318 = 158 261 у.е.

В регрессионном анализе наиболее важными результатами являются:

  • коэффициенты при переменных и Y-пересечение, являющиеся искомыми параметрами модели;

  • множественный R, характеризующий точность модели для имеющихся исходных данных;

  • F-критерий Фишера (в рассмотренном примере он значительно превосходит критическое значение, равное 4,06);

  • t-статистика – величины, характеризующие степень значимости отдельных коэффициентов модели.

На t-статистике следует остановиться особо. Очень часто при построении регрессионной модели неизвестно, влияет тот или иной фактор x на y. Включение в модель факторов, которые не влияют на выходную величину, ухудшает качество модели. Вычисление t-статистики помогает обнаружить такие факторы. Приближенную оценку можно сделать так: если при n>>k величина t-статистики по абсолютному значению существенно больше трех, соответствующий коэффициент следует считать значимым, а фактор включить в модель, иначе исключить из модели. Таким образом, можно предложить технологию построения регрессионной модели, состоящую из двух этапов:

1) обработать пакетом "Регрессия" все имеющиеся данные, проанализировать значения t-статистики;

2) удалить из таблицы исходных данных столбцы с теми факторами, для которых коэффициенты незначимы и обработать пакетом "Регрессия" новую таблицу.

Для примера рассмотрим переменную x4. В справочнике по математической статистике t-критическое с (n-k-1)=6 степенями свободы и доверительной вероятностью 0,95 равно 1,94. Поскольку абсолютная величина t, равная 17,7 больше, чем 1,94, срок эксплуатации - это важная переменная для оценки стоимости здания под офис. Аналогичным образом можно протестировать все другие переменные на статистическую значимость. Ниже приводятся наблюдаемые t-значения для каждой из независимых переменных:

Общая площадь

5,1

Количество офисов

31,3

Количество входов

4,8

Срок эксплуатации

17,7

Все эти значения имеют абсолютную величину большую, чем 1,94; следовательно, все переменные, использованные в уравнении регрессии, полезны для предсказания оценочной стоимости здания под офис в данном районе.

Поиск решения

Excel имеет несколько программ-надстроек, выполняющих решение различных задач. Одной из надстроек является "Поиск решения", позволяющая решать оптимизационные задачи в Excel. Чаще всего это задачи линейного программирования (ЛП).

Общая формулировка задачи ЛП: найти неотрицательное решение X системы линейных уравнений AX=B, при котором целевая функция f=CX принимает максимальное (минимальное) значение, где A — матрица коэффициентов; B — объемы ресурсов.

Экономический смысл системы AX=B заключается в задании ограничений на расходуемые ресурсы.

Экономический смысл целевой функции f=CX заключается в максимальной прибыли или минимальной себестоимости, получаемой от оптимального решения X. Например, если X — вектор объемов выпуска продукции, а С - вектор прибыли, получаемой от единицы каждого вида продукции, то f — суммарная прибыль от выпуска всей продукции.

Рассмотрим работу надстройки "Поиск решения" на примере задачи о рационе кормления животных. Требуется составить такой рацион кормления животных тремя видами корма, при котором они получат необходимое количество питательных веществ A и B и себестоимость кормов будет минимальна. Цены кормов, требуемое количество питательных веществ и их содержание в каждом корме показаны в таблице.

Питательные вещества

Корм 1

Корм 2

Корм 3

Требуемое количество

(ед. пит. вещества)

А (ед./кг)

10

6

12

50

Б (ед./кг)

7

10

11

45

Цена корма (руб/кг)

2,20

1,95

2,87

 

Если обозначить X=(x1, x2, x3) — искомое количество кормов, то задача ЛП формулируется так:

Найти решение X системы

при котором целевая функция

принимает минимальное значение.

Математическую формулировку задачи необходимо оформить в виде таблицы, отражающей основные зависимости.

Ячейки таблицы имеют следующий смысл:

  • диапазон A1:C2 — содержит матрицу A;

  • диапазон D1:D2 — содержит вектор ресурсов В;

  • диапазон A6:C6 — содержит вектор цен С;

  • диапазон A4:C4 — содержит вектор решений X, начальные значения которого заданы нулю и который будет оптимизирован программой;

  • диапазон E1:E2 — содержит выражения, вычисляющие произведение AX;

  • ячейка E6 — содержит выражение, вычисляющее f=CX.

Вызов программы поиска решения выполняется через меню "Сервис\Поиск решения...". В открывшемся окне "Поиск решения" необходимо установить следующие параметры:

  • "Установить целевую ячейку" — E6;

  • установить переключатель "Равной минимальному значению";

  • в поле "изменяя ячейки" указать диапазон A4:C4;

  • в области "Ограничения" нажать кнопку "Добавить" и в окне "Добавление ограничений" ввести ограничения: E1>=D1 и E2>=D2;

  • нажать кнопку "Параметры..." и в открывшемся окне установить флажки "Линейная модель", "Неотрицательные значения" и выбрать переключатель "Оценка" — "Линейная".

Для запуска программы необходимо в окне "Поиск решения" нажать кнопку "Выполнить". Результаты вычислений будут записаны в изменяемые ячейки таблицы. В итоге таблица должна иметь следующий вид.

