textarchive.ru

Главная > Документ


ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КИНЕМАТИЧЕСКОГО МЕТОДА.
ЧАСТЬ II. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА НЬЮТОНА ДЛЯ ОПРЕДЕЛДЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЛИНИИ КРАТЧАЙШЕЙ ДЛИНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ОБОЛОЧКИ

К.Ф. Исламов, Э.С. Сибгатуллин, д.ф.-м. н.

Камская государственная инженерно-экономическая академия

Предложенный метод определения линии разрушения пространственной конструкции позволяет построить с требуемой точностью кратчайшую плоскую линию разрушения на поверхности, заданной уравнением вида F(X,Y,Z)=0, если известны координаты начала и конца линии разрушения.

Исходные данные:

  1. Уравнение поверхности вида F(X, Y, Z) = 0.

  2. Координаты начала и конца линии разрушения O1(X1,Y1,Z1), O2(X2,Y2,Z2).

  3. Требуемое число участков аппроксимаций ломаной линией.

Требуется построить наименьшую по длине плоскую линию разрушения конструкции (оболочки, пластины), находящуюся между двумя крайними точками этой линии, с заданным числом точек приближения.

Алгоритм решения рассматриваемой задачи:

  1. Определим координаты вектора внешней нормали (a1,b1,c1) к поверхности в начале линии разрушения (в точке O1):

  2. Выберем по прямой O1O2, по которой из координат (X, Y или Z) имеет место наибольшая разность координат (для определения одной из трех неизвестных координат точки аппроксимирующей ломаной).

  3. Определим координаты единичного вектора , лежащего в плоскости нормали и прямой O1O2 и нормального к линииO1O2:
    .

  4. Определим предельный угол отклонения α от направления, заданного вектором (предварительно можно принять α=π/3). На этот угол будет отклоняться пучок плоскостей в обе стороны от плоскости, содержащей и OO2. Это упрощение введено в связи с необходимостью исключения определения линий разрушения в плоскостях, где они заведомо не являются кратчайшими.

  5. Определим координаты вектора в плоскости () повернутого на угол i от направления нормали , где i = +α .. –α:
    ,
    где j=1..3 (проекции вектора на оси X, Y, Z)

  6. Определим уравнение i-ой плоскости из пучка плоскостей вида
    Ax + By + Cz + D = 0, определяемой координатами трех точек O1(X1,Y1,Z1), O2(X2,Y2,Z2) и точки, полученной сложением координат точки O1 и вектора (X3,Y3,Z3). Имеем:

;
A = Y1 (Z2 - Z3) + Y2 (Z3 - Z1) + Y3 (Z1 - Z2);
B = Z1 (X2 - X3) + Z2 (X3 - X1) + Z3 (X1 - X2);
C = X1 (Y2 - Y3) + X2 (Y3 - Y1) + X3 (Y1 - Y2);
–D = X1 (Y2 Z3 - Y3 Z2) + X2 (Y3 Z1 - Y1 Z3) + X3 (Y1 Z2 - Y2 Z1).

  1. Разобьем линию OO2 на требуемое количество отрезков, получим некоторое количество точек Tk, где k от 1 до количества делений отрезка OO2. Каждая такая точка соответствует аппроксимирующей точке на поверхности оболочки.

  2. Определим точки пересечения i-ой плоскости (Ax + By + Cz + D)i = 0 с поверхностью. Каждая из определенных точек будет соответствовать точкам Tk, найденным на линии OO2. Для определения координаты каждой точки, решим систему из двух уравнений, из которых первое – это уравнениеi-ой плоскости пучка, второе – уравнение рассматриваемой поверхности:

    1. определим одну из трех неизвестных координат точки пересечения как координату точки Tk по оси, определенной в п.2;

    2. подставим в уравнения i-ой плоскости и поверхности известную координату, получив тем самым 2 уравнения для двух неизвестных;

    3. решим систему из двух уравнений с требуемой точностью методом Ньютона.

Вычислительные эксперименты показали, что нет необходимости задавать высокую точность; для решения уравнений задаем начальное приближение, коим является точка на прямой OO2. Дальнейшие приближения довольно быстро сходятся к искомому решению уравнений. Заметим лишь, что сходимость зависит от вида поверхности. Хорошая сходимость наблюдается для сферы, немного хуже процесс сходится для цилиндрической поверхности.
Пример такой системы уравнений, например, для сферической поверхности:

(1)

Здесь 0.106657 – известная координата (здесь: Y), 0.4525 – радиус сферы.

Согласно методу Ньютона строится последовательность точек, получаемых с использованием обращенной матрицы Якоби (матрицы частных производных). Следующая точка выбирается так, чтобы в ней линейная аппроксимация функционала обращалась в ноль. В отличие от обычного метода Ньютона, где матрица Якоби обращается на каждом шаге, в модифицированном методе Ньютона используется обращенная матрица Якоби, вычисленная только в начальной точке;

    1. при решении системы необходимо задать необходимую точность решения, а также предельное число приближений;

    2. после получения точки пересечения плоскости с рассматриваемой поверхностью (одна из координат точки известна из п.2, две другие получим из решения системы рассматриваемых уравнений), делаем шаг вдоль прямойOO2, получаем на ней следующую точку и повторяем п.п. a) – e).