Таким образом, животных следует кормить первым кормом в количестве 0,38 кг, третьим — 3,85 кг и не использовать второй корм вообще. При таком рационе затраты на кормление одного животного составят 11,88 руб.

Пример постановки задачи линейного программирования

Акционерное общество производит и реализует оптовыми партиями соответственно по цене 45 руб. и 30 руб. книги и настольные календари. Постоянные затраты общества (управленческие расходы, содержание офиса и т.п.) составляют 202200 руб. в квартал, переменные затраты (стоимость бумаги, услуги типографии и т.п.) – соответственно 15.75 руб. и 12.3 руб. в расчете на одну книгу и один календарь. Налог на добавленную стоимость составляет 16.67 % цены изделия.

Опыт реализации изделий в предыдущие плановые периоды показал, что в течение квартала можно реализовать не более 100000 книг и 40000 календарей.

Требуется на планируемый квартал определить объем производства и реализации изделий (структуру производства и реализации), при котором общество получит максимальную прибыль, а суммарные затраты на производство и реализацию изделий не будут превосходить 2000000 руб.

  1. Формирование математической модели

Обозначим через х1(х2) неизвестный объем производства и реализации книг (календарей). Суммарные затраты Z на производство и реализацию изделий можно выразить в виде функции неизвестных объемов реализации изделий:

Z(x1,x2)=202200+15.75x1+12.3x2. (1.1)

Ожидаемая сумма выручки общества V, рассматриваемая как функция неизвестных объемов производства и реализации, составит:

V(x1,x2)=45x1+30x2. (1.2)

Сумма налога на добавленную стоимость Nтакже выражается в виде функции неизвестных объемов реализации:

N(x1,x2)=0.1667*(45x1+30x2)=7.5x1+5x2. (1.3)

Прибыль акционерного общества P можно записать в виде функции неизвестных объемов x1и x2следующим образом:

P(x1,x2)=V(x1,x2)-Z(x1,x2)-N(x1,x2) = 45x1+30x2-202200 –157.5x1-123x2-7.5x1-5x2=

=21.75x1+12.7x2-202200. (1.4)

Таким образом, математическая модель ситуации записывается следующим образом:

21.75x1+12.7x2-202200max, (1.5)

202200+15.75x1+12.3x22000000, (1.6)

0 x1 100000, 0 x2 40000. (1.7)

Модель (1.5)–(1.7) можно записать в следующем виде:

21.75x1+12.7x2max, (1.8)

15.75x1+12.3x21797800, (1.9)

x1 100000, (1.10)

x2 40000, (1.11)

x1 0, x2 0. (1.12)

  1. Ввод условий задачи:

    1. Сформировать таблицу в диапазоне ячеек A1:F11, приведенную на рис. 1.

Р
ис. 1. Таблица для ввода условий задачи линейного программирования

    1. В ячейку D6 ввести формулу =СУММПРОИЗВ(B$3:C$3;B6:C6).

    2. В ячейку D9 ввести формулу =СУММПРОИЗВ(B$3:C$3;B9:C9) и размножить по столбцу в ячейках D10 и D11.

  1. Решение задачи

    1. В меню выбрать «Сервис - Поиск решения». В поле «Установить целевую ячейку:» набрать $D$6. В поле «Равной:» установить маркер в «Максимальному значению».

    2. В поле «Изменяя ячейки» ввести $B$3:$C$3.

    3. Установить курсор-прямоугольник в поле «Ограничения». Нажать на кнопку «Добавить». В поле «Ссылка на ячейку:» ввести $B$3. Выбрать знак >=. В поле «Ограничение» ввести =$B$4. Нажать кнопку «Добавить».

    4. В поле «Ссылка на ячейку:» ввести $С$3. Выбрать знак >=. В поле «Ограничение» ввести =$С$4. Нажать кнопку «Добавить».

    5. В поле «Ссылка на ячейку:» ввести $D$9. Выбрать знак <=. В поле «Ограничение» ввести =$F$9. Нажать кнопку «Добавить»

    6. В поле «Ссылка на ячейку:» ввести $D$10. Выбрать знак <=. В поле «Ограничение» ввести =$F$10. Нажать кнопку «Добавить»

    7. В поле «Ссылка на ячейку:» ввести $D$11. Выбрать знак <=. В поле «Ограничение» ввести =$F$11. Нажать кнопку OK. В результате диалоговое окно Поиск решения должно быть заполнено также как на рис. 2.

Рис. 2. Диалоговое окно Поиск решения

    1. Нажать кнопку «Параметры». Установить линейную модель. Нажать кнопку OK. Нажать кнопку «Выполнить».

    2. В диалоговом окне «Результаты поиска решения», приведенном на рис. 3, установить маркер на опцию «Сохранить найденное решение» и выбрать в окне «Тип отчета – Результаты». Нажать OK.

Рис. 3. Диалоговое окно Результаты поиска решения

    1. В таблице появятся выходные значения, приведенные на рис. 4.

 

Товары

 

 

 

имя

Книги(х1)

Календари(х2)

 

 

 

значение

 

 

 

 

 

нижняя граница

 

 

 

 

 

верхняя граница

 

 

ЦФ

напр

 

коэф. в ЦФ

21,75

12,70

 

макс.

 

 

Ограничения

 

 

вид

 

 

левая часть

знак

правая часть

b1

15,75

12,30

 

<=

1797800,00

b2

1,00

0,00

 

<=

100000,00

b3

0,00

1,00

 

<=

40000,00

Рис. 4. Выходная таблица решения задачи линейного программирования

Задание к работе

Произвести регрессионный анализ данных, проанализировать влияние начальных данных на оценочные коэффициенты регрессионной модели, и при необходимости пересчитать её. Решить задачу линейного программирования средствами Excel.

Порядок выполнения работы

  1. Проведения регрессионного анализа:

    • Создать лист с именем «Регрессионный анализ»;

    • Выбрать себе из пункта «Варианты задания к работе» задание для проведения регрессионного анализа. Номер своего варианта узнать у преподавателя;

    • Произвести математическую формулировку задачи в виде таблицы исходных данных. Выбор исходных данных происходит по всем строкам таблицы «Данные для проведения регрессионного анализа», а столбцы выбираются по таблице «Регрессионный анализ» согласно номеру своего варианта;

    • Запустить пакет регрессионного анализа через меню «Сервис - Пакет анализа – Регрессия».

    • В окне «Регрессия» задать интервалы, содержащие Y и X. Результаты обработки расположить на листе «Регрессионный анализ»;

    • Проанализировать значения t-статистики для каждого коэффициента модели. Если какое-либо значение не превышает по абсолютному значению граничного значения 3, то соответствующий фактор X следует считать не влияющим существенно на Y, исключить его из дальнейшей обработки и повторить «Регрессионный анализ».

  1. Решение задачи линейного программирования (ЗЛП):

    • Выбрать задачу линейного программирования согласно своему варианту из раздела «Задачи линейного программирования» пункта «Варианты заданий к работе»;

    • Создать новый лист с именем «РЗЛП»

    • На вновь созданном листе произвести математическую формулировку ЗЛП в виде таблиц исходных данных;

    • Открыть окно поиска решений через меню «Сервис - Поиск решения...».

    • Решить ЗЛП для своего варианта, на основе последовательности, приведенной в примере, описанном в пункте «Методика выполнения работы». Исходные данные и результат разместить на листе «РЗЛП».

  2. Доложить преподавателю об окончании выполнения работы;

Требование к защите работы

  1. Отчет о выполнении лабораторной работы;

  2. Конспект порядка выполнения лабораторной работы.

  3. Знать ответы на ВСЕ контрольные вопросы.

Содержание отчета

  1. Название и цель лабораторной работы;

  2. Содержимое листа «Регрессионный анализ», созданного в П.1 «Порядка выполнения работы».

  3. Содержимое листа «РЗЛП», созданного в П.2;

  4. Содержимое автоматически созданного листа «Отчет по результатам 1» с результатами решения ЗЛП;

  5. Выводы.

Контрольные вопросы

  1. Какие средства для построения математических моделей и прогнозирования состояния моделируемого объекта содержит Excel?

  2. Каково назначение регрессионного анализа?

  3. Что такое уравнение регрессии?

  4. Какие виды регрессии различают? приведите примеры?

  5. Что показывает коэффициент множественной корреляции Пирсона?

  6. В чем заключается задача построения регрессионной зависимости?

  7. Для чего применяется F-критерий Фишера? Как он вычисляется?

  8. Какими параметрами определяется значимость коэффициента Пирсона?

  9. Как построить линейную регрессионную модель в Excel?

  10. Что характеризует t-статистика?

  11. Какова технология построения регрессионной модели?

  12. Каково назначение программы-надстройки "Поиск решения"?

  13. Какова общая формулировка задачи линейного программирования?

  14. В чем заключается экономический смысл задачи линейного программирования?

  15. Как будет сформулирована задача линейного программирования для рассматриваемого примера задачи о рациональном кормлении животных?

  16. Как оформить в виде таблицы, отражающей основные зависимости, математическую формулировку задачи линейного программирования?

  17. Каков смысл ячеек таблицы, подготовленной для поиска решения?

  18. Как загрузить программу поиска решения задачи линейного программирования?

  19. Какие параметры следует установить в окне "Поиск решения"?

  20. Как интерпретировать полученные результаты решения задачи линейного программирования?

Рекомендуемая литература

  1. Зайден М. Excel 2000 / Зайден М.; Науч. ред.: А. Плещ, С. Молявко. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000 - 336 с.: ил. + табл.. - (Компьютер)

(Шифр: 32.97 З 17)

  1. Вейсскопф Д. Excel 2000. Базовый курс (русифицированная версия) / Вейсскопф Д.; Пер. с англ. под ред. В.В. Легейды, Б.Г. Жадаева. - Киев - М.- СПб.: ВЕК+; ЭНТРОП; Корона-Принт, 2000 - 400 с.: ил. + табл.. - Слов. терминов Excel: с. 377-384.-Предметный указ.: с. 385-393

(Шифр: 32.97 В 26)

  1. Саймон Д. Анализ данных в Excel = Excel Data Fnalysis: Наглядный курс создания отчетов, диаграмм и свободных таблиц / Саймон Д.; Пер. с англ. И.В. Константинова; Под ред. И.В. Василенко. - М.- СПб.- Киев: Диалектика, 2004 - 517 с.: ил. + CD-ROM. - (Читая меньше, узнавай больше!). - Прил.: с. 471-511.-Предметный указ.: с. 512-516

(Шифр: 32.97 С 14)

  1. Лавренов С.М. Excel: Сборник примеров и задач / Лавренов С.М.; Рец.: О.А. Козлов, Р.А. Подбельская. - М.: Финансы и статистика, 2003 - 336 с.: ил.. - (Диалог с компьютером). - Библиогр.: с. 304-306.-Прил.: с. 307-332

(Шифр: 32.973я7 Л 13)

Варианты задание к лабораторной работе

Регрессионный анализ

вар.