  1. Получив массив точек пересечения i-ой плоскости пучка с поверхностью, то есть координаты ломаной, аппроксимирующей искомую линию разрушения, можем вычислить длину линии разрушения для этой плоскости.

  2. Изменяя угол поворота i, получаем новое направление нормали (п.5), выполняем действия, описанные в п.п. 6 – 10 для нового вектора . Также получаем соответствующую ломаную линию на поверхности и длину этой ломаной.

  3. В результате получаем некоторое количество ломаных линий разрушения, соответствующих пучку плоскостей, проведенных через прямую OO2. Искомой является та ломаная линия, которая имеет наименьшую длину.

Была разработана подпрограмма в составе программы для расчета, реализующая описанный выше метод нахождения кратчайшей плоской линии разрушения на поверхности. Применены следующие вспомогательные методы и модули:

  • Модифицированный метод Е. Дьяченко [1] обработки и вычисления строковых выражений, который преобразовывает строковые записи уравнений, обрабатывает и вычисляет значение выражения, подставляя вместо переменных их значения. Необходимо для вычисления значения функций, заданных в виде текста.

  • Модифицированный метод Е. Дьяченко определения частной производной функции (метод преобразовывает уравнение, заданное в текстовом виде, получает строковую запись частной производной уравнения).

  • Модифицированный метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.

Полученная в процессе решения поставленной задачи подпрограмма, кроме определения кратчайшей плоской линии разрушения на поверхности, позволяет с заданной точностью решать систему нелинейных уравнений, задавая уравнения в виде строковых выражений.

На рис.1 представлен пример ломаной, полученной при пересечении плоскости, содержащей прямую OO2 и нормаль к поверхности в точке O1 для сферы. Заметим, что полученная ломаная лежит в плоскости O,O1,O2, где О – центр сферы.

Рис. 1

На рис. 2 показаны точки и ломаные линии, полученные этим методом для цилиндрической оболочки.

Рис. 2

Пример решения. Рассмотрим пример определения несущей способности цилиндрической оболочки, шарнирно опертой по сторонам 1-2 и 3-4, закрытой жесткими диафрагмами по сторонам 1-4 и 2-3. Согласно приведенной выше методике, разобьем оболочку на 5 жестких дисков, 6-м и 7-м дисками обозначим жесткие диафрагмы в торцах оболочки. Произведем расчет несущей способности оболочки с использованием кинематического метода теории предельного равновесия, варьируя следующие соотношения:

  • λ=L/b (отношение длины оболочки к ее ширине);

  • α=Rt/Rc (отношение пределов текучести растяжения к сжатию).

Для расчета используем программу, позволяющую определять несущую способность оболочек и плит по кинематической теории предельного равновесия. Программа использует аппарат линейного программирования для определения минимального параметра нагружения, перемещений и углов поворотов жестких дисков, мощностей, развиваемых на концах линий разрушения. Нами получены графики (1 и 2) зависимости pb/N0 от λ. Для сравнения приведем графики зависимости pb/N0 от λ (рис. 3) для различных значений α из книги [2] (штриховые линии), а также графики, полученные с использованием кинематического метода предельного равновесия (сплошные линии).

Рис.3

Литература

  1. Дьяченко Е. Программа «Математика» 1997.

  2. Ольшак В., Савчук А. Неупругое поведение оболочек – М.: «Мир», 1969. – 144 с.



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Психологический словарь / Под ред

    Документ
    ... патопсихологии. МЕТОД СРЕДНЕЙ ОШИБ­КИ (синонимы: метод воспроизведения, метод подравнивания, метод установки) — методопределения порогов ... использованиедля регулирова­ния эффекторного процесса сенсорных сигналов о виде и динамике кинематиче­ской цепи ...
  2. Разработка исследование и совершенствование методов расчета конструкций и сооружений (науч рук д-р техн наук проф )

    Документ
    ... Дляопределения указанной возможности использования ... Для изучения влияния межболтового расстояния на несущуюспособность соединения в программном комплексе, использующем метод ... цилиндрическихоболочек ... решается методомНьютона. 6. ... для других кинематически ...
  3. А в бугаков физика часть ii

    Учебное пособие
    ... ФИЗИКА ЧастьII ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ, ... цилиндрическую ... несущий ... Кинематическое ... использование классических представлений приводит к абсурду и не позволяет получить выражение для испускательной способности ... Дляопределения ... оболочку. В каждой оболочке ... Ньютона ... Метод ...
  4. Второе издание переработанное и дополненное Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений

    Список учебников
    ... использовать для познания мира. Таким образом, открывалась возможность использования экспериментального метода познания ... ; единица наследственной информации, способная к воспроизведению и расположенная в определенном участке хромосомы. ГЕНЕЗИС — ...
  5. Второе издание переработанное и дополненное Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений

    Список учебников
    ... использовать для познания мира. Таким образом, открывалась возможность использования экспериментального метода познания ... ; единица наследственной информации, способная к воспроизведению и расположенная в определенном участке хромосомы. ГЕНЕЗИС — ...

Другие похожие документы..