Регрессия

Прогноз

вар.

Регрессия

Прогноз

y

x

y

x

1

Y1

X1-X4

январь

16

Y6

X5-X8

апрель

2

Y2

X1-X4

февраль

17

Y7

X5-X8

май

3

Y3

X1-X4

март

18

Y8

X5-X8

июнь

4

Y4

X1-X4

апрель

19

Y9

X5-X8

июль

5

Y5

X1-X4

май

20

Y10

X5-X8

август

6

Y6

X5-X8

июнь

21

Y1

X1-X4

сентябрь

7

Y7

X5-X8

июль

22

Y2

X1-X4

октябрь

8

Y8

X5-X8

август

23

Y3

X1-X4

ноябрь

9

Y9

X5-X8

сентябрь

24

Y4

X1-X4

декабрь

10

Y10

X5-X8

октябрь

25

Y5

X1-X4

январь

11

Y1

X1-X4

ноябрь

26

Y6

X5-X8

февраль

12

Y2

X1-X4

декабрь

27

Y7

X5-X8

март

13

Y3

X1-X4

январь

28

Y8

X5-X8

апрель

14

Y4

X1-X4

февраль

29

Y9

X5-X8

май

15

Y5

X1-X4

март

30

Y10

X5-X8

июнь

Данные для проведения регрессионного анализа

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

y1

y2

y3

y4

y5

y6

y7

y8

y9

y10

1

4,4

8,5

2,4

3,7

2,2

7,4

3,7

9,9

28,0

32,4

23,5

11,5

15,2

22,2

30,0

28,6

27,2

3,5

2

8,3

6,4

2,5

5,8

5,7

8,7

2,6

6,1

41,7

21,5

14,7

25,1

18,4

32,4

18,8

40,4

29,6

19,2

3

9,5

4,4

7,3

1,9

4,1

5,3

4,6

1,2

32,1

31,8

21,4

33,5

20,1

21,4

18,3

23,0

20,8

16,3

4

1,6

9,6

3,2

9,7

4,1

9,2

8,7

4,4

28,7

31,0

29,5

4,3

26,9

28,3

30,3

33,6

26,9

16,5

5

7,4

3,7

0,7

9,9

2,4

2,5

5,8

5,1

49,5

6,3

7,3

27,3

23,3

11,6

30,2

10,3

10,8

7,5

6

1

0,9

0,6

4,1

5,4

3,9

4,0

7,0

19,5

4,4

7,5

11,1

13,1

19,6

27,2

24,4

13,9

15,9

7

2,6

4,2

0,8

2,7

8,7

4,1

3,1

8,1

18,5

14,5

11,5

12,0

9,4

27,6

25,5

33,0

18,4

24,0

8

6,7

7,8

5,0

4,9

7,7

0,4

3,9

3,4

32,9

32,5

24,1

21,3

23,1

18,5

24,8

18,9

6,4

27,5

9

8,2

6,8

7,0

6,9

6,2

6,2

9,6

3,4

38,4

34,4

25,6

24,6

30,6

27,2

37,3

26,5

16,3

22,7

10

5,5

7,6

8,2

8,9

1,6

2,8

5,0

7,9

33,3

36,4

30,3

17,2

39,1

11,5

32,9

11,8

12,5

5,5

11

7,3

4,9

4,6

0,6

7,5

5,9

4,2

4,5

24,9

29,6

18,5

23,4

12,2

30,1

20,9

33,6

21,3

26,9

12

2,5

3,4

3,4

8,1

5,9

8,6

8,5

4,0

29,6

13,9

16,5

10,9

26,8

32,8

32,4

35,3

24,4

21,5

13

1,9

0,2

9,9

0,5

3,2

8,5

2,6

4,8

6,6

26,5

24,3

11,9

22,2

27,6

16,1

35,0

29,5

12,5

14

5,8

4

7,1

9,5

0,0

3,6

8,0

2,0

37,8

23,0

22,9

23,0

37,3

11,1

32,2

8,3

10,9

3,1

15

5,1

1,7

7,6

4,8

7,5

2,9

3,5

0,7

27,1

21,2

20,6

20,3

27,5

24,8

15,7

25,6

13,8

27,4

16

3,6

1,4

0,8

8,9

0,1

4,8

2,3

0,3

37,7

3,6

7,1

18,6

22,6

11,8

8,0

15,9

21,7

5,1

17

4,6

3,5

1,5

4,4

9,8

6,9

8,6

4,8

28,6

13,1

10,1

17,1

15,5

34,6

35,5

37,1

19,6

29,9

18

5,5

5,5

9,5

5,9

3,2

2,0

7,6

4,0

26,7

33,1

32,3

17,9

35,4

13,0

35,2

10,8

8,1

12,3

19

6,4

9,6

9,4

2,5

0,3

5,8

7,7

1,7

22,1

51,7

38,9

16,1

26,5

14,4

26,7

16,3

17,7

5,0

20

3,8

2,4

9,3

3,7

7,1

5,8

7,2

5,1

15,7

26,5

27,1

15,5

29,5

28,0

32,0

27,4

17,7

22,0

21

3,4

6,3

6,9

8,6

1,7

6,5

9,2

4,0

28,8

27,4

27,2

10,9

34,9

19,9

35,9

19,6

18,9

6,4

22

5,3

6,6

4,3

0,3

4,0

2,8

7,0

7,5

20,9

31,4

20,8

19,0

13,2

16,7

39,2

15,3

8,1

10,0

23

3,7

7

6,4

0,5

9,9

4,9

4,8

7,9

15,4

36,9

27,9

13,6

18,0

34,6

29,6

36,3

17,2

27,7

24

9,3

1,3

8,6

0,4

3,3

5,4

5,6

2,8

28,7

26,0

17,5

36,2

20,4

20,9

23,8

23,3

19,6

12,6

25

5,2

4,6

2,0

0,4

6,4

8,3

9,4

9,8

21,7

20,4

13,7

18,0

9,1

32,1

43,6

31,3

22,7

16,3

26

4,3

5,1

7,0

9,7

7,6

6,2

7,9

2,6

33,5

25,8

27,3

16,7

35,1

30,0

28,8

31,8

20,1

27,7

27

5

2

2,5

2,2

2,5

0,6

5,2

9,5

24,8

12,4

9,9

22,0

11,8

8,2

39,0

6,0

3,1

3,5

28

8,6

0,7

1,3

1,2

1,1

0,5

2,0

2,5

34,9

7,1

2,6

31,7

8,2

7,9

14,9

6,6

8,9

8,3

29

1,3

4,4

7,5

2,7

7,0

7,1

4,6

9,2

9,2

32,3

26,6

8,7

25,1

30,7

32,7

36,2

26,1

18,2

30

9,3

9,7

1,3

6,9

3,6

6,0

5,7

1,9

47,3

31,0

19,5

26,0

21,4

23,3

19,3

25,8

20,3

14,7

31

2,3

8,6

7,3

8,7

2,0

3,4

5,6

8,7

25,7

36,1

34,3

8,1

34,5

13,6

37,3

15,6

12,3

3,6

32

8,5

5

1,9

1,2

3,2

3,4

1,5

9,5

35,9

23,0

10,8

27,4

8,2

18,0

24,3

18,4

16,0

6,6

33

5

1,9

7,2

1,7

1,1

4,4

4,1

7,0

20,4

23,1

18,1

19,8

21,9

15,1

28,6

16,3

16,0

1,9

34

2,2

3,2

5,5

2,0

0,7

6,1

1,6

6,0

13,5

25,6

21,7

12,0

18,7

17,3

16,6

24,7

23,8

1,9

35

5,4

4,1

0,9

9,9

8,7

1,4

2,7

4,0

41,3

8,7

11,2

20,0

23,6

22,9

22,4

25,6

11,1

30,6

36

7,2

3,7

0,4

3,0

6,0

5,8

0,9

8,9

35,6

14,5

8,8

27,5

9,2

24,6

19,2

35,1

23,0

16,3

37

2,9

8

6,3

9,7

0,8

7,6

4,6

2,2

29,6

32,6

30,0

8,4

34,6

19,0

18,3

25,9

25,0

7,2

38

1,3

5,6

2,7

8,8

6,8

3,1

4,2

1,5

26,4

17,5

23,0

8,2

25,7

23,2

18,6

25,1

15,0

24,4

39

3,6

5,3

4,2

2,1

4,7

7,7

8,7

2,3

17,0

27,3

22,6

14,1

14,8

29,2

29,5

29,6

21,7

18,9

40

1,9

0,8

6,7

0,4

3,4

9,9

4,6

5,6

6,3

20,0

19,0

12,4

15,5

30,0

22,3

38,4

33,0

12,3

41

2,7

0,5

6,9

3,5

8,7

7,3

3,9

6,7

16,7

17,6

18,0

15,4

24,9

36,4

24,6

41,8

24,2

27,8

42

6,3

1,1

5,7

6,7

2,3

3,6

9,7

1,7

34,0

13,9

13,8

24,3

28,1

13,3

33,4

12,6

8,0

12,1

43

3,5

6,9

6,8

0,7

1,4

3,7

6,6

3,0

11,6

36,8

28,7

11,0

19,2

14,4

27,8

11,0

11,5

9,8

44

9,1

3

4,7

2,1

0,6

3,0

5,9

4,6

35,6

20,6

14,0

30,3

16,4

8,6

29,4

10,5

12,9

3,0

45

7,2

0,9

0,4

6,4

6,8

9,7

4,2

7,4

40,8

2,2

0,0

28,7

14,6

37,8

24,8

42,1

31,1

18,2

46

3,1

0,2

8,2

0,6

9,6

9,7

9,2

5,4

10,0

22,4

21,4

18,2

19,2

40,0

33,7

42,2

27,1

30,9

47

0,5

9,3

8,4

4,4

8,4

3,2

9,8

6,8

9,2

45,5

42,1

2,0

30,1

25,5

44,4

23,6

7,9

25,1

48

8,7

0,7

1,7

5,2

9,3

5,8

6,7

7,2

44,7

6,4

3,1

31,4

18,7

32,7

36,3

32,3

18,1

26,5

49

7,6

2,6

1,5

4,1

8,4

7,3

0,8

0,8

36,6

11,0

8,1

27,7

13,7

34,7

3,8

44,4

29,3

31,3

50

8,4

6,6

4,5

2,8

1,7

6,2

5,8

9,7

35,5

32,7

20,8

25,5

17,2

19,0

36,3

20,1

21,7

3,5

Варианты задач линейного программирования

Задача 1.

В трех пунктах отправления A, B, C сосредоточен однородный товар. Этот товар необходимо перевезти в четыре пункта назначения P, Q, R, S. Запасы товара в пунктах отправления и потребности пунктов назначения показаны в таблице.

Запасы (тонн)

Потребности (тонн)

A

B

C

P

Q

R

S

42

36

40

26

41

25

31

Стоимости перевозок 1 т. груза из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения заданы матрицей.

A

B

C

P

200

400

300

Q

700

500

800

R

600

900

700

S

550

430

650

  1. Найти план перевозок груза, обеспечивающий транспортному предприятию минимальную стоимость перевозок.

  2. Решить предыдущую задачу для случая, когда потребность в товаре в пункте Q составляет 20 тонн.

Учесть, что в случае недостатка запасов, все потребности не могут быть удовлетворены.

Задача 2.

Радиозавод выпускает магнитофоны двух моделей: A и B. Завод должен выпускать в месяц не менее Ya и Yb магнитофонов. Каждая модель приносит доход в размере Sa и Sb рублей. Процесс производства магнитофонов состоит из трех стадий: изготовления деталей, сборки изделия и его упаковки. Нормативы времени на эти стадии заданы матрицей T. Производственные мощности завода позволяют расходовать в месяц не более 600 часов на выпуск деталей, 500 часов на сборку магнитофонов и 200 часов на упаковку. Составить план выпуска магнитофонов, обеспечивающий заводу максимальный доход. Определить, какая из стадий в наибольшей степени сдерживает рост производства.

Sa

Sb

Ya

Yb

T (час./1 шт.)

Модель

Стадия 1

Стадия 2

Стадия 3

40

60

400

600

1

2

0.3

0.35

0.4

0.5

0.1

0.15

Задача 3.

Акционерное общество может возделывать на поле площадью S га. четыре культуры. Наиболее трудоемким этапом является уборка урожая, которая должна осуществляться в два этапа: сначала убираются 1-я и 2-я культуры, а затем 3-я и 4-я. Трудоемкости уборки каждой культуры составляют соответственно Т1, Т2, Т3 и Т4 человеко-часов на 1 га. Для уборки общество может выделить R1 человеко-часов на 1-й этап и R2 на 2-й. Составить план посева культур, даюший максимальную прибыль, если 1 га каждой из культур (при ожидаемой урожайности) приносит прибыль соответственно в С1, С2, С3, С4 (тыс.руб.). Определить, какой из этапов уборки ограничивает рост прибыли.

S

T1

T2

T3

T4

R1

R2

C1

C2

C3

C4

400

100

150

200

90

25000

30000

400

500

820

300

Задача 4.

Рацион стада крупного рогатого скота из 220 голов включает пищевые продукты А, В, С, D и Е. В сутки одно животное должно съедать не менее 2 кг продукта вида A, 1,5 кг продукта В, 0,9 кг продукта С, 3 кг продукта D и 1,8 кг продукта E. Однако в чистом виде указанные продукты не производятся. Они содержатся в концентратах К-1, К-2 и К-3. Их цена соответственно 0,5; 0,4; 0,9 руб. за килограмм. Содержание продуктов в килограмме концентрата (в %) указано в таблице.

Концентраты

Продукты

A

B

C

D

E

К-1

К-2

К-3

15

19

5

22

17

12

0

0

25

0

14

5

4

7

8

.Построить модель, на основе которой составить план покупки концентратов при котором затраты на покупку будут минимальны.

Задача 5.

Кондитерская фабрика для производства трех видов карамели A, B и C использует три вида сырья: сахарный песок, патоку и фруктовое пюре. Нормы расхода сырья на производство 1 кг. карамели заданы в таблице.

Наименование

сырья

Нормы расхода (кг./кг.)

A

B

C

Сахарный песок

0.6

0.5

0.6

Патока

0.4

0.4

0.3

Фруктовое пюре

0.1

0.2

0.2

Запасы сырья на складе соответственно равны V1, V2 и V3 кг. Прибыль от реализации 1 кг. продукции каждого вида определяется значениями PA, PB и PC. Найти план производства карамели, обеспечивающий максимальную прибыль. Выяснить, какое сырье ограничивает рост прибыли.

Запасы сырья (кг.)

Прибыль от реализации ( руб./кг.)

V1

V2

V3

PA

PB

PC

800

600

120

1.08

1.12

1.28

Задача 6.

Мебельная фабрика выпускает столы, стулья, кресла и кровати. При изготовлении этих товаров используется два вида досок. Запасы досок и трудовых ресурсов показаны в таблице.

Ресурсы

Доски 1 типа (м)

Доски 2 типа (м)

Трудовые (чел.-час.)

1500

1000

1500

Нормы расхода сырья, трудоемкость производства продукции и прибыль от реализации единицы продукции показаны в таблице.

Изделия

Нормы расхода

Ресурсы

Столы

Стулья

Кресла

Кровати

Доски 1 типа (м)

5

1

9

12

Доски 2 типа (м)

2

3

4

6

Трудоемкость (чел.-час.)

3

2

5

10

Прибыль ( руб.)

12

5

15

18

С учетом спроса на товары фабрика должна выпустить не более 10 кроватей, а соотношение столов и стульев должно быть 1:6.

Найти план производства мебели, дающий фабрике максимальную прибыль.

Задача 7.

Полуфабрикат поступает на фабрику в виде двух партий листов фанеры. Первая партия содержит 400 листов, вторая - 250 листов. Из этой фанеры необходимо производить комлекты деталей: 1 комплект содержит 4 детали 1-го типа, 3 детали 2-го и 3 детали 3-го типа. Листы фанеры можно раскраивать различными способами. Количество деталей, которое можно получить из 1 листа фанеры показано в таблице.

1 партия

2 партия

Деталь

Способ

Деталь

Способ

1

2

3

1

2

1

0

6

9

1

6

3

2

4

3

4

2

5

4

3

10

16

0

3

8

0

Составить план раскроя фанеры так, чтобы получить максимальное количество комплектов деталей.

Задача 8.

Ткань трех артикулов производится на ткацких станках двух типов с различной производительностью. Сырьем для изготовления тканей являются пряжа и красители. Основные параметры производства, его себестоимость и цены реализации готового продукта показаны в таблице. Составить план производства тканей, обеспечивающий максимальную прибыль.

Вид

ресурса

Обьем ресурсов

Производительность и

норма расхода

Артикул 1

Артикул 2

Артикул 3

Станки 1 типа

29000 часов

20 м/час.

10 м/час

25 м/час

Станки 2 типа

30000 часов

8 м/час

20 м/час

10 м/час

Пряжа (кг)

30000кг

0.12 кг/м

0.18 кг/м

0.21 кг/м

Красители (кг)

3000 кг

0.01 кг/м

0.005 кг/м

0.008 кг/м

Цена 1 м ткани (руб.)

45

45

60

Себестоимость 1 м ткани (руб)

24

20

40

Задача 9.

Нефтеперерабатывающий завод имеет запасы 4-х полуфабрикатов: алкилата (S1); крекинг-бензина (S2); бензина прямой перегонки (S3) и изопентона (S4). В результате смешивания этих компонентов в различных пропорциях, получают 3 сорта авиационного бензина: A, B и C. Запасы сырья, состав бензина и себестоимость его производства даны в таблице.

Запасы сырья (л)

Составбензина S1:S2:S3:S4

S1

S2

S3

S4

A

B

C

200000

300000

300000

150000

2:3:5:2

3:1:2:1

2:2:1:3

Прибыль от 1 тыс. л бензина (руб)

1200

1000

1500

Определить план производства бензина различных сортов, обеспечивающий максимальную прибыль производства.

Задача 10.

Оптовая база занимается закупкой и продажей сезонного товара. Одновременно на базе может храниться до 100 единиц товара. Закупка товара на очередной квартал осуществляется в конце предыдущего квартала. К началу первого квартала на складе имелось 30 ед. товара. Цены приобретения и продажи единицы товара по кварталам показаны в таблице.

Цена приобретения на ...

Цена продажи в ...

1 кв.

2 кв

3 кв

4 кв

1 кв.

2 кв

3 кв

4 кв

350

500

500

400

500

600

750

550

Сколько требуется покупать и продавать товара за каждый квартал в течение года, чтобы оптовая база получила максимальную прибыль?

Задача 11.

Цех мебельного комбината выпускает трельяжи, трюмо и тумбочки под телевизоры. Норма расхода материала в расчете на одно изделие, плановая себестоимость, оптовая цена предприятия, плановый (месячный) ассортимент и трудоемкость единицы продукции приведены в таблице. Запас древесностружечных плит, досок еловых и березовых 90, 30 и 14 м3 соответственно. Плановый фонд рабочего времени 16800 человеко-часов.

Показатели

Трельяжи

Трюмо

Тумбочки

Норма расхода материала, м3

древесностружечные плиты.

доски: еловые ......

березовые .....

Трудоемкость, чел.-ч. ....

Плановая себестоимость, руб.

Оптовая цена предприятия, руб.

Плановый ассортимент, шт. .

0,032

0,020

0,005

10,2

88,81

93,00

350

0031

0,020

0,005

7,5

63,98

67,00

290

0,038

0.006

0,006

5,8

29,60

30,00

1200

Исходя из необходимости выполнения плана по ассортименту и возможности его перевытюлнения по отдельным (или даже всем) показателям построить модель, на основе которой можно получить план производства мебели, максимизирующий прибыль.

Задача 12

Фабрика выпускает кожаные брюки, куртки и пальто специального назначения в ассортименте, заданном отношением 2:1:3. В процессе изготовления изделия проходят три производственных участка—дубильный, раскройный и пошивочный. Фабрика имеет практически неограниченную сырьевую базу, однако сложная технология предъявляет высокие требования к квалификации рабочих. Численность их в рамках планируемого периода ограничена.

Время обработки изделий на каждом участке, их плановая себестоимость, оптовая цена предприятия приведены в таблице.

Показатели

Брюки

Куртки

Пальто

Норма времени на участках, чел.-ч

дубильном

раскройном

пошивочном

Полная себестоимость, руб.

Оптовая цена предприятия, руб.

0,3

0,4

0,5

15

17,5

0,4

0,4

0,4

40,5

42

0,6

0,7

0,8

97,8

100

Ограничения на фонд времени для дубильного, раскройного, и пошивочного участков составляют соответственно 3360, 2688 и 5040 ч.

Учитывая заданный ассортимент, построить модель, на основе которой определить план производства одежды, максимизирующий прибыль от реализованной продукции.

Задача 13

На приобретение оборудования для нового производственного участка выделено 300 тыс. руб. Его предполагается разместить на площади 45 кв. м. Участок может быть оснащен оборудованием трех видов — машинами стоимостью 6 тыс. руб. (здесь и далее все показатели приводятся на единицу оборудования), размещающимися на площади 9 кв. м, производительностью 8 тыс. единиц продукции за смену; машинами стоимостью 3 тыс. руб., занимающими площадь 4 кв. м, производительностью 4 тыс. единиц продукции за смену; машинами стоимостью 2 тыс. руб. Занимаемая ими площадь 3 кв. м, производительность 3 тыс. единиц продукции.

Построить модель, на основе которой определить план приобретения оборудования, обеспечивающий наибольшую производительность всего участка.

Задача 14

В плановом году строительные организации города переходят к сооружению домов типов Д-1, Д-2, Д-3 и Д-4. Данные о количестве квартир разного типа в каждом из указанных типов домов, их плановая себестоимость приведены в таблице. Годовой план ввода жилой площади составляет соответственно 800, 1000, 900, 2000 и 7000 квартир указанных типов.

Показатели

Д-1

Д-2

Д-3

Д-4

Типы квартир однокомнатные

10

18

20

15

двухкомнатные: смежные

40

20

несмежные

20

60

трехкомнатные.

60

90

10

четырехкомнатные

20

10

5

Плановая себестоимость, тыс. руб.

830

835

360

.450

На жилищное строительство утвержден объем капиталовложений в размере 40 млн. руб. (часть этих средств, которая не будет использована в плановом году по прямому назначению, предназначена для расширения сети коммунальных предприятий города).

Построить модель и найти план строительства домов на финансовый год, при котором себестоимость всех вводимых домов будет минимальной.

Задача 15

Предприятие выпускает обычный, специальный и декоративный сплавы латуни и реализует их соответственно по 3; 4, 5 и 6 руб. за единицу веса. Его производственная мощность позволяет производить (за плановый период) не более 500 ед. веса обычного сплава, 700 ед. специального и 250 ед. декоративного. Обязательными составляющими сплавов являются медь, цинк, свинец и никель. Их цена соответственно 0,9; 0,7; 0,5 и 1,1 руб. за единицу веса.

По технологии декоративный сплав должен содержать не менее 7% никеля, 49% меди и не более 29% свинца; специальный—не менее 3% никеля, 71% меди, 9% цинка и не более 21% свинца. В обычный сплав составляющие входят без ограничений.

Считая, что себестоимость сплавов складывается только из стоимости его ингредиентов, построить модель, на основе которой найти план выпуска сплавов,- обеспечивающий максимальную прибыль.

1

Смотреть полностью


Скачать документ

Похожие документы:

  1. Методика выполнения работы

    Лабораторная работа
    ... построение трендовой модели средствами Excel. МетодикавыполненияработыРабота с макросами Макрос — это программа, автоматизирующая ...
  2. Методика выполнения работы общие сведения

    Лабораторная работа
    ... оформления слайдов и с основными объектами оформления. Методикавыполненияработы Общие сведения PowerPoint - это программа ... макета таблицы и ее форматирования. Порядок выполненияработы Разработать содержание презентации согласно «Заданию ...
  3. 1 ОБЩАЯ МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

    Литература
    ... …………………………………..……………………… 4 1 ОБЩАЯ МЕТОДИКАВЫПОЛНЕНИЯРАБОТЫ. АНАЛИЗ КОНСТРУКЦИИ ДЕТАЛИ………………………………………...5 1.1 Состав курсовой работы ………………………………………5 1.2 Последовательность выполнения курсовой работы…………7 1.3 Характеристика детали ...
  4. Методика выполнения творческих проектов

    Курсовая
    ... игры. Цель: изучить методикувыполнения творческих проектов по технологии ... является методикавыполнения творческих проектов по технологии. Курсовая работа состоит ... Описание проекта. Собственная оценка выполненнойработы. Вариант оформления и содержания ...
  5. Методика выполнения измерений расхода и количества пара отпускаемого в паровые системы теплоснабжения от источника тепла рд 153-34 0-11 343-00

    Документ
    ... -ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И РАЗВИТИЯ МЕТОДИКАВЫПОЛНЕНИЯ ИЗМЕРЕНИЙ РАСХОДА И КОЛИЧЕСТВА ПАРА ... технологического режима и анализа работы паровой системы теплоснабжения, ... на СИ; — проведение наладочных работ; — введение измерительных систем в эксплуатацию ...

Другие похожие документы..